타우버의 정리 문서 원본 보기

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'''타우버의 정리'''(Tauber's theorem, -定理)는 [[해석학 (수학)|해석학]]의 초등적인 [[정리]] 중 하나로, [[오스트리아-헝가리 제국]]의 수학자 [[알프레트 타우버]](Alfred Tauber)의 이름이 붙어 있다. [[슈톨츠-체사로 정리]]의 부분적 역을 제공하는 정리이다.

== 공식화 ==
타우버의 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.<ref name="김락중">{{서적 인용
|저자1=김락중
|저자2=박종안
|저자3=이춘호
|저자4=최규흥
|제목=해석학 입문
|판=3
|출판사=경문사
|날짜=2007
|isbn=978-8-96-105054-8
}}</ref>{{rp|166}}

* 음이 아닌 항의 단조증가수열 {s<sub>n</sub>}에 대해, 이 수열이 어떤 실수 L로 [[체사로 덧셈가능]]하면, 실제로 이 수열은 무한대에서 L로 수렴한다.

== 증명 ==
{s<sub>n</sub>} 가 L로 체사로 덧셈가능이라 가정하자. 만약 무한대에서 이 극한값이 존재한다면 슈톨츠-체사로 정리에 의해 반드시 L이어야 한다. 그러므로 이 수열은 무한대에서 [[발산]]한다고 가정하자. 그런데 이는 단조증가수열이므로, 발산한다면 반드시 양의 [[무한대]]로 정발산해야 한다. 이를 가정하여 모순이 됨을 보이자.

한편 다음과 같이 정의한 자연수열 {M<sub>n</sub>}에 대하여,

: M<sub>n</sub> := Max{m|m∈{1, 2, ..., n}은 ns<sub>m</sub> ≤ s<sub>1</sub> + ... + s<sub>n</sub>을 만족하는 자연수}

{s<sub>M<sub>n</sub></sub>}은 {s<sub>n</sub>}의 [[부분수열]]이 되고, 따라서 [[단조증가]]한다. 왜냐하면,

: <math>(n+1)\sum_{k=1}^n s_k = n\sum_{k=1}^n s_k + \sum_{k=1}^n s_k \le n\sum_{k=1}^n s_k + ns_n \le n\sum_{k=1}^n s_k + ns_{n+1} = n\sum_{k=1}^{n+1} s_k</math>

이기 때문이다. 만약 이 부분수열이 [[유계]]라면, [[상한]]과 동일한 값을 갖는 수열의 항이 존재할 것이고, {s<sub>n</sub>}은 정발산하므로 이보다 큰 고정된 s<sub>r</sub>이 존재하여, 충분히 큰 n에 대해 다음 식이 항상 성립한다.

: <math>ns_r > \sum_{k=1}^{n} s_k.</math>

이항하고 정리하면,

: <math>\sum_{k=1}^{n}(s_r - s_k) > 0.</math>

그런데 {s<sub>n</sub>}은 정발산하므로 k'<m이면 s<sub>r</sub> - s<sub>0</sub> < s<sub>m</sub> - s<sub>r</sub> 을 만족하는 자연수 k'가 존재하고, [[양수]]인 (s_r - s_k)의 항은 많아야 r-1개이므로, n ≥ k'+r-1인 모든 n에 대하여 <math>\sum_{k=1}^{n}(s_r - s_k) \le 0</math> 을 만족한다. 이는 이상에 모순이고, 그러므로 {s<sub>M<sub>n</sub></sub>}은 양의 무한대로 발산해야 한다.

이제 <math>s_{M_n} \le \frac{s_1 + ... + s_n}{n}</math>에서 양 변을 무한대로 증가시키는 극한을 취하면, [[초실수체]] 상에서,

: <math>\infty \le L</math>

을 얻고, 이는 모순이다.

== 같이 보기 ==
* [[슈톨츠-체사로 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Korevaar | first=Jacob | title=Tauberian theory. A century of developments | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften | volume=329 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2004 | isbn=978-3-540-21058-0 |url=http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-10225-1}}
* {{서적 인용 | first=Hugh L.|last= Montgomery | authorlink=Hugh Montgomery (mathematician) |author2-link=Robert Charles Vaughan (mathematician)|first2=Robert C.|last2= Vaughan | title=Multiplicative number theory I. Classical theory | series=Cambridge tracts in advanced mathematics | volume=97 | year=2007 | isbn=0-521-84903-9 | pages=147–167 | publisher=Cambridge Univ. Press | location=Cambridge }}
* {{저널 인용 | last=Tauber | first=A. | title=Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen (A theorem from the theory of infinite series) |language=독일어| doi=10.1007/BF01696278 | year=1897 | journal=Monatsh. F. Math. | volume=8 | pages=273–277 | postscript=. | jfm=28.0221.02}}
* {{저널 인용 | first=N. |last=Wiener | authorlink=Norbert Wiener | title=Tauberian theorems |  year=1932 | volume=33 | pages=1–100 | doi=10.2307/1968102 | jstor=1968102 | issue=1 | journal=Annals of Mathematics | ref=harv }}

[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:급수]]
[[분류:총합법]]