클라인 4차 곡선 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''클라인 4차 곡선'''(Klein4次曲線, {{llang|en|Klein’s quartic curve}})은 종수 3의 [[리만 곡면]] 가운데 가장 대칭적인 것인 [[모듈러 곡선]]이다.

== 정의 ==
=== 구체적 정의 ===
'''클라인 4차 곡선'''은 2차원 [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^2</math> 속의, 다음과 같은 4차 동차 다항식으로 정의되는 복소수 [[사영 대수다양체|사영]] [[대수 곡선]]이다. (여기서 <math>[x:y:z]</math>는 사영 공간의 동차 좌표계이다.)
:<math>x^3y+y^3z+z^3x=0</math>

=== 모듈러 군을 통한 정의 ===
복소수 상반평면 <math>\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon \operatorname{Im}z>0\}</math> 위에는 [[모듈러 군]] <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>이 자연스럽게 작용한다.

[[합동 부분군]]
:<math>\Gamma(7)\le \operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>
에 대응되는 [[모듈러 곡선]]
:<math>\mathbb H/\Gamma(7)</math>
을  '''클라인 4차 곡선'''이라고 한다.

== 성질 ==
=== 종수 ===
클라인 4차 곡선은 종수 3의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 곡면]]이다. 이는 대수기하학의 [[첨가 공식]]으로서
:<math>g=\frac12(d-1)(d-2)=3</math>
으로 계산 가능하다. (여기서 <math>d=4</math>는 사영 평면의 [[대수 곡선]]을 정의하는 동차 다항식의 차수이다.)

=== 대칭 ===
클라인 4차 곡선은 종수 3의 유일한 [[후르비츠 곡면]]이다. 특히, 종수 3의 연결 콤팩트 [[리만 곡면]] 가운데 최대의 크기의 [[리만 곡면 자기 동형군|자기 동형군]]을 갖는다.

클라인 4차 곡선의 ([[방향 (다양체)|방향]] 보존) [[리만 곡면 자기 동형군|자기 동형군]]은
:<math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_7)\cong\operatorname{PSL}(3;\mathbb F_2)</math>
이며, 그 크기는 168이다. 이 사실은 [[모듈러 곡선]]을 통한 정의에서
:<math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)/\Gamma(7)\cong \operatorname{PSL}(2;\mathbb F_7)</math>
로 계산할 수 있다.

=== 주기 ===
클라인 4차 곡선의 주기 행렬({{llang|en|period matrix}})을 생각하자. 종수가 3이므로, 이는 3×3 행렬로 표현되며, 적절한 [[기저 (선형대수학)|기저]]에서는 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|arxiv=0905.4202|doi= 	10.1088/1751-8113/43/43/434009|bibcode=2010JPhA...43Q4009B|제목=Klein’s curve|저널=Journal of Physics A|권=43|호=434009|성1=Braden|이름1=H. W.|성2=Northover|이름2= T. P.|날짜=2010-10|언어=en}}</ref>
:<math>\frac12\begin{pmatrix}
\alpha&1&1\\
1&\alpha&1\\
1&1&\alpha
\end{pmatrix}</math>
여기서
:<math>\alpha=\frac12(-1+\mathrm i\sqrt7)</math>
이다.

=== 데생당팡 ===
[[파일:Klein_graph.svg|thumb|클라인 4차 곡선의 데생당팡. 검은 꼭짓점은 (푸른 색의) 꼭짓점에 대응하며, 흰 꼭짓점은 각 변의 중점에 대응한다.]]
[[파일:Uniform_tiling_73-t0.png|thumb|right|쌍곡 평면을 정7각형으로 덮은 모양]]
클라인 4차 곡선 <math>X</math>에서,
:<math>X\twoheadrightarrow X/\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_7)\cong\mathbb{CP}^1</math>
에 대응하는 [[데생당팡]]은 다음과 같다.
* 총 56개의 검은 꼭짓점과 총 84개의 흰 꼭짓점이 있다.
* 모든 검은 꼭짓점의 차수는 3이며, 모든 흰 꼭짓점의 차수는 2이다.
이는 다음과 같이 생각할 수 있다.
# 쌍곡 평면을 정7각형으로 덮는다고 하자. 이때, 각 꼭짓점에는 세 개의 정7각형이 인접해 있게 한다. 이는 (물론) 무한히 많은 정7각형들을 필요로 한다.
# 24개의 정7각형들이 남게 특별한 몫을 취한다. (그렇다면 <math>7\cdot24/3=56</math>개의 꼭짓점과 <math>7\cdot 24/2=84</math>개의 변이 있게 된다.) 이 [[그래프]]를 '''클라인 그래프'''({{llang|en|Klein graph}})라고 한다.
# 각 꼭짓점을 검게 칠하고, 각 변의 중점에 흰 꼭짓점을 추가한다.

== 역사 ==
[[펠릭스 클라인]]이 1878년에 [[타원 함수]]를 연구하던 도중 도입하였다.<ref>{{저널 인용|  last=Klein | first = Felix | authorlink = 펠릭스 클라인 | year = 1878| title = Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen. (Mit einer lithogr. Tafel.)| doi = 10.1007/BF01677143| journal = Mathematische Annalen | volume = 14 | issue = 3 | pages = 428–471|issn=0025-5831|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002244748|언어= de}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | editor1-last=Levy | editor1-first=Silvio | title= The eightfold way: the beauty of Klein’s quartic curve | url=http://www.msri.org/communications/books/Book35/index.html | publisher=Cambridge University Press | series=Mathematical Sciences Research Institute Publications | isbn=978-0-521-66066-2 | mr=1722410 | year=1999 | volume=35|언어=en}}
** {{서적 인용 | 장=The Klein quartic in number theory | 이름=Noam D. |성=Elkies | 장url=http://library.msri.org/books/Book35/files/elkies.pdf |editor1-last=Levy | editor1-first=Silvio | title= The eightfold way: the beauty of Klein’s quartic curve  | url=http://www.msri.org/communications/books/Book35/index.html | publisher=Cambridge University Press | series=Mathematical Sciences Research Institute Publications | isbn=978-0-521-66066-2 | mr=1722410 | year=1999 | volume=35|쪽=51–101|언어=en}}
* {{저널 인용
 |doi=10.1007/BF03024730
 |title=Polyhedral models of Felix Klein’s group
 |date=2002-09
 |last1=Scholl
 |first1=Peter
 |last2=Schürmann
 |first2=Achill
 |last3=Wills
 |first3=J. M.
 |journal=The Mathematical Intelligencer  |issn=0343-6993
 |volume=24
 |issue=3
 |pages=37–42
 |언어=en
}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=KleinQuartic|title=Klein quartic}}
* {{매스월드|id=KleinGraph|title=Klein graph}}
* {{수학노트|title=클라인 4차곡선의 주기 행렬}}
* {{수학노트|title=클라인의 4차곡선}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucr.edu/home/baez/klein.html|제목=Klein’s quartic curve|이름=John|성=Baez|날짜=2013-05-23|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.neverendingbooks.org/the-best-rejected-proposal-ever|제목=The best rejected proposal ever|날짜=2007-03-07|웹사이트=neverendingbooks|이름=Lieven|성=Le Bruyn|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.neverendingbooks.org/kleins-dessins-denfant-and-the-buckyball|제목=	
Klein’s dessins d’enfant and the buckyball|날짜=2008-06-30|웹사이트=neverendingbooks|이름=Lieven|성=Le Bruyn|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://www.cs.auckland.ac.nz/~mike/klein/|제목=Klein’s quartic|이름=Mike|성=Stay|날짜=2010-03-15|언어=en|확인날짜=2017-05-10|보존url=https://web.archive.org/web/20160308005514/https://www.cs.auckland.ac.nz/~mike/klein/#|보존날짜=2016-03-08|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://www.math.hmc.edu/~ursula/teaching/math189/finalpapers/julia.pdf|제목=The Klein quartic|이름=Julia|성=Matsieva|날짜=2010-12-14|언어=en|확인날짜=2017-05-11|보존url=https://web.archive.org/web/20150722052812/https://www.math.hmc.edu/~ursula/teaching/math189/finalpapers/julia.pdf|보존날짜=2015-07-22|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 수론]]
[[분류:대수 곡선]]