타원곡선 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:EllipticCurveCatalog.svg|섬네일|오른쪽|400px|타원곡선 <math>y^2=x^3+ax+b</math>들의 그래프. (<math>a=b=0</math>인 경우는 <math>x=y=0</math>이 [[특이점 (대수기하학)|특이점]]이므로 타원곡선이 아니다.)]]
[[대수기하학]]에서 '''타원곡선'''(橢圓曲線, {{llang|en|elliptic curve}})은 간단히 말해 <math>y^2=x^3+ax+b</math> 형태의 방정식으로 정의되는 [[대수 곡선]]으로서, [[첨점]]이나 교차점 등의 [[특이점 (대수기하학)|특이점]]이 없는 것이다. (계수체(coefficient field)의 [[체의 표수|표수]]가 2나 3인 경우 이 정의는 모든 비특이 [[3차 곡선]]들의 동형류를 포함하지 않는다.) 이는 대수기하학과 [[수론]]의 중요한 연구 대상이다.

중근을 갖지 않는 임의의 3차 혹은 4차 다항식 P에 대해 y<sup>2</sup> = P(x)는 [[곡면 종수]] 1의 비특이 평면 곡선의 방정식이며, 이 식으로 정의되는 곡선 또한 타원곡선이라 한다. 보다 일반적으로는 종수가 1인 임의의 비특이 대수 곡선을 타원 곡선이라 한다.

[[복소수체]] 상의 타원곡선은 [[원환면]]을 복소 [[사영 공간]]에 매장한 것에 대응된다. 이는 임의의 [[체 (수학)|체]]로 일반화할 수 있으며, 각 체 상의 타원곡선의 점들은 [[아벨 군]]을 이룬다. 즉, 타원곡선은 1차원 [[아벨 다양체]]이다.

== 정의 ==
<math>k</math>가 [[체 (수학)|체]]라고 하자. 타원곡선은 다음 조건들을 만족시키는, 원점이 주어진, <math>k</math>에 대한 사영 [[대수 곡선]]이다.
* [[특이점 (대수기하학)|특이점]]을 가지지 않는다.
* [[곡면 종수]]가 1이다. (즉, 복소수체의 경우 위상수학적으로 [[원환면]]이다.)
* 적어도 하나의 [[유리점]]을 가진다. 즉, 대수 곡선을 정의하는 식을 만족시키는 점 <math>(x,y)\in k^2</math>가 적어도 하나 존재한다(이 점은 무한대에 있을 수도 있다).
여기서 원점이 주어진 [[대수 곡선]]이란 [[순서쌍]] <math>(M,x_0)</math> (<math>x_0\in M</math>, <math>M</math>은 [[대수 곡선]])을 의미한다.

임의의 [[체의 표수]]에서, 타원곡선은 일반적으로 다음과 같은 같은 꼴의 식의 해의 집합으로 나타낼 수 있다.
:<math>y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6</math>
만약 체의 표수가 2나 3이 아닌 경우, 타원곡선은 다음과 같은 꼴의 식의 해의 집합으로 나타낼 수 있다.
:<math>y^2=x^3-px-q</math>
여기서 <math>(1,x,y)</math>는 [[사영 평면]]의 [[동차좌표]]이다. 이렇게 나타낸 경우, 원점은 <math>(0,0,1)</math>이 된다. 이 점은 <math>(x,y)</math> 평면에서의 [[무한대]]에 해당한다. 즉, <math>(x,y)</math> 평면에 무한대를 추가하여 사영 평면을 취한 뒤, 타원곡선을 사영 평면 속의 곡선으로 간주한다.

만약 [[체의 표수]]가 3인 경우, 일반적인 타원곡선은 다음과 같은 꼴의 식의 해의 집합으로 나타낼 수 있다.
:<math>y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6</math>
체의 표수가 2인 경우는 위의 일반적인 표현을 사용하여야 한다.

== 대표적인 체에 대한 타원곡선 ==
=== 실수체 위의 타원곡선 ===
실수체 상에서, 타원곡선은 실수 a와 b에 대해 방정식
:''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> + ''a'' ''x'' + ''b''
로 정의되는 [[평면 곡선]]이다. 1이 아닌 3차항의 계수와 0이 아닌 2차항의 계수는 ''x,y''를 다시 정의함으로써 흡수시킬 수 있기 때문에, 우변이 임의의 ''x''의 3차식이면 언제나 이 형태로 만들 수 있다. 이런 형태의 식을 [[바이어슈트라스 방정식]]이라고 한다.

예를 들어, 다음의 그림들은 방정식 ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x''와 ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' + 1로 정의된 실수체 상의 타원곡선의 그래프이다.

[[파일:ECClines-3.svg]]

타원곡선의 정의에는 이 곡선이 [[비특이 대수다양체|비특이]]하다는 조건이 포함된다. 기하학적으로 말하자면 이는 곡선의 그래프가 첨점이나 교차점이 없다는 뜻이다. 또한, 이는 [[판별식]]
: Δ = −16(4''a''<sup>3</sup> + 27''b''<sup>2</sup>)
이 0이 아니라는 대수적인 조건과 [[동치]]이다(이 판별식 표현에서 −16이라는 것이 아무 의미가 없는 것처럼 보일 수 있으나, 타원곡선을 깊이 공부하다보면 아주 중요한 역할을 하게 된다).

비특이 [[대수 곡선]]은 판별식이 양수일 경우 두 개의 [[연결 성분]]을 가지고, 음수일 경우에는 하나의 [[연결 성분]]만을 가진다. 예를 들자면, 위의 그래프에서 첫 번째 곡선의 판별식은 64, 두 번째 곡선의 판별식은 −368이다.

=== 복소수체 위의 타원곡선 ===
복소수체에서의 타원곡선은 1차원 [[아벨 다양체]]이다. 종수가 1이므로, 기하학적으로 이는 [[원환면]]의 모양을 하고 있다.

임의의 타원곡선
:<math>y^2=4x^3-px-q</math>
가 주어졌다면, 이를 다음과 같이 원환면으로 여길 수 있다. [[복소 구조]]를 갖춘 원환면은 격자
:<math>\Lambda\subset\mathbb C</math>
에 대한 몫공간
:<math>\mathbb C/\Lambda</math>
으로 여길 수 있다. 그렇다면 이 원환면에서 타원곡선으로 [[바이어슈트라스 타원함수]] <math>\wp(z;\Lambda)</math>를 사용해 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.
:<math>z\in \mathbb C/\Lambda</math>
:<math>z\mapsto(x,y)=(\wp(z;\Lambda),\wp'(z;\Lambda))</math>
바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.
:<math>\wp'(z;\Lambda)^2=4\wp(z;\Lambda)^3-g_2(\Lambda)\wp(z)-g_3(\Lambda)</math>
따라서 이는
:<math>(p,q)=(g_2(\Lambda),g_3(\Lambda))</math>
인 타원 곡선과의 동형사상이다.

=== 수체 위의 타원곡선 ===
[[유리수체]]를 비롯한 다른 [[대수적 수체]]에 대한 타원곡선은 [[수론]]에서 중요한 위치를 차지한다. 이 경우, 수체에 대한 타원곡선의 점들은 보통 '''[[유리점]]'''이라고 한다(이는 유리수체가 아닌 다른 수체에도 사용된다). 주어진 수체 <math>K</math>에 대하여, 타원곡선 <math>E</math>의 <math>K</math>-유리점들의 집합 <math>E(K)</math>는 [[아벨 군]]을 이룬다.

[[모델-베유 정리]]에 따라서, 타원곡선의 [[유리점]]군 <math>E(K)</math>는 항상 [[유한 생성 아벨 군]]이며, 따라서 그 [[계수 (아벨 군)|계수]]와 [[꼬임 부분군]]에 의해 주어진다. 유리점군의 [[계수 (아벨 군)|계수]]는 [[버치-스위너턴다이어 추측]]에 의하여 이에 대응하는 [[하세-베유 L-함수]]의 영점의 차수에 의하여 주어진다고 믿어지나, 아직 이는 증명되지 않았다.

유리수체의 경우, 유리점군의 [[꼬임 부분군]]은 [[메이저 꼬임 정리]]에 따라 15가지의 가능한 군 가운데 하나이다. 다른 수체의 경우에도 메이저 꼬임 정리와 유사한, 가능한 꼬임 부분군 목록들이 존재한다.

=== 유한체 위의 타원곡선 ===
[[유한체]] <math>\mathbb F_q</math>에 대한 타원곡선은 유한 개의 점들로 이루어지며, 이들은 [[유한군]]을 이룬다. 이 경우, 점의 개수를 세는 것은 일반적으로 매우 어려운 문제이며, [[수론]]의 주요 연구 분야 가운데 하나이다. '''하세 정리'''({{llang|en|Hasse’s theorem}})에 따라서, 그 수는 다음과 같다. <math>\mathbb F_q</math> 위의 타원곡선 <math>E</math>에 대하여, 그 점의 수 <math>\#E(\mathbb F_q)</math>는 다음과 같은 상계 및 하계를 가진다.
:<math>q+1-2\sqrt q\le\#E(\mathbb F_q)\le q+1+2\sqrt q</math>

유한체에 대한 타원곡선의 점들이 이루는 [[유한군]]은 항상 두 [[순환군]]의 곱이다. 예를 들어, 유한체 <math>\mathbb F_{71}</math>에 대한 타원 곡선 <math>y^2=x^3-x</math>은 72개의 점 (71개의 아핀 점과 무한대에서의 점)을 갖고, 그 군 구조는 2차 [[순환군]]과 36차 [[순환군]]의 곱이다.
:<math>(\mathbb Z/2\mathbb Z)\times(\mathbb Z/36\mathbb Z)</math>

유한체에 대한 타원곡선은 [[타원곡선 암호]]를 정의하는 데 사용된다.

== 역사와 어원 ==
[[타원 적분]]({{lang|en|elliptic integral}})에서 그 이름을 땄다. 이름과는 달리, [[타원]]과 직접적인 관련이 없다. 특히, 타원은 2차 곡선이므로, 곡선으로서 타원 곡선(3차 곡선)이 아니다.

오늘날 타원곡선으로 불리는 대상은 [[디오판토스]]가 최초로 다뤘다.<ref>{{저널 인용|제목=Elliptic curves from Mordell to Diophantus and back|doi=10.2307/3072428|issn=0002-9890|권=109|호=7|쪽=639–649|날짜=2002-08|jstor=3072428|이름=Ezra|성=Brown|공저자=Bruce T. Myers|저널=The American Mathematical Monthly|언어=en|zbl=1083.11037|url=http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/dioellip.pdf|확인날짜=2013-06-24|보존url=https://web.archive.org/web/20130426063628/http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/dioellip.pdf|보존날짜=2013-04-26|url-status=dead}}</ref> 디오판토스는
:<math>y(a-y)=x^3-x</math>
꼴의 타원곡선에 대하여 기술하였다. 이후 [[피에르 드 페르마]]와 [[아이작 뉴턴]], [[카를 구스타프 야코프 야코비]], [[카를 바이어슈트라스]], [[앙리 푸앵카레]] 등이 타원곡선에 대하여 연구하였다.

[[존 테이트]] 등이 타원곡선 이론을 [[수론]]과 연관지었다. [[앤드루 와일스]]는 타원곡선에 대한 [[모듈러성 정리]](의 상당 부분)을 증명하여, 이를 통해 [[페르마의 마지막 정리]]를 증명하였다. 또한, 오늘날 [[유한체]]에 대한 타원곡선은 [[암호론]]에서 [[타원곡선 암호]]를 정의하는 데 사용된다.

== 응용 ==
타원곡선은 [[수론]]에 등장한다. 예를 들어, 타원곡선에 대한 정리인 [[모듈러성 정리]]는 [[페르마의 마지막 정리]]를 증명하는데 사용되었다. 또한, [[유한체]]에 대한 타원곡선은 [[암호론]]에 응용된다. 이를 '''[[타원곡선 암호]]'''라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[타원 곡면]]
* [[동류 사상]]
* [[모듈러성 정리]]
* [[리만-후르비츠 공식]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Three Fermat trails to elliptic curves|이름=Ezra|성=Brown|doi=10.2307/2687483|저널=The College Mathematics Journal|issn=0746-8342|권=31|호=3|쪽=162–172|날짜=2000-05|jstor=2687483|url=http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Polya/07468342.di020792.02p05747.pdf|언어=en|zbl=0995.11514|확인날짜=2013년 6월 24일|보존url=https://web.archive.org/web/20100713214250/http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Polya/07468342.di020792.02p05747.pdf|보존날짜=2010년 7월 13일|url-status=dead}}
* {{서적 인용
 | first=Dale | last=Husemöller
 | 날짜 = 2004
 | 제목 = Elliptic Curves
 | edition = 2판
 | 총서 = Graduate Texts in Mathematics
 | 권 = 111
 | publisher = Springer | 위치=New York
 | isbn= 978-0-387-95490-5
 | 언어=en
 | doi=10.1007/b97292
 | zbl =1040.11043
}}
* {{서적 인용
 | 이름 = Anthony W. | 성= Knapp
 | 날짜 = 1992
 | 제목 = Elliptic Curves
 | 총서 = Mathematical Notes | 권 = 40
 | publisher = Princeton University Press
 | url=http://press.princeton.edu/titles/5272.html
 | isbn=978-0-691-08559-3
 | 언어=en
 | zbl = 0804.14013
 }}
* {{서적 인용
 | 성 = Koblitz |이름=Neal
 | 날짜 = 1993 | 판=2판
 | 제목 = Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms
 | 총서= Graduate Texts in Mathematics | 권 = 97
 | publisher = Springer | 위치=New York
 | isbn= 978-1-4612-6942-7
 | doi=10.1007/978-1-4612-0909-6
 | issn=0072-5285
 | 언어=en
 | zbl = 0804.11039
 }}
* {{저널 인용|url=http://www.mathnet.or.kr/mathnet/kms_content.php?no=292027|제목=타원곡선에 대한 지난 20년 간의 연구 동향|저자=양재현|저널=Communications of the Korean Mathematical Society|권=14|호=3|쪽=449–477|날짜=1999|언어=ko|확인날짜=2013-10-30|보존url=https://web.archive.org/web/20131031125135/http://www.mathnet.or.kr/mathnet/kms_content.php?no=292027|보존날짜=2013-10-31|url-status=dead}}

=== 수론 및 암호학 중심 ===
* {{서적 인용|제목=초보자를 위한 암호와 타원곡선|저자=서광석 외|출판사=경문사|날짜=2000|isbn=9788972824817|언어=ko}}
* {{서적 인용
 | 성=Silverman
 | first=Joseph H.
 | 날짜=2009
 | 제목=The Arithmetic of Elliptic Curves
 | 총서=Graduate Texts in Mathematics
 | 권=106
 | publisher=Springer
 | 위치=New York
 | 판=2판
 | isbn=978-0-387-09493-9
 | issn=0072-5285
 | doi=10.1007/978-0-387-09494-6
 | url=http://www.math.brown.edu/~jhs/AECHome.html
 | 언어=en
 | zbl=1194.11005
 | 확인날짜=2013-06-24
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 }}
* {{서적 인용
 | 이름 = Lawrence C. | 성 = Washington | 날짜 = 2008-04-03
 | title = Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography
 | publisher = Chapman & Hall/CRC
 | isbn=978-142007146-7
 | 언어=en
 | 판=2판
 | url = http://www2.math.umd.edu/~lcw/ec.html
 | doi=10.1201/9781420071474
 | 기타=Discrete Mathematics and Its Applications
 }}
* {{저널 인용|저널={{lang|la|Inventiones Mathematicae}}|날짜=1974|권=23|호=3–4|쪽=179–206|제목=The arithmetic of elliptic curves|이름=John T.|성=Tate|doi=10.1007/BF01389745|mr=0419359|zbl=0296.14018|issn=0020-9910| 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Elliptic curve}}
* {{매스월드|id=EllipticCurve|title=Elliptic curve}}
* [https://web.archive.org/web/20030223074754/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/14H52.html The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves]
* {{웹 인용|제목=Elliptic curve handbook|이름=Connell|성=Ian|날짜=1999-02|url=http://biblioteca.ucm.es/mat/doc8354.pdf|언어=en|확인날짜=2013-06-24|보존url=https://web.archive.org/web/20131020083253/http://biblioteca.ucm.es/mat/doc8354.pdf#|보존날짜=2013-10-20|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:타원곡선| ]]
[[분류:수론]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:해석적 수론]]