타원 곡면 문서 원본 보기

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{{구별|타원면}}
[[대수기하학]]에서 '''타원 곡면'''(橢圓曲面, {{llang|en|elliptic surface}})은 거의 모든 곳에서 [[타원 곡선]]을 올로 하는 [[올다발]]이 주어진 곡면이다.

== 정의 ==
'''타원 곡면'''은 '''타원 다발'''({{lang|en|elliptic fibration}})이 주어진 곡면이다. 여기서 타원 다발이란 타원 곡면에서 [[대수 곡선]]으로 가는, [[고유 사상|고유]]({{llang|en|proper}}) 연결({{llang|en|connected}}) [[매끄러운 사상]]에 대해 그곳의 거의 모든 올이 [[타원곡선]]인 [[올다발]]이다. [[타원 곡선]]이 아닌 올은 '''특이올'''(singular fiber)이라고 한다.

== 특성 ==
[[대수 곡면]]의 [[엔리퀘스-고다이라 분류]] 가운데, 타원 곡면은 상당히 중요한 종류이다. 이는 [[대수 곡면]]의 중요한 예로서, [[복소다양체|복소다양체론]]과 4차원 [[매끄러운 다양체]] 이론에서 상대적으로 잘 이해되는 분류이다. 이는 [[대수적 수체]] 위의 [[타원곡선]]과 비슷하여, 여기에서 많은 성질을 유추할 수 있다.

== 예 ==
* 임의의 [[타원 곡선]]과 임의의 곡선의 [[곱공간]]은 타원 곡면이다. 여기에는 특이올이 없다.
* [[고다이라 차원]]이 1인 모든 [[대수 곡면]]은 타원 곡면이다.
* 모든 [[엔리퀘스 곡면]](Enriques surface)은 타원 곡면을 이루며, [[사영 직선]] 위에 타원 다발을 갖는다.
* [[고다이라 곡면]]

== 특이올의 분류 ==
특이올({{llang|en|singular fiber}})의 종류는 유한하다. 이들은 [[유리 곡선]](rational curves)의 합집합이며, 특이점을 갖거나 0이 아닌 중첩수(multiplicities)를 갖는다 (따라서 해당하는 다발은 [[축소 스킴|비축소]] [[스킴 (수학)|스킴]]이다). 타원 곡면의 특이올의 분류는 [[고다이라 구니히코]]<ref>{{저널 인용| zbl=0137.17501 | last=Kodaira | first=Kunihiko | authorlink=고다이라 구니히코 | title=On the structure of compact complex analytic surfaces I | journal=American Journal of Mathematics | volume=86 | pages=751–798 | 날짜=1964|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용| zbl=0193.37701| last=Kodaira | first=Kunihiko | authorlink=고다이라 구니히코 | title=On the structure of compact complex analytic surfaces II | url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1966-07_88_3/page/n155| journal=American Journal of Mathematics | volume=88 | pages=682–721 | 날짜=1966|언어=en }}</ref>와 [[앙드레 네롱]]<ref>{{저널 인용| zbl=0132.41403 | first=André | last=Néron | authorlink=앙드레 네롱 | title=Modeles minimaux des variétés abeliennes sur les corps locaux et globaux | 언어=fr | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1964__21__5_0 | mr=0179172  | 날짜=1964 | journal=Publications mathématiques de l’IHÉS | volume=21 | pages=5–128 }}</ref> 이 발견하였다. 특이올의 구조는 [[존 테이트]]의 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다.

다음은 가능한 최소(minimal) 특이올의 목록이다. 여기서 "최소 특이올"이란 대략 "최소 곡선을 갖지 않는"이라는 뜻이다. 이 목록은 다음과 같다. 여기서 나열된 성질은 다음과 같다.
* 다발의 고다이라 부호
* 다발의 네롱 부호
* 다발의 기약 원의 개수 (I<sub>0</sub>형 빼고는 모두 유리수)
* 원의 [[교차 행렬]]. 즉 1×1의 [[영행렬]]이거나, [[딘킨 도표]]가 주어진 [[아핀 카르탕 행렬]]이다.

{| class=wikitable
|-
! 고다이라 부호
! 네롱 부호
! 기약 성분수
! 교차 행렬
|-
| I<sub>0</sub>
| A
| 1 (elliptic)
| 0
|-
| I<sub>1</sub>
| B<sub>1</sub>
| 1 (with double point)
| 0
|-
| I<sub>v</sub> (v≥2)
| B<sub>v</sub>
| v (v distinct intersection points)
| affine A<sub>v-1</sub>
|-
| <sub>''m''</sub>I<sub>v</sub> (v≥0, ''m''≥2)
|
| I<sub>v</sub> with multiplicity ''m''
| </sub>
|-
| II
| C<sub>1</sub>
| 1 (with cusp)
| 0
|-
| III
| C<sub>2</sub>
| 2 (meet at one point of order 2)
| affine A<sub>1</sub>
|-
| IV
| C<sub>3</sub>
| 3 (all meet in 1 point)
| affine A<sub>2</sub>
|-
| I<sub>0</sub><sup>*</sup>
| C<sub>4</sub>
| 5
| affine D<sub>4</sub>
|-
| I<sub>v</sub><sup>*</sup> (v&gt;0)
| C<sub>5,v</sub>
| 5+v
| affine D<sub>4+v</sub>
|-
| IV<sup>*</sup>
| C<sub>6</sub>
| 7
| affine E<sub>6</sub>
|-
| III<sup>*</sup>
| C<sub>7</sub>
| 8
| affine E<sub>7</sub>
|-
| II<sup>*</sup>
| C<sub>8</sub>
| 9
| affine E<sub>8</sub>
|}

이를 구하는 방법은 다음과 같다. 기하학적으로, 다발의 원의 교차 행렬은 음의 반정부호({{llang|en|negative semidefinite}})여야 하며, 연결되고, 대칭이며, 대각선에는 <math>-1</math>이 없어야 한다(최소성으로부터). 그러한 행렬은 영행렬이거나 A·D·E형 [[딘킨 도표]]의 [[카르탕 행렬]]이어야 한다.

교차 형렬은 특이올의 종류를 결정하는데, 단 다음과 같은 세 예외가 있다.
* 만약 교차 행렬이 영행렬이면 특이올은 [[타원 곡선]]이거나 (I<sub>0</sub>), 이중점이 있거나(type I<sub>1</sub>), 커스프(cusp)(type II)이다.
* 만약 교차 행렬이 아핀 A<sub>1</sub>이면, 2개의 원이 다중치 2이다. 이들은 차수가 1인 두 점에서 만나거나 (type I<sub>2</sub>), 차수가 2인 한 점에서 만난다(type III).
* 만약 교차 행렬이 아핀 A<sub>2</sub>이면, 3개의 원이 2점끼리 만난다. 이들은 3개의 서로 다른 점이거나 (type I<sub>3</sub>), 모두가 한 점에서 만난다 (type IV).

이 목록이 모든 비중복(non-multiple) 특이올 전부이다. 중복(multiple) 특이올은 [[단일 연결]]이 아닌 다발에만 존재하며, 이는 I<sub>v</sub>형 다발이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| title=Compact complex surfaces | first=Wolf P. | last=Barth | 공저자=Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven | isbn=3-540-00832-2 | zbl=1036.14016 | edition=2판 | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete | volume=4 | location=Berlin | publisher=Springer | 언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[엔리퀘스-고다이라 분류]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Elliptic surface}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/elliptic+fibration|제목=Elliptic fibration|웹사이트=nLab|언어=en}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:복소다양체]]
[[분류:벡터 다발]]
[[분류:곡면]]
[[분류:복소곡면]]
[[분류:대수곡면]]