테니스 공 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Closeup_of_a_tennis_ball_(2).jpg|섬네일| [[테니스공|테니스 공]]]]
[[기하학]]에서 '''테니스 공 정리'''({{llang|en|Tennis ball theorem}})는 구 표면 위의 [[곡선|매끄러운 곡선]]이 만나거나 교차하지 않으면서도 구 표면을 2개로 정확히 나누려고 할 때, 곡선이 [[접선]]의 한 방향으로만 구부러지지 않는 점인 [[변곡점]]이 무조건 최소 4개가 필요하다는 것을 말한다. {{R|digits}} 테니스 공 정리는 [[블라디미르 아르놀트]]에 의해 1994년{{r|mm|va}}에 처음으로 나왔고 아르놀트의 것으로 종종 여기지만, 사실 이 정리와 비슷한 논문은 1968년 [[Beniamino Segre]]에 의해 나왔다. 그리고 테니스 공 정리는 1977년 Joel L. Weiner의 논문에서 나온 정리의 특수한 경우이다.{{R|segre|global}} 이 정리의 이름은 이음새의 모양이 이 정리의 조건과 만족하는 곡선 모양을 하고 있는 [[테니스공]]에서 유래됐다. 이 같은 종류의 곡선은 [[야구공]] 이음새에도 있다.{{R|digits}}

테니스 공 정리는 닫힌 반구에 포함되지 않은 모든 곡선으로 일반화를 할 수 있다. 구 위의 점대칭적인 곡선은 무조건 최소 6개의 변곡점이 필요하다. 이 정리는 매끄러운 [[폐평면]] 위의 곡선은 최소 4개의 곡률의 극값을 가진다는 [[4-정점 정리]]와 유사하다.

== 명제 ==
정확하게, 구 표면에서의 [[매끄러운 함수|2번 미분가능한 곡선( <math>C^2</math> )]]위의 변곡점은 다음과 같은 특성을 가진 점 <math>p</math>이다. <math>I</math>를 접하는 대원이 <math>p</math>인 곡선의 교차점의 <math>p</math>를 포함하는 연결 성분이라고 하자. (대부분의 곡선에서 <math>I</math>는 <math>p</math> 자체일 뿐만 아니라, 그 대원의 호일 수도 있다.) 그리고 <math>p</math>가 변곡점이 되기 위해, <math>I</math>의 모든 [[근방]]은 이 대원으로부터 분리된 두 반구에 모두 속하는 곡선의 점을 포함해야 된다. 이 정리는 모든 <math>C^2</math>곡선이 구의 면적을 동일하게 2개로 나누는 것은 최소 4개의 변곡점을 가진다는 의미에서도 설명된다.{{R|tabachnikov}}

== 예시 ==
테니스공과 야구공의 이음새는 4개의 반원의 호로 구성된 곡선으로 수학적으로 모델링할 수 있으며, 정확하게 이러한 호들이 만나는 4개의 변곡점이 있다. {{R|tennis}} [[대원]]도 구의 표면을 이등분하고 곡선의 각 지점에 하나씩 무한히 많은 변곡점을 갖는다. 그러나 곡선이 구의 표면적을 균등하게 나눈다는 조건은 정리에서 필요한 부분이다. 대원이 아닌 원과 같이 면적을 동일하게 나누지 않는 다른 곡선에는 변곡점이 전혀 없을 수 있다.{{R|digits}}

== 곡선 단축에 의한 증명 ==
테니스 공 정리의 한 가지 증명은 곡선의 점을, 곡률 중심을 향해 지속적으로 이동시키는 과정인 [[곡선 단축 흐름]]을 사용한다. 주어진 곡선에 이 흐름을 적용하면 곡선의 매끄러움과 면적등분 특성을 보유한다는 것을 보여줄 수 있다. 게다가, 곡선흐름과 같이, 변곡점의 개수는 절대 늘어나지 않다. 이 흐름은 결국 곡선을 [[대원]]으로 변형시키고 이 원으로의 수렴은 [[푸리에 급수]]로 근사를 할 수 있다. 곡선 단축은 다른 대원을 바꾸지 않기 때문에, 이 수열의 첫 번째 항은 0이고 이것을 푸리에 급수에서의 0이라는 수에 대한 [[자크 샤를 프랑수아 스튀름|Sturm]] 정리와 결합하면 곡선이 이 대원에 가까워짐에 따라 적어도 4개의 변곡점을 갖는다는 것을 보여준다. 따라서 원래 곡선에도 최소한 4개의 변곡점이 있다.{{R|pgon|angenent}}

== 관련 정리 ==
테니스 공 정리의 일반화는 닫힌 반구에 포함되지 않은 구의 단순하고 부드러운 곡선에 적용된다. 원래의 테니스 공 정리에서와 같이 이러한 곡선에는 최소한 4개의 변곡점이 있어야 한다.{{R|global|pak}} 구의 곡선이 [[점대칭]] 이면 적어도 6개의 변곡점이 있어야 한다.{{R|pak}}

또한 밀접하게 관련된 {{하버드 인용 본문|Segre|1968}}의 정리는 3차원 공간에 존재하는 구에 대한 단순한 닫힌 구면 곡선에 관한 것이다. 이러한 곡선의 경우, <math>o</math>는 정점이 아닌 3차원 [[볼록 껍질]]의 구 위의 매끄러운 곡선의 점이라 하면, 곡선에서 최소 4개의 점은 <math>o</math>를 지나는 접평면을 가진다. 특히, 반구에 포함되지 않은 곡선의 경우에는, <math>o</math>가 구의 중심에 있다고 적용할 수 있다. 구면 곡선위의 모든 변곡점은 구의 중심을 지나는 접평면을 가지고 있다.{{R|segre|global}}

이 정리는 평면의 모든 매끄러운 [[조르당 곡선 정리|단순 폐곡선]]이 4개의 정점 (곡률의 극값)을 갖는다는 [[4-정점 정리]] 와 유사하다. 또한 사영면의 모든 [[사영 평면|수축]] 불가능한 부드러운 곡선에는 최소한 3개의 변곡점이 있다는 [[뫼비우스]]의 정리와 유사하다.{{R|mm|angenent}}

== 각주 ==
{{각주|refs=

<ref name=angenent>{{인용
 | last = Angenent
 | first = S.
 | authorlink = Sigurd Angenent
 | contribution = Inflection points, extatic points and curve shortening
 | contribution-url = https://www.math.wisc.edu/~angenent/preprints/proceedings/S'AGARRO%20'95/extatic.pdf
 | mr = 1720878
 | pages = 3–10
 | publisher = Kluwer Acad. Publ.
 | location = Dordrecht
 | series = NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci.
 | title = Hamiltonian systems with three or more degrees of freedom (S'Agaró, 1995)
 | volume = 533
 | year = 1999
 }}{{깨진 링크|url=https://www.math.wisc.edu/~angenent/preprints/proceedings/S%27AGARRO%20%2795/extatic.pdf }}</ref>

<ref name=digits>{{인용
 | last = Chamberland | first = Marc
 | contribution = The Tennis Ball Theorem
 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=n9iqBwAAQBAJ&pg=PA114
 | doi = 10.1515/9781400865697
 | isbn = 978-0-691-16114-3
 | mr = 3328722
 | page = 114
 | publisher = Princeton University Press, Princeton, NJ
 | title = Single digits: In praise of small numbers
 | year = 2015}}</ref>

<ref name=global>{{인용
 | last = Weiner | first = Joel L.
 | issue = 3
 | journal = Journal of Differential Geometry
 | mr = 0514446
 | pages = 425–434
 | title = Global properties of spherical curves
 | url = https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214434093
 | volume = 12
 | year = 1977}}. For the tennis ball theorem (applicable more generally to curves that are not contained in a single hemisphere), see Theorem 2, p. 427</ref>

<ref name=pgon>{{인용
 | last1 = Ovsienko | first1 = V.
 | last2 = Tabachnikov | first2 = S. | author2-link = Sergei Tabachnikov
 | isbn = 0-521-83186-5
 | location = Cambridge
 | mr = 2177471
 | page = 101
 | publisher = Cambridge University Press
 | series = Cambridge Tracts in Mathematics
 | title = Projective differential geometry old and new: From the Schwarzian derivative to the cohomology of diffeomorphism groups
 | url = https://books.google.com/books?id=59eZEeHVp2oC&pg=PA101
 | volume = 165
 | year = 2005}}</ref>

<ref name=mm>{{인용
 | last = Martinez-Maure | first = Yves
 | doi = 10.2307/2975192
 | issue = 4
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 1383672
 | pages = 338–340
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<ref name=pak>{{인용|first=Igor|last=Pak|authorlink=Igor Pak|title=Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry|url=https://www.math.ucla.edu/~pak/geompol8|date=April 20, 2010|contribution=Theorems 21.22–21.24, p. 203}}</ref>

<ref name=segre>{{인용
 | last = Segre | first = Beniamino
 | journal = Rendiconti di Matematica
 | mr = 0243466
 | pages = 237–297
 | title = Alcune proprietà differenziali in grande delle curve chiuse sghembe
 | volume = 1
 | year = 1968}}</ref>

<ref name=tabachnikov>{{인용
 | last1 = Thorbergsson | first1 = Gudlaugur
 | last2 = Umehara | first2 = Masaaki
 | editor-last = Tabachnikov | editor-first = Serge
 | contribution = A unified approach to the four vertex theorems II
 | doi = 10.1090/trans2/190/12
 | mr = 1738398
 | pages = 229–252
 | publisher = Amer. Math. Soc., Providence, RI
 | series = Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2
 | title = Differential and Symplectic Topology of Knots and Curves
 | volume = 190
 | year = 1999}}. See in particular [https://books.google.com/books?id=MdPO_kSfUKAC&pg=PA242 pp. 242–243].</ref>

<ref name=tennis>{{인용|url=http://images.math.cnrs.fr/Voyage-sur-une-balle-de-tennis.html|title=Voyage sur une balle de tennis|language=French|work=Images des mathématiques|publisher=CNRS|date=April 5, 2013|first=Nicolas|last=Juillet}}{{깨진 링크|url=http://images.math.cnrs.fr/Voyage-sur-une-balle-de-tennis.html }}</ref>

<ref name=va>{{인용
 | last = Arnol'd
 | first = V. I.
 | authorlink = Vladimir Arnold
 | contribution = 20. The tennis ball theorem
 | doi = 10.1090/ulect/005
 | isbn = 0-8218-0308-5
 | mr = 1286249
 | pages = [https://archive.org/details/topologicalinvar0000arno/page/53 53–58]
 | publisher = American Mathematical Society
 | location = Providence, RI
 | series = University Lecture Series
 | title = Topological invariants of plane curves and caustics
 | volume = 5
 | year = 1994
 | url = https://archive.org/details/topologicalinvar0000arno/page/53
 }}</ref>

}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=TennisBallTheorem|제목=Tennis Ball Theorem}}

[[분류:구면기하학]]
[[분류:미분기하학 정리]]