탁월한 가환환 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]과 [[대수기하학]]에서 '''탁월한 가환환'''(卓越한可換環, {{llang|en|excellent commutative ring}})은 차원의 개념이 잘 정의되며(즉, [[현수환]]이며), [[완비화 (환론)|완비화]]가 ‘잘 작동하며’, 거의 모든 점들이 특이점이 아니며 (즉, 특이점의 집합이 [[닫힌집합]]이며), 이 성질들이 [[가환대수학]]의 주요 연산([[국소화 (환론)|국소화]], [[다항식환]], [[몫환]] 등)에 대하여 보존되는 [[뇌터 가환환]]이다. 즉, 이러한 가환환은 [[대수기하학]]이나 [[대수적 수론]]에 등장하는 주요 [[가환환]]들과 유사한 성질을 갖는다.

== 정의 ==
[[가환환]]의 임의의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에 대하여, [[국소환]]의 [[잉여류체]]를 <math>\kappa(\mathfrak p)</math>라고 하자.

[[뇌터 가환환|뇌터]] [[국소 가환환]] <math>(R,\mathfrak m)</math>에 대하여 다음 조건을 생각하자.
* (G) 임의의 <math>\mathfrak p \in \operatorname{Spec}R</math> 및 <math>\kappa(\mathfrak p)</math>의 [[유한 확대]] <math>K/\kappa(\mathfrak p)</math>에 대하여, <math>\hat R \otimes_R K</math>는 [[정칙 국소환]]이다.
여기서 <math>\hat R</math>는 <math>R</math>의 [[완비 국소환]]이다.

[[뇌터 가환환]] <math>R</math>이 다음 조건들을 만족시킨다면, '''탁월한 가환환'''이라고 한다.<ref name="Rotthaus">{{저널 인용|제목=Excellent rings, Henselian rings, and the approximation property | 이름=Christel | 성=Rotthaus | doi=10.1216/rmjm/1181071964 | 저널=Rocky Mountain Journal of Mathematics | 권=27 | 호=1|날짜=1997|mr=1453106|zbl=0881.13009|jstor=44238106|언어=en}}</ref>{{rp|Definition 1.7}}
* 임의의 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m \in \operatorname{Max}(R)</math>에 대하여, <math>R_{\mathfrak m}</math>이 (G)를 만족시킨다.
* 임의의 유한 생성 <math>R</math>-가환 [[결합 대수]] <math>A</math>에 대하여,
** (C) <math>A</math>는 [[현수환]]이다. (즉, <math>R</math>는 [[보편 현수환]]이다.)
** (J) <math>A</math>의 [[소 아이디얼]] 가운데, [[정칙 국소환]]을 정의하는 것들의 집합은 <math>\operatorname{Spec}A</math> 속의 [[열린집합]]이다.

만약 (C)조건을 생략한다면, '''준탁월한 가환환'''({{llang|en|quasiexcellent commutative ring}})이라고 한다.

보다 일반적으로, 탁월한 가환환의 [[아핀 스킴]]으로 구성된 [[열린 덮개]]를 갖는 [[국소 뇌터 스킴]]을 '''탁월한 스킴'''({{llang|en|excellent scheme}})이라고 한다.

== 성질 ==
임의의 탁월한 가환환의 [[소 아이디얼]] (스펙트럼의 점) 가운데, [[정칙 국소환]]을 정의하는 것들의 집합은 [[열린집합]]이다. 즉, 특이점들의 집합은 [[닫힌집합]]이다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
탁월한 가환환 <math>R</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 가환환들 역시 탁월한 가환환이다.
* 곱셈 부분 [[모노이드]] <math>S \subseteq R</math>에 대하여, [[국소화 (환론)|국소화]] <math>S^{-1}R</math>
* [[다항식환]] <Math>R[x_1,x_2,\dotsc,x_n]</math>
* 임의의 아이디얼 <math>\mathfrak i \subseteq R</math>에 대하여, [[몫환]] <math>R/\mathfrak i</math>

탁월한 가환환 <math>R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak i \subseteq R</math>가 주어졌을 때, [[완비화 (환론)|완비화]]
:<math>\hat R = \varprojlim_{n\to\infty} R/\mathfrak i^n</math>
를 취할 수 있다. 이 경우, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면, <math>\hat R</math> 역시 탁월한 가환환이다.<ref name="Rotthaus"/>{{rp|Theorem 1.11}}
* <math>R</math>의 [[극대 아이디얼]]의 수는 유한하다.
* <math>\mathbb Q \subseteq R</math>이다.

== 예 ==
다음과 같은 가환환은 탁월한 가환환이다.
* [[자명환]] <math>0</math>
* 모든 [[체 (수학)|체]]
* 모든 [[뇌터 가환환|뇌터]] [[완비 국소환]]
* [[환의 표수|표수]]가 0인 [[데데킨트 정역]]

=== 반례 ===
양의 [[환의 표수|표수]]에서는 탁월한 가환환이 아닌 [[이산 값매김환]]이 존재한다. 구체적으로,
* [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>
* [[체의 표수|표수]] <math>p</math>의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>. 또한 <math>[K:K^p] = \infty</math>라고 하자. (<math>K^p = \{a^p \colon a\in K\}</math>는 [[프로베니우스 사상]]의 [[치역]]이다.)

이 경우,
:<math>R = \left\{\sum_ia_ix^i \in K[\![x]\!] \colon [K^p(a_0,a_1,\dots):K^p] < \infty \right\}
 \subsetneq K[\![x]\!]</math>
라고 하자. 그렇다면 이는 [[이산 값매김환]]이며 따라서 [[보편 현수환]]이지만, 탁월한 가환환이 아니다.

== 역사 ==
탁월한 가환환의 개념은 [[알렉산더 그로텐디크]]가 1965년에 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Excellent ring}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]