큰 수의 법칙 문서 원본 보기

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'''큰 수의 법칙'''(큰 數의 法則, {{llang|en|law of large numbers}}) 또는 '''대수의 법칙''', '''라플라스의 정리'''는 큰 [[모집단]]에서 무작위로 뽑은 표본의 [[평균 (통계학)|평균]]이 전체 모집단의 평균과 가까울 가능성이 높다는 [[통계]]와 [[확률]] 분야의 기본 개념이다.

== 약한 법칙 ==
'''큰 수의 약한 법칙'''(또는 '''대수의 약법칙''')은 [[확률 변수]]의 무한열 ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ''X''<sub>3</sub>, ...이 모두 같은 [[기댓값]] μ, [[분산]] σ<sup>2</sup>을 가지고 서로 [[상관 관계]]가 없을 때(임의의 두 확률 변수 사이의 [[상관 계수]]가 0), 표본의 평균

:<math>\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n</math>

이 μ로 수렴한다는 것이다. 다시 적자면, 어떤 작은 양의 수 ε에 대해서도

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n-\mu\right|<\varepsilon\right)=1</math>

이 성립한다.

=== 일반화 ===
대수의 약법칙은 각 ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ''X''<sub>3</sub>, ...이 모두 기댓값 <math>\mu_i</math> 에 대하여 [[:en:Independent_and_identically_distributed_random_variables|independent identically distributed]]를 만족하고, 분산 <math>\sigma_i^2</math> 이 다르더라도 분산의 합 <math>\sum_{i=1}^\infin \sigma_i^2</math> 이 무한대로 발산한다면 성립한다. 이 경우의 공식화는 임의의 작은 양수 ε에 대해서 다음과 같다.<ref>최용갑, 《확률론의 기초》, 경문사, 2006, 228쪽.</ref>

* <math>\lim_{n \to \infty} P(|\frac{\sum_{i=1}^n X_i - \sum_{i=1}^n \mu_i}{\sum_{i=1}^n \sigma_i^2}|>\epsilon) = 0</math>

=== 성립 조건 ===
위의 일반화된 대수의 약법칙이 성립할 조건을 약화시킬 수 있다. 먼저 <math>Y_n</math>를 다음과 같이 정의하자.

* <math>Y_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_i) </math>

그러면, <math>X_i</math> 의 확률변수열이 위의 일반화된 대수의 약법칙에 따르기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.<ref>같은 책, 231쪽.</ref>

* <math> \lim_{n \to \infty} E(\frac{Y_n^2}{1+Y_n^2}) = 0 </math>

== 강한 법칙 ==
'''큰 수의 강한 법칙'''(또는 '''대수의 강법칙''')은 확률 변수의 무한열 ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ''X''<sub>3</sub>, ... 이 주어지고, 각 확률 변수가 E(|''X''<sub>i</sub>|) < ∞ &nbsp;이고 (기댓값 μ), 서로 독립이며 동일한 분포일 때,

:<math>\operatorname{P}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{X}_n=\mu\right)=1</math>

이 성립한다. 즉 표본의 평균은 거의 확실하게 μ로 수렴한다.

== 같이 보기 ==
* [[중심 극한 정리]]

== 각주 ==
<references/>

== 참고 문헌 ==
* 최용갑, 《확률론의 기초》, 경문사, 2006.
*위키피디아, iid, 2021. 10. 20., https://en.wikipedia.org/wiki/Independent_and_identically_distributed_random_variables, 

{{전거 통제}}

[[분류:확률론]]
[[분류:수학 정리]]
[[분류:통계학 용어]]
[[분류:확률론 정리]]
[[분류:통계학 정리]]