타르스키 고정점 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[순서론]]에서 '''타르스키 고정점 정리'''({{llang|en|Tarski’s fixed point theorem}}) 또는 '''크나스터-타르스키 정리'''({{llang|en|Knaster–Tarski theorem}})는 [[완비 격자]]에서 자신으로 가는 [[단조함수]]의 [[고정점]]이 존재한다는 정리이다.

이는 [[이론 컴퓨터 과학]]의 [[형식 의미론]] 및 [[추상 해석]] 분야에서 중요한 정리이다.

== 정의 ==
[[완비 격자]] <math>L</math>과 [[단조함수]] <math>f\colon L\to L</math>가 주어졌다고 하자. '''타르스키 고정점 정리'''에 따르면, <math>f</math>의 [[고정점]]의 집합
:<math>\operatorname{fix}(f)=\{a\in L\colon f(a)=a\}</math>
역시 [[완비 격자]]를 이룬다. (그러나, <math>\operatorname{fix}(f)</math>가 <math>L</math>의 부분 격자일 필요는 없다. 즉, <math>\operatorname{fix}(f)</math>에서의 [[상한]]과 [[하한]]은 <math>L</math>에서와 일치하지 않을 수 있다.) 특히, <math>f</math>의 [[최대 원소|최대]] [[고정점]]과 [[최소 원소|최소]] [[고정점]]이 존재하며, 특히 <math>f</math>는 적어도 하나의 고정점을 갖는다. 또한, <math>f</math>의 최대·최소 고정점은 각각 다음과 같이 주어진다.
:<math>\bigvee\operatorname{fix}(f)=\bigvee\{a\in L\colon a\le f(a)\}</math>
:<math>\bigwedge\operatorname{fix}(f)=\bigwedge\{a\in L\colon a\ge f(a)\}</math>

=== 증명 ===
타르스키를 따라, 다음 순서대로 증명한다.
* (가) <math>\textstyle\bigvee\{a\in L\colon a\le f(a)\}</math>는 <math>f</math>의 [[최대 원소|최대]] [[고정점]]이다.
* (나) <math>\textstyle\bigwedge\{a\in L\colon a\ge f(a)\}</math>는 <math>f</math>의 [[최소 원소|최소]] [[고정점]]이다.
* (다) <math>\operatorname{fix}(f)</math>는 [[완비 격자]]이다.
명제 (가)의 증명. <math>M=\{a\in L\colon a\le f(a)\}</math>라고 하자. 임의의 <math>a\in M</math>에 대하여, <math>\textstyle a\le\bigvee M</math>이므로, <math>\textstyle a\le f(a)\le f\left(\bigvee M\right)</math>이다. 따라서 <math>\textstyle\bigvee M\le f\left(\bigvee M\right)</math>이다. 반대로, <math>\textstyle f\left(\bigvee M\right)\le f\left(f\left(\bigvee M\right)\right)</math>이므로, <math>M</math>의 정의에 따라 <math>\textstyle f\left(\bigvee M\right)\in M</math>이다. 따라서 <math>\textstyle f\left(\bigvee M\right)\le\bigvee M</math>이다. 따라서, <math>\textstyle\bigvee M</math>은 <math>f</math>의 [[고정점]]이다. 모든 고정점은 <math>M</math>에 속하므로, <math>\textstyle\bigvee M</math>은 <math>f</math>의 [[최대 원소|최대]] [[고정점]]이다.

명제 (나)의 증명. <math>L</math>의 반대 격자 <math>L^{\operatorname{op}}</math>를 생각하자. <math>L^{\operatorname{op}}</math> 역시 [[완비 격자]]를 이루며, <math>f</math>는 <math>L^{\operatorname{op}}</math> 위에서도 [[단조함수]]이다. 따라서 <math>L^{\operatorname{op}}</math>에 대하여 명제 (가)가 성립한다. 이는 정확히 <math>L</math>에 대한 명제 (나)와 일치한다.

명제 (다)의 증명. <math>S</math>가 <math>\operatorname{fix}(f)</math>의 임의의 부분 집합이라고 하자. <math>\operatorname{fix}(f)</math>에서 <math>S</math>의 [[상한]]이 존재함을 보이면 충분하다. <math>S</math>의 <math>L</math>에서의 [[상한]] <math>\textstyle\bigvee S</math>를 생각하자. 그렇다면 구간 <math>\textstyle\left[\bigvee S,\top\right]=\left\{a\in L\colon a\ge\bigvee S\right\}</math>는 <math>S</math>의 [[상계 (수학)|상계]]의 집합이며, [[완비 격자]]를 이룬다 (이는 부분 격자이기도 하지만, 부분 완비 격자가 아닐 수 있다). 임의의 <math>s\in S</math>에 대하여 <math>\textstyle s=f(s)\le f\left(\bigvee S\right)</math>이므로, <math>\textstyle\bigvee S\le f\left(\bigvee S\right)</math>이다. <math>a\in L</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle a\ge\bigvee S</math>라면, <math>\textstyle f(a)\ge f\left(\bigvee S\right)\ge\bigvee S</math>이다. 따라서, <math>f</math>를 <math>\textstyle\left[\bigvee S,\top\right]</math> 위의 함수 <math>\textstyle f'\colon\left[\bigvee S,\top\right]\to\left[\bigvee S,\top\right]</math>로 여길 수 있다. 명제 (나)에 따라, <math>f'</math>의 [[최소 원소|최소]] [[고정점]]이 존재한다. 이는 <math>f</math>의 고정점이며, <math>S</math>의 상계가 되는 가장 작은 <math>f</math>의 고정점이다. 다시 말해, <math>S</math>의 <math>\operatorname{fix}(f)</math>에서의 [[상한]]이다.

=== 고정점 집합이 부분 격자가 아닌 경우 ===
고정점 집합은 완비 격자이지만, 부분 격자가 아닐 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 [[부분 순서 집합]]을 생각하자.
:<math>L=\{\bot,a,a',b,\top\}</math>
:<math>\bot<a,a'<b<\top</math>
그렇다면, <math>L</math>은 [[완비 격자]]를 이룬다. 이제 <math>f\colon L\to L</math>이며
:<math>f(x)=x\qquad(x=\bot,a,a',\top)</math>
:<math>f(b)=\top</math>
라고 하자. <math>f</math>는 <math>L</math> 위의 [[단조함수]]이며, <math>a</math>와 <math>a'</math>은 <math>f</math>의 [[고정점]]이지만, <math>a\vee a'=b</math>는 <math>f</math>의 [[고정점]]이 아니다. (<math>a</math>와 <math>a'</math>의 <math>\operatorname{fix}(f)</math>에서의 [[상한]]은 <math>b</math>가 아닌 <math>\top</math>이다.) 따라서, <math>\operatorname{fix}(f)</math>는 <math>L</math>의 부분 격자가 아니다.

== 귀결 ==
[[완비 격자]]는 공집합일 수 없으므로, 이 정리는 상기한 <math>f</math>에 적어도 한개의 고정점이 있음을, 나아가서 최소 고정점이 있음을 보장한다.

조건을 추가하여 임의의 [[부분 순서 집합]]에 대하여 유사한 결과를 증명할 수 있다. 이를 [[동역학계]] 이론에 적용하여 [[프랙탈]]의 일종인 [[반복함수계]](iterated function system) 연구에 사용할 수 있다.

모든 증가수열 <math>x_n</math>에 대해 <math>f(\lim x_n) = \lim f(x_n)</math>이면, <math>f</math>의 최소 고정점은 <math>\lim f_n(0)</math>이며, 이는 정리의 구성적 버전(Kleene fixed-point theorem)을 제공한다.

이론 컴퓨터 과학에서, 단조함수에 대한 최소 고정점 정리는 프로그램 의미론을 정의하는 데 사용된다. 이 경우 특히 격자 L을 특정 집합의 모든 부분집합들을 모은 것, 즉 멱집합 격자로 가정하는 특수한 케이스에 대하여 집중하는 것이 일반적이다. 그리고 나서 f의 고정점이 되기 위해 필요한 조건을 가지는 최소의 집합을 찾아낸다.

== 역 ==
반대로, 모든 [[단조함수]]의 [[고정점]]이 존재하는 [[격자 (순서론)|격자]]는 [[완비 격자]]이다.<ref name="Davis">{{저널 인용
|이름1=Anne C.
|성1=Davis
|제목=A characterization of complete lattices
|언어=en
|저널=Pacific Journal of Mathematics
|권=5
|쪽=311–319
|날짜=1955
|issn=1945-5844
|doi=10.2140/pjm.1955.5.311
|mr=0074377
|zbl=0064.26101
}}</ref>{{rp|313, Theorem 2}} 즉, 타르스키 고정점 정리는 [[완비 격자]]의 정의로 삼을 수 있다. 그러나 모든 [[단조함수]]가 [[고정점]]이 존재하는 [[부분 순서 집합]]은 [[완비 격자]]일 필요가 없다.

=== 역의 증명 ===
[[격자 (순서론)|격자]] <math>L</math>이 [[완비 격자]] 위에 항상 [[고정점]]이 없는 [[단조함수]] <math>f\colon L\to L</math>를 구성하면 족하다. 두 [[부분 집합]] <math>A,B\subseteq L</math>에 대하여, 다음 조건들을 생각하자.
* (라) <math>A</math>는 [[정렬 전순서 집합]]이다.
* (마) <math>B</math>의 반대 순서 집합 <math>B^{\operatorname{op}}</math>는 [[정렬 전순서 집합]]이다.
* (바) 임의의 <math>a\in A</math> 및 <math>b\in B</math>에 대하여, <math>a<b</math>
* (사) 동시에 <math>A</math>의 [[상계 (수학)|상계]]이자 <math>B</math>의 [[하계 (수학)|하계]]인 <math>L</math>의 원소가 존재하지 않는다.
만약 <math>A</math>와 <math>B</math>가 위 조건들을 만족시킨다면, 함수
:<math>f\colon L\to L</math>
:<math>f\colon x\mapsto\begin{cases}
\min\{a\in A\colon a\not\le x\}&\forall b\in B\colon x\le b\\
\max\{b\in B\colon x\not\le b\}&\exist b\in B\colon x\not\le b
\end{cases}
</math>
는 [[단조함수]]이며, [[고정점]]이 존재하지 않는다. 따라서, 조건 (라)~(사)를 만족시키는 <math>A</math>와 <math>B</math>를 찾는 것으로 족하다. 모든 부분 집합의 [[상한]]이 존재하는 [[부분 순서 집합]]은 [[완비 격자]]이므로, [[상한]]이 없는 <math>L</math>의 [[부분 집합]] <math>\{a''_\alpha\colon\alpha<\kappa\}</math>가 존재한다. 편의상 그 [[집합의 크기|크기]] <math>\kappa</math>가 최소라고 하자. <math>L</math>이 [[격자 (순서론)|격자]]이므로, <math>\kappa</math>은 0이거나 [[무한 기수]]이다. 이제, 임의의 [[순서수]] <math>\alpha<\kappa</math>에 대하여, <math>\{a''_\beta\colon\beta<\alpha\}</math>의 크기는 <math>\kappa</math>미만이므로, [[상한]]
:<math>a'_\alpha=\bigvee_{\beta<\alpha}a''_\beta</math>
이 존재한다. <math>(a'_\alpha\colon\alpha<\kappa)</math>는 단조 초한 점렬이지만, [[순단조함수|순단조]]가 아닐 수 있다. 중복된 항을 제거하여 순단조 초한 점렬 <math>(a_\alpha\colon\alpha<\kappa)</math>로 만들자 (길이가 <math>\kappa</math>인 것은 <math>\kappa</math>의 최소성을 사용하여 보일 수 있다). 이 경우, <math>A=\{a_\alpha\colon\alpha<\kappa\}</math>는 [[정렬 전순서 집합]]이다. 만약 <math>A</math>의 [[상한]]이 존재한다면, 이는 <math>\{a''_\alpha\colon\alpha<\kappa\}</math>의 [[상한]]이 되어 모순이 일어난다. 따라서 <math>A</math>의 [[상한]]이 존재하지 않는다. <math>A</math>의 [[상계 (수학)|상계]]들로 구성된 순감소 초한 점렬들의 집합 위에 다음과 같은 [[부분 순서]]를 주자.
:<math>(x_\alpha'\colon\alpha'<\alpha)\preceq(y_\beta'\colon\beta'<\beta)\iff\alpha\le\beta,\;x=y\restriction\alpha</math>
즉, 끝에 항을 추가하면 더 큰 초한 점렬을 얻는다. [[초른 보조정리]]에 따라, 이 부분 순서에 따른 [[극대 원소]] <math>(b_\alpha\colon\alpha<\lambda)</math>가 존재한다 (<math>\lambda</math>가 [[기수 (수학)|기수]]일 필요는 없다). <math>B=\{b_\alpha\colon\alpha<\lambda\}</math>의 반대 순서 집합 <math>B^{\operatorname{op}}</math>은 [[정렬 전순서 집합]]이다. 만약 <math>\textstyle\bigwedge B</math>가 존재한다면, <math>\textstyle\bigwedge B</math> 역시 <math>A</math>의 [[상계 (수학)|상계]]이다. <math>A</math>의 상한이 존재하지 않으므로, <math>\textstyle\bigwedge B\not\le b</math>인 <math>A</math>의 [[상계 (수학)|상계]] <math>b\in L</math>가 존재한다. 이 경우, <math>\textstyle\bigwedge B\wedge b</math>는 <math>A</math>의 상계이며, <math>\textstyle\bigwedge B\wedge b<\bigwedge B</math>이다. 이는 <math>(b_\alpha\colon\alpha<\lambda)</math>의 극대성과 모순이다. 따라서, <math>B</math>의 [[하한]] 역시 존재하지 않는다. 이제, <math>A=\{a_\alpha\colon\alpha<\kappa\}</math>와 <math>B=\{b_\alpha\colon\alpha<\lambda\}</math>에 대하여 조건 (사)를 증명하는 일만 남았다. [[귀류법]]을 사용하여, <math>b\in L</math>이 <math>A</math>의 [[상계 (수학)|상계]]이자 <math>B</math>의 [[하계 (수학)|하계]]라고 하자. 그렇다면, <math>(b_\alpha\colon\alpha<\lambda)</math>의 극대성에 따라 <math>b\in B</math>이다. 따라서 <math>b</math>는 <math>B</math>의 [[하한]]이며, 이는 모순이다.

== 일반화 ==
[[격자 (순서론)|격자]] <math>L</math>의, [[공집합]]이 아닌 두 부분 격자 <math>M</math>, <math>N</math>에 대하여, 다음과 같은 [[이항 관계]]를 정의하자.
:<math>M\preceq N\iff\forall a\in M\forall b\in N\colon a\wedge b\in M,\;a\vee b\in N</math>
특히, 만약 <math>M\preceq N</math>이라면, 임의의 <math>a\in M</math>에 대하여, <math>a\le b</math>인 <math>b\in N</math>이 존재하며, 마찬가지로 임의의 <math>b\in N</math>에 대하여, <math>a\le b</math>인 <math>a\in M</math>이 존재한다. 즉, <math>M\subseteq\mathop\downarrow N</math>이며 <math>N\subseteq\mathop\uparrow M</math>이다. 이 [[이항 관계]]는 [[공집합]]이 아닌 부분 격자의 집합 위의 [[부분 순서]]를 이룬다. <math>L</math>의 원소는 자연스럽게 <math>L</math>의 부분 격자로 여길 수 있다. 이 경우, 부분 격자의 순서는 원소의 순서를 확장한다. 따라서, 아래의 정리는 타르스키 고정점 정리를 일반화한다.

다음이 주어졌다고 하자.
* [[완비 격자]] <math>L</math>
* [[단조함수]] <math>f\colon L\to(\operatorname{Sub}(L),{\preceq}|_{\operatorname{Sub}(L)})</math>. 여기서 <math>(\operatorname{Sub}(L),{\preceq}|_{\operatorname{Sub}(L)})</math>은 <math>L</math>의 부분 완비 격자의, 위에서 정의한 순서에 따른 [[부분 순서 집합]]이다. (부분 완비 격자는 완비 격자인 부분 격자보다 더 강한 개념이다. 전자는 모든 상한과 하한이 원래 격자와 일치하지만, 후자는 모든 유한 집합의 상한·하한의 일치만을 요구한다.)
그렇다면, <math>f</math>의 [[고정점]] 집합
:<math>\operatorname{fix}(f)=\{a\in L\colon a\in f(a)\}</math>
은 [[완비 격자]]를 이룬다.<ref name="Zhou">{{저널 인용
|이름=Lin
|성=Zhou
|제목=The set of Nash equilibria of a supermodular game is a complete lattice
|언어=en
|저널=Games and Economic Behavior
|권=7
|호=2
|쪽=295–300
|날짜=1994
|issn=0899-8256
|doi=10.1006/game.1994.1051
|mr=1295306
|zbl=0809.90138
}}</ref>{{rp|297, Theorem 1}} 또한, <math>f</math>의 [[최대 원소|최대]]·[[최소 원소|최소]] [[고정점]]은 다음과 같다.
:<math>\bigvee\operatorname{fix}(f)=\bigvee\{a\in L\colon a\in\mathop\downarrow f(a)\}</math>
:<math>\bigwedge\operatorname{fix}(f)=\bigwedge\{a\in L\colon a\in\mathop\uparrow f(a)\}</math>

=== 일반화의 증명 ===
타르스키 고정점 정리의 증명과 유사하게, 다음 네 명제를 보인다. 이들 가운데 명제 (아)와 (자), 명제 (차)와 (카)는 서로 쌍대이므로 하나씩만 증명하여도 좋다.
* (아) <math>M=\{a\in L\colon a\in\mathop\downarrow f(a)\}</math>에 대하여, <math>\textstyle\bigvee M</math>은 <math>f</math>의 [[최대 원소|최대]] [[고정점]]이다.
* (자) <math>N=\{a\in L\colon a\in\mathop\uparrow f(a)\}</math>에 대하여, <math>\textstyle\bigwedge N</math>은 <math>f</math>의 [[최소 원소|최소]] [[고정점]]이다.
* (차) 모든 <math>S\subseteq\operatorname{fix}(f)</math>의 <math>\operatorname{fix}(f)</math>에서의 [[상한]]이 존재한다.
* (카) 모든 <math>S\subseteq\operatorname{fix}(f)</math>의 <math>\operatorname{fix}(f)</math>에서의 [[하한]]이 존재한다.
명제 (아)의 증명. <math>\operatorname{fix}(f)\subseteq M</math>이므로, <math>\textstyle\bigvee M\in\operatorname{fix}(f)</math>이면 충분하다. 임의의 <math>a\in M</math>가 주어졌다고 하자. <math>M</math>의 정의에 따라, <math>x_a\in f(a)</math>이며 <math>a\le x_a</math>라고 하자. <math>\textstyle a\le\bigvee M</math>이며 <math>f</math>가 [[단조함수]]이므로, <math>\textstyle y_a\in f\left(\bigvee M\right)</math>이며 <math>x_a\le y_a</math>라고 하자. <math>\textstyle f\left(\bigvee M\right)</math>이 부분 완비 격자이므로, <math>\textstyle\bigvee_{a\in M}y_a\in f\left(\bigvee M\right)</math>이다. 임의의 <math>a\in M</math>에 대하여 <math>a\le x_a\le y_a</math>이므로, <math>\textstyle\bigvee M\le\bigvee_{a\in M}y_a</math>이다. <math>f</math>의 단조성에 따라, <math>\textstyle\bigvee_{a\in M}y_a\le z</math>인 <math>\textstyle z\in f\left(\bigvee_{a\in M}y_a\right)</math>가 존재한다. 즉, <math>\textstyle\bigvee_{a\in M}y_a\in M</math>이며, 따라서 <math>\textstyle\bigvee_{a\in M}y_a\le\bigvee M</math>이다. 따라서, <math>\textstyle\bigvee M=\bigvee_{a\in M}y_a\in f\left(\bigvee M\right)</math>은 <math>f</math>의 [[고정점]]이 맞다.

명제 (차)의 증명. <math>\textstyle\bigvee S</math>가 <math>S</math>의 <math>L</math>에서의 [[상한]]이라고 하자. 그렇다면, <math>\textstyle\left[\bigvee S,\top\right]</math>은 [[완비 격자]]를 이룬다. 임의의 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>s\in f(s)</math>이며 <math>\textstyle s\le\bigvee S</math>이므로, <math>s\le x_s</math>인 <math>\textstyle x_s\in f\left(\bigvee S\right)</math>가 존재한다. 이 경우, <math>\textstyle\bigvee_{s\in S}x_s\in f\left(\bigvee S\right)</math>이며 <math>\textstyle\bigvee S\le\bigvee_{s\in S}x_s</math>이다. 따라서, <math>f</math>의 단조성에 의하여, 만약 <math>\textstyle a\in\left[\bigvee S,\top\right]</math>라면, <math>\textstyle g(a)=f(a)\cap\left[\bigvee S,\top\right]</math>은 [[공집합]]이 아니다. 또한, <math>f(a)</math>는 <math>L</math>의 부분 완비 격자이다. 따라서, <math>g(a)</math>는 <math>\textstyle\left[\bigvee S,\top\right]</math>의 부분 완비 격자를 이룬다. 즉, <math>a\mapsto g(a)</math>는 [[단조함수]] <math>\textstyle g\colon\left[\bigvee S,\top\right]\to(\operatorname{Sub}(\left[\bigvee S,\top\right]),{\preceq}|_{\operatorname{Sub}(\left[\bigvee S,\top\right])})</math>를 정의한다. 명제 (자)에 따라, <math>g</math>의 [[최소 원소|최소]] [[고정점]]이 존재하며, 이는 <math>S</math>의 <math>\operatorname{fix}(f)</math>에서의 [[상한]]이다.

== 역사 ==
[[파일:Bronislaw Knaster.jpeg|섬네일|브로니스와프 크나스터 (1893~1980)]]
[[파일:AlfredTarski1968.jpeg|섬네일|알프레트 타르스키 (1901~1983)]]
1927년 [[브로니스와프 크나스터]]({{llang|pl|Bronisław Knaster}})와 [[알프레트 타르스키]]가 [[멱집합]] 격자 위 [[단조함수]]의 [[고정점]]의 존재를 증명하였다.<ref name="Knaster">{{저널 인용
|이름=Bronisław
|성=Knaster
|제목=Un théorème sur les fonctions d’ensembles
|언어=fr
|저널=Annales de la Société Polonaise de Mathématique
|권=6
|쪽=133–134
|날짜=1928
|issn=0066-2216
|jfm=54.0091.04
|arxiv=
}}</ref><ref name="Tarski">{{저널 인용
|이름=Alfred
|성=Tarski
|저자링크=알프레트 타르스키
|제목=A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications
|언어=en
|저널=Pacific Journal of Mathematics
|권=5
|쪽=285–309
|날짜=1955
|issn=1945-5844
|doi=10.2140/pjm.1955.5.285
|mr=0074376
|zbl=0064.26004
}}</ref>{{rp|286, 각주 2}} 타르스키 고정점 정리의 오늘날 형태는 1939년 타르스키가 도입하였으며, 1939년~1942년 동안 타르스키의 몇몇 공개 강의에서 소개되었다.<ref name="Tarski" />{{rp|286, 각주 2}} 타르스키 고정점 정리의 역은 앤 모렐({{llang|en|Anne C. Morel}})이 증명하였다.<ref name="Davis" /> 타르스키 고정점 정리의 다중 값 일반화는 저우린({{zh|周林}})이 초모듈러 게임({{llang|en|supermodular game}})의 [[내시 균형]]의 존재를 보이기 위하여 증명 및 사용하였다.<ref name="Zhou" />

== 같이 보기 ==
* [[고정점 정리]]
* [[완비 격자]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
*{{저널 인용| author=S. Hayashi | title=Self-similar sets as Tarski's fixed points | journal=Publ. RIMS Kyoto Univ. | year=1985 | volume=21 | pages=1059–1066 | doi=10.2977/prims/1195178796 | issue=5}}
*{{저널 인용|author1=J. Jachymski |author2=L. Gajek |author3=K. Pokarowski | title=The Tarski-Kantorovitch principle and the theory of iterated function systems | journal=Bull. Austral. Math. Soc. | year=2000 | volume=61 | pages=247&ndash;261 | doi=10.1017/S0004972700022243 | issue=2}}
*{{저널 인용| author=E.A. Ok | title=Fixed set theory for closed correspondences with applications to self-similarity and games | journal=Nonlinear Anal. | year=2004 | volume=56 | pages=309–330 | doi=10.1016/j.na.2003.08.001 | issue=3| citeseerx=10.1.1.561.4581 }}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|이름=Roland|성=Uhl|제목=Tarski’s fixed point theorem}}

[[분류:격자 이론]]
[[분류:고정점 정리]]