클라우지우스-클라페롱 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[화학열역학]]에서, '''클라우지우스-클라페롱 방정식'''(Clausius-Clapeyron equation)은 동일한 물질의 두 [[상 (물리학)|물질 상]] 사이의 불연속 [[상전이]]에서 압력, 가장 중요하게는 [[증기압]]과 온도의 관계를 나타내는 방정식이다. [[루돌프 클라우지우스]]<ref name="clausius">{{저널 인용|제목=Ueber die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbst ableiten lassen|저널=Annalen der Physik|성=Clausius|이름=R.|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15164w/f518.image|연도=1850|권=155|호=4|쪽=500–524|언어=de|번역제목=On the motive power of heat and the laws which can be deduced therefrom regarding the theory of heat|bibcode=1850AnP...155..500C|doi=10.1002/andp.18501550403}}</ref>와 [[에밀 클라페롱]]<ref name="clapeyron">{{저널 인용|제목=Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur|저널=Journal de l'École polytechnique|성=Clapeyron|이름=M. C.|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4336791/f157|연도=1834|권=23|쪽=153–190|언어=fr|id=ark:/12148/bpt6k4336791/f157}}</ref>의 이름을 땄다.

[[기후학]]과의 관련성은 매 1&nbsp;°C(1.8&nbsp;°F)씩 온도가 상승할 때마다 대기의 수분 보유 능력이 약 7% 증가한다는 것이다.

== 정의 ==
[[압력]] – [[온도]] (P – T) 다이어그램에서 두 상을 구분하는 선을 [[바이노달|공존 곡선]]이라고 한다. 클라페롱 방정식은 이 곡선의 각 점에서 [[접선]]의 [[기울기]]를 알려준다.

: <math>\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{T\,\Delta v}=\frac{\Delta s}{\Delta v}, </math>

이 식에서 <math>\mathrm{d}P/\mathrm{d}T</math>는 [[바이노달|공존 곡선]]에 대한 접선의 기울기, <math>L</math>는 비 [[잠열]], <math>T</math> [[온도]]는, <math>\Delta v </math>는 상전이의 [[비부피|특정 부피]] 변화이며, <math>\Delta s </math>는 상전이의 [[엔트로피|특정 엔트로피]] 변화이다.<ref name="Wark1988">{{서적 인용|제목=Thermodynamics|url=https://archive.org/details/thermodynamics0000wark|성=Wark|이름=Kenneth|연도=1988|판=5th|출판사=McGraw-Hill, Inc.|위치=New York, NY|장=Generalized Thermodynamic Relationships|원본연도=1966|isbn=978-0-07-068286-3}}</ref> {{참고 쪽|509}}

: <math>\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {P L}{T^2 R}</math>

적당한 온도와 압력에 대한 잠열의 관점에서 위 식을 보다 편리한 형태로 표현한 것이다.

== 유도 ==
[[파일:Phase-diag2.svg|섬네일|300x300픽셀| 일반적인 [[상평형 그림]]. 녹색 점선은 물의 변칙적 거동을 나타낸다. 클라우지우스-클라페롱 방정식은 상 경계를 따라 압력과 온도 사이의 관계를 찾는 데 사용할 수 있다.]]

=== 상태 가정으로부터의 유도 ===
하나의 상태를 가정하여 [[엔트로피|특정 엔트로피]]를 취한다. <math>s</math>는 균질한 물질이 가지는 특징적인 함숫값이고, <math>v</math>는 비부피, <math>T</math>는 온도이다.<ref name="Wark1988" /> {{참고 쪽|508}}

: <math>\mathrm{d} s = \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T \, \mathrm{d} v + \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v \, \mathrm{d} T.</math>

클라우지우스-클라페롱 방정식은 일정한 온도와 [[압력]]에서 [[상전이|상이 변화]]하는 동안 [[닫힌계]]의 거동을 특성화한다.<ref name="Wark1988" /> {{참고 쪽|508}}

: <math>\mathrm{d} s = \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T \,\mathrm{d} v.</math>

적절한 [[맥스웰 관계식]]을 사용하면<ref name="Wark1988" /> 위 식이 된다 {{참고 쪽|508}}

: <math>\mathrm{d} s = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v \,\mathrm{d} v</math>

이때 <math>P</math>는 압력이다. 압력과 온도는 일정하므로 온도에 대한 압력의 미분은 변하지 않는다.<ref name="CRNave2006">{{웹 인용|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/pvtsur.html|제목=PvT Surface for a Substance which Contracts Upon Freezing|성=Carl Rod Nave|연도=2006|웹사이트=HyperPhysics|출판사=Georgia State University|확인날짜=2007-10-16}}</ref><ref name="Cengel1998">{{서적 인용|제목=Thermodynamics – An Engineering Approach|url=https://archive.org/details/thermodynamicsen0000ceng_ed03|성=Çengel|이름=Yunus A.|성2=Boles, Michael A.|연도=1998|판=3rd|총서=McGraw-Hill Series in [[Mechanical Engineering]]|출판사=McGraw-Hill|위치=Boston, MA.|원본연도=1989|isbn=978-0-07-011927-7}}</ref> {{참고 쪽|57, 62 & 671}}따라서 특정 엔트로피의 [[편미분|편도함수]]는 [[전미분|전체 도함수]]로 변경될 수 있다.

: <math> \mathrm{d} s = \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} \, \mathrm{d} v </math>

온도에 대한 압력의 총 미분은 다음을 얻기 위해 초기 단계 <math>\alpha</math>에서 최종 단계 <math>\beta</math>로 적분할 때 사라진다.<ref name="Wark1988" />

: <math>\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {\Delta s}{\Delta v}</math>

이때 <math>\Delta s\equiv s_\beta-s_\alpha</math>이고 <math>\Delta v\equiv v_{\beta}-v_{\alpha}</math>이다. 이들은 각각 비엔트로피와 비체적의 변화를 의미한다. 상 변화가 내부적으로 [[가역과정|가역적인 과정]]이고 우리 시스템이 닫혀 있다는 점을 감안할 때 [[열역학 제1법칙|열역학 제1법칙은]] 다음과 같다.

: <math>\mathrm{d} u = \delta q + \delta w = T\;\mathrm{d} s - P\;\mathrm{d} v</math>

<math>u</math>는 시스템의 [[내부 에너지|내부에너지]]이다. 일정한 압력과 온도(상 변화 중) 및 [[엔탈피|비엔탈피]] 정의 <math>h</math>를 얻을 수 있다.

: <math>\mathrm{d} h = T \;\mathrm{d} s + v \;\mathrm{d} P</math>

: <math>\mathrm{d} h = T\;\mathrm{d}s</math>

: <math>\mathrm{d}s = \frac {\mathrm{d} h}{T}</math>

상 변화 중 일정한 압력과 온도가 주어지면<ref name="Wark1988" /> 다음과 같은 식을 얻을 수 있다 {{참고 쪽|508}}

: <math>\Delta s = \frac {\Delta h}{T}</math>

[[잠열|비잠열]]의 정의인 <math>L = \Delta h</math>를 이용하여 대입하면 다음과 같다.

: <math>\Delta s = \frac{L}{T}</math>

이 결과를 위에 주어진 압력 도함수에 대입하면(<math>\mathrm{d}P/\mathrm{d}T = \Delta s / \Delta v</math>)<ref name="Wark1988" />, 이하의 식을 얻을 수 있다 {{참고 쪽|508}}<ref name="Salzman2001">{{웹 인용|url=http://www.chem.arizona.edu/~salzmanr/480a/480ants/clapeyro/clapeyro.html|제목=Clapeyron and Clausius–Clapeyron Equations|성=Salzman|이름=William R.|날짜=2001-08-21|웹사이트=Chemical Thermodynamics|출판사=University of Arizona|보존url=https://web.archive.org/web/20070607143600/http://www.chem.arizona.edu/~salzmanr/480a/480ants/clapeyro/clapeyro.html|보존날짜=2007-06-07|url-status=dead|확인날짜=2007-10-11}}</ref>

: <math>\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {L}{T \, \Delta v}.</math>

이 결과를 '''클라페롱 방정식'''이라고도 하며, 이는 <math>\mathrm{d}P/\mathrm{d}T</math> [[바이노달|공존 곡선]]의 기울기와 같다.

<math>P(T)</math> 기능에 <math>L/(T \, \Delta v)</math> 특정 잠열의 <math>L</math>, 온도 <math>T</math>, 비체적의 변화 <math>\Delta v </math> . 특정 값 대신에 상응하는 몰 값을 사용할 수도 있다.

=== 깁스-뒤앙 관계식으로부터의 유도 ===
두 상 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>가 서로 접촉하고 평형 상태에 있다고 가정한다. 그들의 화학적 잠재력은 다음과 관련이 있다.

: <math>\mu_\alpha = \mu_\beta.</math>

또한, [[바이노달|공존 곡선]]을 따라,

: <math>\mathrm{d}\mu_\alpha = \mathrm{d}\mu_\beta.</math>

따라서 깁스-뒤앙 관계식을 사용할 수 있다.

: <math>\mathrm{d}\mu = M(-s \, \mathrm{d}T + v \, \mathrm{d}P)</math>

<math>s</math>는 특정 [[엔트로피]], <math>v</math>는 [[비부피]]이고 <math>M</math>는 [[몰 질량]]이다. 이 값들을 얻기 위해

: <math>-(s_\beta-s_\alpha) \, \mathrm{d}T + (v_\beta-v_\alpha) \, \mathrm{d}P = 0</math>

식을 재배열하면 다음과 같다.

: <math>\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{s_\beta-s_\alpha}{v_\beta-v_\alpha} = \frac{\Delta s}{\Delta v} </math>

여기서 클라페롱 방정식의 유도는 이전 섹션에서와 같이 계속된다.

=== 저온에서의 이상 기체 근사 ===
물질의 [[상전이]]가 [[기체|기상]]과 응축상([[액체]] 또는 [[고체]]) 사이에 있고 그 물질의 [[임계점 (열역학)|임계온도]]보다 훨씬 낮은 온도에서 일어날 때 <math>v_{\mathrm{c}}</math>는 기상의 [[비부피|비체적]] <math>v_{\mathrm{g}}</math>의 응축 단계를 크게 초과한다. 따라서 대략적인 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

: <math>\Delta v =v_{\mathrm{g}}\left(1-\tfrac{v_{\mathrm{c}}}{v_{\mathrm{g}}}\right)\approx v_{\mathrm{g}}</math>

낮은 [[온도]]에서 [[압력]]도 낮으면 기체는 [[이상기체 법칙|이상 기체 법칙]]에 의해 근사될 수 있으므로 식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

: <math>v_{\mathrm{g}} = \frac{RT} P</math>

<math>P</math>는 압력이며, <math>R</math>는 [[기체 상수]]이고, <math>T</math>는 온도이다. 클라페롱 방정식에 대입하면 다음과 같다.

: <math>\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac{L}{T\,\Delta v}</math>

이로써 '''클라우지우스-클라페롱 방정식'''<ref name="Wark1988" />을 얻을 수 있다. {{참고 쪽|509}}

: <math>\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {P L}{T^2 R}</math>

낮은 온도 및 압력의 경우<ref name="Wark1988" /> {{참고 쪽|509}} <math>L</math>은 물질의 [[잠열|비잠열]]이다. 구체적이고 상응하는 몰 값 대신(즉, <math>L</math> = kJ/mol 이나 {{수학 변수|R}} = 8.31 J mol <sup>-1</sup> K <sup>-1</sup>)사용할 수 있다.

<math>(P_1,T_1)</math> 그리고 <math>(P_2,T_2)</math>는 각각 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math> 두 단계 사이의 [[바이노달|공존 곡선]]을 따르는 임의의 두 점이 될 수 있다.

일반적으로, <math>L</math>은 온도의 함수로 두 지점 사이에서 변한다. 하지만 만약 <math>L</math>을 상수로 근사한다면 다음과 같은 식이 된다.

: <math>\frac {\mathrm{d} P}{P} \cong \frac {L}{R} \frac {\mathrm{d}T}{T^2},</math>

: <math>\int_{P_1}^{P_2}\frac{\mathrm{d}P}{P} \cong \frac L R \int_{T_1}^{T_2} \frac {\mathrm{d} T}{T^2}</math>

: <math> \ln P\Big|_{P=P_1}^{P_2} \cong -\frac{L}{R} \cdot \left.\frac{1}{T} \right|_{T=T_1}^{T_2}</math>

또는<ref name="Cengel1998" />{{참고 쪽|672}}<ref>{{서적 인용|url=https://www.google.com/books/edition/Chemistry_Principles_and_Reactions/teubNK-b2bsC?hl=en&gbpv=1&bsq=clapeyron%20equation%20boiling|제목=Chemistry : principles and reactions|성=Masterton|이름=William L.|성2=Hurley|이름2=Cecile N.|날짜=2008|판=6th|출판사=Cengage Learning|쪽=230|isbn=9780495126713|확인날짜=3 April 2020}}</ref> 다음과 같이 쓸 수도 있다.

: <math>\ln \frac {P_2}{P_1} \cong -\frac {L}{R} \left ( \frac {1}{T_2} - \frac {1}{T_1} \right )</math>

이 마지막 방정식은 특정 부피 데이터를 요구하지 않고 [[증기 압력|평형]] 또는 [[증기 압력|포화 증기압]] 및 온도를 상 변화의 잠열과 관련시키기 때문에 사용하기에 편리하다. 예를 들어, 몰 증발 엔탈피가 40.7 kJ/mol이고 {{수학 변수|R}} = 8.31 J mol <sup>-1</sup> K <sup>-1</sup>인 [[끓는점]] 근처의 물의 경우, 다음과 같은 상수값을 가진다.

: <math>{P_{vap}(T)} \cong 1 \text{ bar } \exp(-\frac {40700 \text{ K}}{\text{8.31}} \left ( \frac {1}{T} - \frac {1}{373 \text{ K}} \right ))</math> .

=== 클라페롱의 유도 ===
클라페롱의 원 논문에서는 다음과 같이 유도하고 있다.<ref name="Clapeyrons argument">{{저널 인용|제목=Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur|저널=Journal de l ́École Polytechnique|성=Clapeyron|이름=E|날짜=1834|권=XIV|쪽=153–190.}}</ref> 클라페롱은 수평 등압선이 있는 습증기의 카르노 과정을 고려했다. 압력은 온도만의 함수이므로 등압선도 등온선이다. 그 과정에 극소량의 물이 포함된다면, <math>\mathrm{d}x</math>, 그리고 온도의 극미한 차이 <math>\mathrm{d}T</math>, 흡수된 열량은 다음과 같이 지정된다.

: <math>Q=L\,\mathrm{d}x</math>

수행된 작업의 양은 다음과 같다.

: <math>W=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}\,\mathrm{d}T(V''-V')\,\mathrm{d}x</math>

<math>V''-V'</math>는 끓는 물의 부피와 포화 증기의 부피 사이의 부피 차이이다.

이 양의 비율은 카르노 엔진의 효율이며, <math>\frac{1}{T}\,\mathrm{d}T</math>로서 표현된다. 대입 및 재배열은 다음을 제공한다.

: <math>\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{T(V''-V')}</math> .

== 응용 ==

=== 화학 및 화학 공학 ===
위에서 설명한 근사치를 사용하여 기체와 응축상 사이의 전환에 대한 식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있다.

: <math>\ln P = -\frac{L}{R} \left(\frac{1}{T}\right)+c</math>

<math>P</math>는 bar 단위의 압력이며, <math>R</math> [[기체 상수|특정 기체 상수]] (즉, [[기체 상수]] {{수학 변수|R}}을 [[몰 질량]]으로 나눈 값), T, 절대 온도 및 <math>c</math> 상수이다.

액체-기체 전이의 경우, <math>L</math>는 [[기화]]의 [[잠열|비잠열]] (또는 [[엔탈피|비엔탈피]])이고, 고체 기체 전이의 경우, <math>L</math> [[승화 (화학)|승화]]의 비잠열이다.

잠열이 알려진 경우 [[바이노달|공존 곡선]]의 한 점(예: 물의 경우 1bar, 373K)에 대한 지식이 나머지 곡선을 결정한다. <math>\ln P</math>와 <math>1/T</math>는 선형이므로 역으로 접근할 시에는 [[선형 회귀]]를 사용하여 잠열을 추정한다.

=== 기상 및 기후학 ===
[[대기]]의 [[수증기]]는 많은 중요한 [[기상학|기상]] 현상(특히 [[강수]])을 유발하여 [[동역학계|역학]]에 대한 관심을 불러일으키고 있다. 일반적인 대기 조건([[표준 온도 압력|표준 온도 및 압력]]에 가까운)에서 수증기에 대한 클라우지우스-클라페롱 방정식은 다음과 같다.

: <math>\frac{\mathrm{d}e_s}{\mathrm{d}T} = \frac{L_v(T) e_s}{R_v T^2} </math>

이때의 기호는 다음과 같다.

* <math> e_s </math> [[증기 압력|포화 증기압]]
* <math>T</math> [[온도]]
* <math> L_v </math>는 물의 [[증발]] [[잠열|비열]]이다.
* <math>R_v </math>는 수증기의 [[기체 상수|기체상수]]

잠열의 온도의존성 <math>L_v(T)</math> (그리고 포화 증기압의 <math>e_s</math>) [[이슬점]]으로 인해 무시할 수 없는 값이다. 다행히도, '''{{보이는 앵커|아우구스트-로슈-마그누스 공식}}'''은 매우 좋은 근사값을 제공한다.

: <math>e_s(T)= 6.1094 \exp \left( \frac{17.625T}{T+243.04} \right)</math><ref>{{인용|url=http://www.osti.gov/scitech/servlets/purl/548871|출판사=[[NOAA]]}} — Equation 25 provides these coefficients.</ref><ref>{{저널 인용|제목=Improved Magnus Form Approximation of Saturation Vapor Pressure|저널=Journal of Applied Meteorology|성=Alduchov|이름=Oleg A.|성2=Eskridge|이름2=Robert E.|url=https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc693874/|날짜=1996|권=35|호=4|쪽=601–9|bibcode=1996JApMe..35..601A|doi=10.1175/1520-0450(1996)035<0601:IMFAOS>2.0.CO;2}} Equation 21 provides these coefficients.</ref>

위 식에서, <math>e_s</math>는 [[파스칼 (단위)|hPa]]이고 <math>T</math>는 [[섭씨]]로 표시되지만 이 페이지의 다른 곳에서는 <math>T</math> 절대 온도(예: 켈빈 단위)이다. (이 속성을 때로는 마그누스 또는 마그누스-테텐스 근사라고도 한다)<ref>{{저널 인용|제목=The Relationship between Relative Humidity and the Dewpoint Temperature in Moist Air: A Simple Conversion and Applications|저널=Bulletin of the American Meteorological Society|성=Lawrence|이름=M. G.|url=http://climate.envsci.rutgers.edu/pdf/LawrenceRHdewpointBAMS.pdf|날짜=2005|권=86|호=2|쪽=225–233|bibcode=2005BAMS...86..225L|doi=10.1175/BAMS-86-2-225}}</ref> 그러나 [[물의 증기압|물의 포화 증기압에 대한 다양한 근사 공식의 정확성에 대한 이 논의]]도 참조하는 것이 좋다.

일반적인 대기 조건에서 [[거듭제곱|지수]]의 [[분수 (수학)|분모]]는 <math>T</math>(단위는 섭씨)에 약하게 의존한다. 따라서 아우구스트-로슈-마그누스 방정식은 포화 수증기압이 전형적인 대기 조건에서 온도에 따라 거의 [[지수 함수|기하급수적]]으로 변하므로 대기의 수분 보유 능력은 매 1&nbsp;°C 온도가 상승할 때마다 약 7%씩 증가한다는 것을 의미한다.<ref>IPCC, Climate Change 2007: Working Group I: The Physical Science Basis, "FAQ 3.2 How is Precipitation Changing ?", URL http://www.ipcc.ch/publications_and_data/ar4/wg1/en/faq-3-2.html {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20181102212322/http://www.ipcc.ch/publications_and_data/ar4/wg1/en/faq-3-2.html}}</ref>

== 예시 ==
이 방정식의 용도 중 하나는 주어진 상황에서 상전이가 발생하는지 여부를 결정하는 것이다. 어떤 온도에서 얼음을 녹이는 데 얼마나 많은 압력이 필요한지에 대한 질문을 기억하라.

<math>{\Delta T}</math>가 0&nbsp;°C인 물이 녹을 때 부피 변화가 음수라는 점에서 물은 독특한 특성을 지닌다는 것(보통 액체화 될 때에는 부피가 증가한다)을 기억하면, 다음과 같은 식을 세울 수 있다.

: <math> \Delta P = \frac{L}{T\,\Delta v} \, \Delta T </math>

이때의 값은 이러하다.

: <math>L = 3.34 \times 10^5 \text{ J}/\text{kg} </math> (물에 대한 [[융해열]]),
: <math>T = 273</math>[[켈빈|K]] (절대 온도),
: <math>\Delta v = -9.05\times10^{-5} \text{ m}^3/\text{kg} </math> (고체에서 액체로의 비체적 변화),

이를 통해 얻을 수 있는 값은 다음과 같다.

: <math> \frac{\Delta P}{\Delta T} = -13.5 \text{ MPa}/\text{K}. </math>

이것이 얼마나 많은 압력인지에 대한 대략적인 예시를 들어보자. -7&nbsp;°C(많은 [[아이스 스케이팅|아이스]] 스케이트장이 설정되는 온도)의 얼음을 녹이기 위해서는 소형 차(질량 = 1000kg<ref>{{웹 인용|url=http://hypertextbook.com/facts/2000/YanaZorina.shtml|제목=Mass of a Car|성=Zorina|이름=Yana|연도=2000|웹사이트=The Physics Factbook}}</ref>) 한 대를 [[골무]](면적 = 1cm <sup>2</sup>)위에 올려놓는 것과 같은 압력이 필요하다.

== 2차 도함수 ==
클라우지우스-클라페롱 방정식은 공존 곡선의 기울기를 제공하지만 곡률 또는 [[이계도함수|2차 도함수]]에 대한 정보는 제공하지 않는다. 1단계와 2단계의 공존 곡선의 2차 도함수는<ref>{{저널 인용|제목=Beyond Clausius–Clapeyron: Determining the second derivative of a first-order phase transition line|저널=American Journal of Physics|성=Krafcik|이름=Matthew|성2=Sánchez Velasco|이름2=Eduardo|날짜=2014|권=82|호=4|쪽=301–305|bibcode=2014AmJPh..82..301K|doi=10.1119/1.4858403}}</ref> 다음과 같이 나타난다.

: <math>\begin{align}
\frac{\mathrm{d}^2 P}{\mathrm{d} T^2}= \frac{1}{v_2 - v_1}\left[\frac{c_{p2} - c_{p1}}{T} - 2(v_2\alpha_2 - v_1\alpha_1) \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T}\right]+ {} \\
\frac{1}{v_2 - v_1}\left[(v_2\kappa_{T2} - v_1\kappa_{T1})\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T}\right)^2\right],
\end{align}
</math>

여기서 첨자 1과 2는 서로 다른 단계를 나타내며, <math>c_p</math>는 일정한 압력에서의 [[열용량|비열용량]], <math>\alpha = (1/v)(\mathrm{d}v/\mathrm{d}T)_P</math>는 [[열팽창|열팽창 계수]]이고, <math>\kappa_T = -(1/v)(\mathrm{d}v/\mathrm{d}P)_T</math>는 등온 압축률이다.

== 같이 보기 ==
* [[루돌프 클라우지우스]]
* [[상전이]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:대기열역학]]
[[분류:공업열역학]]