타원함수 문서 원본 보기

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[[복소해석학]]에서 '''타원함수'''(楕圓函數, {{llang|en|elliptic function}})는 복소 [[타원 곡선]] 위에 정의된 [[유리형 함수]]이다. 즉, [[복소평면]] 위에 정의된, 두 개 방향으로 [[주기함수]]인 [[유리형 함수]]다.<ref name="Koblitz">{{서적 인용|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=97|날짜=1993|제목=Introduction to elliptic curves and modular forms|이름=Neal|성=Koblitz|doi=10.1007/978-1-4612-0909-6|isbn=978-1-4612-6942-7|issn=0072-5285|판=2판|zbl=0804.11039|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
<math>\omega_1,\omega_2\in\mathbb C</math>가 0이 아닌 복소수이고, 또한 그 비가 실수가 아니라고 하자.
* <math>\omega_1,\omega_2\ne0</math>
* <math>\omega_1/\omega_2\not\in\mathbb R</math>
그렇다면
:<math>\Lambda=\{m\omega_1+n\omega_2\colon m,n\in\mathbb Z\}</math>
는 [[격자]]를 이루며,
:<math>\mathbb C/\Lambda\equiv\mathbb C/(z\sim z+\Lambda)</math>
는 [[타원 곡선]]을 이룬다.

'''타원함수'''는 [[유리형 함수]] <math>f\colon\mathbb C/\Lambda\to\hat{\mathbb C}</math>이다. 여기서 <math>\hat{\mathbb C}</math>는 [[리만 구]]이다. 이 경우, <math>\omega_1,\omega_2</math>를 <math>f</math>의 '''주기'''({{llang|en|period}})라고 한다.

== 분류 ==
모든 타원함수는 [[바이어슈트라스 타원함수]] <math>\wp(z)</math>로 나타낼 수 있다. 구체적으로, 어떤 주어진 복소 [[타원 곡선]] <math>L</math> 위의 타원함수들의 [[체 (수학)|체]] <math>\mathcal E_L</math>을 생각하자. 그렇다면 다음과 같은 [[동형]]이 존재한다.<ref name=Koblitz/>{{rp|18}}
:<math>\mathcal E_L\cong\mathbb C(\wp,\wp')/(\wp'^2-4\wp^3-g_2\wp-g_3)</math>
여기서 <math>\wp'(z)=d\wp(z)/dz</math>이다. 다시 말해, 모든 타원 곡선은 [[바이어슈트라스 타원함수]]와 그 도함수에 대한 [[유리 함수]]로 나타낼 수 있다.

복소 타원곡선 <math>L</math> 위의, [[짝함수]]인 타원 함수들의 [[체 (수학)|체]] <math>\mathcal E_L^+</math>는 다음과 같다.<ref name=Koblitz/>{{rp|18}}
:<math>\mathcal E_L^+\cong\mathbb C(\wp)</math>

== 예 ==
대표적인 예로, [[바이어슈트라스 타원함수]] <math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)</math>와 [[야코비 타원함수]] <math>\operatorname{sn}(z)</math>, <math>\operatorname{cn}(z)</math>, <math>\operatorname{dn}(z)</math>가 있다.

== 같이 보기 ==
* [[타원 적분]]
* [[타원곡선]]
* [[모듈러 군]]
* [[세타 함수]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
 | first=Dale | last=Husemöller
 | 날짜 = 2004
 | 제목 = Elliptic Curves
 | edition = 2판
 | 기타 = Graduate Texts in Mathematics 111
 | publisher = Springer | 위치=New York
 | isbn= 978-0-387-95490-5
 | 언어=en
 | doi=10.1007/b97292
 | zbl =1040.11043
}}
* {{저널 인용|first=Adrian|last=Rice|제목=In search of the “birthday” of elliptic functions|저널=The Mathematical Intelligencer|날짜=2008-06|권=30|호=2|쪽=48–56|doi=10.1007/BF02985736|issn=0343-6993|zbl=1176.01004|언어=en}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Elliptic function}}
* {{매스월드|id=EllipticFunction|title=Elliptic function}}
* {{수학노트|title=타원함수}}
{{전거 통제}}

[[분류:타원함수| ]]