클리퍼드 가군 다발 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''클리퍼드 가군 다발'''(Clifford加群다발, {{llang|en|Clifford module bundle}})은 각 올이 ([[클리퍼드 다발]]의 올인) [[클리퍼드 대수]]의 [[가군]]의 구조를 갖는 [[벡터 다발]]이다.<ref>{{서적 인용|이름=N.|성=Berline|이름2=E.|성2=Getzler|이름3= M.|성3=Vergne|제목=Heat kernels and Dirac operators|총서=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|권= 298|출판사=Springer-Verlag|날짜=1992|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math> 위의 [[클리퍼드 다발]] <math>C</math>
* <math>M</math> 위의 [[벡터 다발]] <math>E</math>
만약 각 <math>x\in M</math>에서, <math>C_x</math>의 <math>E_x</math> 위의 작용이 주어져 <math>E_x</math>가 <math>C_x</math>의 [[위상 왼쪽 가군]]이 되며, 그 작용이 모두 연속적이라면, <math>E</math>를 <math>C</math>의 '''클리퍼드 가군 다발'''({{llang|en|Clifford module bundle}})이라고 한다. 물론, 마찬가지로 '''매끄러운 클리퍼드 가군 다발'''을 정의할 수 있다.

=== 클리퍼드 가군 다발 접속 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>(M,g)</math>
* 매끄러운 [[클리퍼드 다발]] <math>C</math> 및 그 위의 클리퍼드 다발 접속 <math>\nabla^C</math>
* <math>C</math>의 매끄러운 클리퍼드 왼쪽 가군 다발 <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math> 위의 [[코쥘 접속]] <math>\nabla^E</math>
만약 <math>\nabla^E</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''클리퍼드 가군 다발 접속'''({{llang|en|Clifford module bundle connection}})이라고 한다. 임의의 <math>a\in\Gamma^\infty(C)</math> 및 [[벡터장]] <math>X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)</math> 및 [[매끄러운 단면]] <math>s\in\Gamma^\infty(E)</math>에 대하여,
:<math>(\nabla^E_X)(a\bullet s)-a\bullet\nabla^E_Xs = (\nabla_X^Ca)\bullet s</math>
즉, 클리퍼드 접속은 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는 [[코쥘 접속]]이다.

== 연산 ==
=== 직합 ===
같은 [[클리퍼드 다발]] 위의 두 클리퍼드 가군 다발의 [[직합]]은 역시 클리퍼드 가군 다발이다.

=== 텐서곱 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math> 위의 [[클리퍼드 다발]] <math>C</math>
* <math>C</math> 위의 클리퍼드 가군 다발 <math>E</math>
* <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>F</math>
그렇다면, <math>E \otimes F</math> 위에는 표준적인 클리퍼드 가군 다발 구조가 다음과 같이 존재한다.
:<math>c\bullet (e\otimes f) = (x\bullet e)\otimes f\qquad\forall x\in M,\;c\in C_x,\;e\in E_x,\;f\in F_x</math>
특히, <math>F</math>가 (실수 또는 복소수) [[선다발]]일 경우가 자주 사용된다.

== 예 ==
=== 스피너 다발 ===
[[준 리만 다양체]] <Math>(M,g)</math>가 주어졌을 때, 그 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math>에 대한 [[클리퍼드 다발]] <math>\operatorname{Cl}(\mathrm TM,g) \cong \operatorname{Cl}(\mathrm T^*M,g^{-1})</math>이 존재한다. 만약 <math>(M,g)</math>에 [[스핀 다양체]]의 구조가 주어졌다면, 그 [[스피너 다발]] <math>\mathrm SM</math>은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 이 경우 [[레비치비타 접속]]을 통해 <math>\mathrm SM</math> 위의 클리퍼드 가군 다발 접속을 정의할 수 있다. 만약 <math>M</math>이 짝수 차원이라면, 스피너 다발은 바일 스피너 다발
:<math>\mathrm SM = \mathrm S^+M\oplus\mathrm S^-M</math>
으로 분해되며, 이 역시 각각 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 또한, 적절한 부호수에서 마요라나(-바일) 스피너 다발을 정의할 수 있으며, 이 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

이 경우, [[레비치비타 접속]]을 <math>\mathrm SM</math> 위로 자연스럽게 확장할 수 있으며, 이는 클리퍼드 가군 다발 접속을 이룬다. 만약 <math>(M,g)</math> 위에 [[스핀 구조]]가 주어졌을 때, [[스피너 다발]] <math>\mathrm SM</math>은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

보다 일반적으로, <math>(M,g)</math> 위의 [[스핀C 다양체]] 구조가 주어졌다면, 이에 대한 스피너 다발은 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

=== 일반화 기하학 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 임의의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E</math>가 주어졌다면, <math>E \oplus E^*</math> 위의 자연스러운 이차 형식
:<math>Q(x,\xi) = \xi(x)</math>
을 통해 [[클리퍼드 다발]] <math>\operatorname{Cl}(E\oplus E^*,Q)</math>을 정의할 수 있다. 이 경우, <math>E\oplus E^*</math>의 단면은 임의의 [[미분 형식]] <math>\alpha \in \Gamma(\textstyle\bigwedge E^*)</math> 위에 다음과 같이 작용한다.
:<math>(x,\xi)\bullet\alpha = x \lrcorner \alpha + \xi\wedge\alpha\in\Gamma\left(\bigwedge E^*\right)</math>
여기서 <math>\lrcorner</math>는 [[내부곱]]이며 <math>\wedge</math>는 [[쐐기곱]]이다.
이 작용은
:<math>(x,\xi)\bullet ((x,\xi)\bullet\alpha) = x\lrcorner(\xi\wedge\alpha)-\xi\wedge(x\lrcorner\alpha) = \xi(x) \alpha</math>
를 따르므로, <math>\textstyle\bigwedge E^*</math>은 <math>\operatorname{Cl}(E\oplus E^*)</math> 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

특히, <math>E = \mathrm TM</math>인 경우, 미분 형식은 이 클리퍼드 다발의 일종의 ‘[[스피너]]’처럼 행동하는 것을 알 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[스핀 표현]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Clifford module bundle}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:벡터 다발]]
[[분류:클리퍼드 대수]]