타원 적분 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''타원 적분'''(Elliptic integral)은 역 [[삼각함수]]의 일반화로 볼 수 있으며, 보다 광범위한 문제에 대한 이해를 제공한다.

예로, 원의 [[호]] 길이는 매개 변수의 간단한 함수로 주어 질수있지만 타원의 호 길이 계산에는 타원 적분을 필요로 하게 된다. 유사하게, [[진자]]의 위치는 작은 각 [[진동]]에 대한 시간의 함수로서 삼각 함수에 의해 주어 지지만, 임의적으로 큰 변위에 대한 완전한 해에는 타원 적분의 사용이 필요하다. [[전자기학]] 및 중력의 다른 많은 문제들도 타원 적분에 의해 해결된다.

[[타원 함수]]로 알려진 함수의 매우 유용한 클래스는 타원 적분을 반전시켜 삼각 함수의 일반화를 얻음으로써 얻어진다.

타원 함수([[야코비 타원 함수]]와 [[바이어슈트라스 타원 함수]]가 가장 일반적인 두 가지 형태의 클래스이다)는 수학의 다른 영역뿐만 아니라 수 이론에서 많은 심각한 문제를 분석하는 강력한 도구를 제공한다.

모든 타원 적분은 세 가지 "표준"유형으로 작성할 수 있다.

== 표준유형 3종 ==
타원 적분의 세 가지 표준유형은 불완전한 유형과 완전한 유형을 각각 가지고 있다.

=== 불완전한 표준유형 3종 ===
제 <math>1</math> 종 <math>F</math> 의 불완전 타원 적분 은 다음과 같이 정의된다.
: <math> F(\varphi,k) = F\left(\varphi \,|\, k^2\right) = F(\sin \varphi ; k) = \int_0^\varphi \frac {d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}=\int_0^\varphi  {{1}\over{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}} } {d\theta}</math>

삼각 함수 형태 의 제 <math>2</math> 종 <math>E</math> 의 불완전 타원 적분은 다음 과 같다.

:<math> E(\varphi,k) = E(\varphi \,|\,k^2) = E(\sin\varphi;k) = \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\, d\theta</math>

제 <math>3</math> 종 <math>\Pi</math> 의 불완전 타원 적분은 다음과 같다.
:<math> \Pi(n ; \varphi \setminus \alpha) = \int_0^\varphi  {{1}\over{1-n\sin^2 \theta}}  { {d\theta}\over{\sqrt{1-(\sin\theta\sin \alpha)^2}} }= \int_0^{\varphi} {{1}\over{\left(1-n\sin^2\theta\right)\sqrt{1-(\sin\theta\sin \alpha)^2}}} {d\theta}</math>
<!--
 제 <math>3</math> 종 <math>\Pi</math> 의 불완전 타원 적분은 다음과 같다.
:<math> \Pi(n ; \varphi \setminus \alpha) = \int_0^\varphi  {{1}\over{1-n\sin^2 \theta}}  { {d\theta}\over{\sqrt{1-(\sin\theta\sin \alpha)^2}} }= \int_0^\varphi  {{1}\over{1-n\sin^2 \theta}}  { {1}\over{\sqrt{1-(\sin\theta\sin \alpha)^2}} }{d\theta}=\int_0^{\varphi} {{1}\over{\left(1-n\sin^2\theta\right)\sqrt{1-(\sin\theta\sin \alpha)^2}}} {d\theta}</math>
  -->
=== 완전한 표준유형 3종 ===
타원 적분은 진폭 <math>\varphi = {{\pi}\over{ 2}}</math> 이므로, 따라서 <math>x = 1 </math>일 때 '완전한'이라고 한다.

따라서 , 제 <math>1</math> 종<math> K</math> 의 완전한 타원 적분은 다음과 같이 정의 될 수있다.
:<math>K(k)=\int_0^\tfrac{\pi}{2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{\left(1-t^2\right)\left(1-k^2 t^2\right)}}=\int_0^1  {   1 \over {\sqrt{\left(1-t^2\right)\left(1-k^2 t^2\right)}}  } {dt}</math>


제 <math>2</math> 종 <math>E</math> 의 완전한 타원 적분 은 다음과 같이 정의된다.
:<math>E(k)=\int_0^\tfrac{\pi}{2} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\, d\theta=\int_0^1 \frac{\sqrt{1-k^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}}\,dt</math>

제 <math>3</math> 종의 <math>\Pi</math> 의 완전한 타원 적분은 다음과 같이 정의 될 수있다.
:<math>\Pi(n,k)=\int_0^\tfrac{\pi}{2} \frac{d\theta}{\left(1-n\sin^2\theta\right)\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}
=\int_0^{{\pi}\over{2}} {{1}\over{\left(1-n\sin^2\theta\right)\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}} {d\theta}</math>

== 함수와의 관계 ==
[[르장드르 관계식]](Legendre's relation)

:<math> K(k) E\left(\sqrt{1-k^2}\right) + E(k) K\left(\sqrt{1-k^2}\right) - K(k) K\left(\sqrt{1-k^2}\right) = \frac \pi 2</math>

== 같이 보기 ==
* [[타원 곡선]]
* [[특수 함수]]
* [[르장드르 다항식]]

<!-- ==참고==
* http://wiki.mathnt.net/index.php?title=%ED%83%80%EC%9B%90%EC%A0%81%EB%B6%84
-->

{{전거 통제}}

[[분류:타원함수]]
[[분류:특수 초기하함수]]