큰 기수 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''큰 기수'''(큰基數, {{llang|en|large cardinal}})는 집합론의 표준적인 공리계([[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]])로는 그 존재를 증명할 수 없는 매우 큰 [[기수 (수학)|기수]]이다.

== 정의 ==
'''큰 기수 공리'''는 명확히 정의되지 않는 용어이나, 대개 다음과 같은 성질을 만족시키는 공리 <math>A</math>를 큰 기수 공리로 여긴다.
* <math>A</math>는 "어떤 성질 <math>P</math>를 만족시키는 기수가 존재한다"의 꼴이다.
* <math>\mathsf{ZFC}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC})\implies\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+\lnot A)</math>
** 즉, 만약 ZFC가 일관적이라면, ZFC + "<math>P</math>를 만족시키는 기수의 부재" 역시 일관적이다.
* <math>\mathsf{ZFC}+A\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC})</math>
** ZFC + "<math>P</math>를 만족시키는 기수의 존재"는 ZFC의 일관성을 증명한다.
'''큰 기수'''는 큰 기수 공리에 의해 그 존재가 요구되는 기수이다.

== 성질 ==
큰 기수 공리들은 대체로 무모순성 세기에 대하여 [[전순서]]를 이루는 것으로 보인다. 즉, 두 큰 기수 공리 <math>P_1</math>, <math>P_2</math>에 대하여, 다음 가운데 하나가 성립한다.
* <math>\mathsf{ZFC}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+A_1)\iff\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+A_2)</math>
* <math>\mathsf{ZFC}+A_1\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+A_2)</math>
* <math>\mathsf{ZFC}+A_2\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+A_1)</math>
이는 메타정리가 아니며, 단지 경험적인 관찰에 불과하다. [[휴 우딘]]은 만약 오메가 추측({{llang|en|Ω-conjecture}})이 성립한다면 이 현상이 설명된다는 것을 보였다.

무모순성의 전순서는 기수의 크기의 전순서와 대체로 일치하나, 일반적으로 다르다. 예를 들어, [[거대 기수]]({{llang|en|huge cardinal}})의 존재는 무모순성 세기에 따라서 초콤팩트 기수({{llang|en|supercompact cardinal}})의 존재보다 더 강력하나, 만약 거대 기수와 초콤팩트 기수가 둘 다 존재한다면, 가장 작은 거대 기수는 가장 작은 초콤팩트 기수보다 더 작다.

== 예 ==
증가하는 무모순성 순서로 정렬한, 대표적인 큰 기수 공리들의 목록은 다음과 같다.
* [[도달 불가능한 기수]]
* [[말로 기수]]
* 반사 기수({{llang|en|reflecting cardinal}})
* [[약콤팩트 기수]]
* 형언 불가능한 기수({{llang|en|ineffable cardinal}})
* 에르되시 기수({{llang|en|Erdős cardinal}})
* 램지 기수({{llang|en|Ramsey cardinal}})
* [[가측 기수]]
* 강기수({{llang|en|strong cardinal}})
* 우딘 기수({{llang|en|Woodin cardinal}})
* 초강기수({{llang|en|superstrong cardinal}})
* [[강콤팩트 기수]]
* [[초콤팩트 기수]]
* 보펜카 기수({{llang|en|Vopěnka cardinal}})
* 공리 I3
* 공리 I2
* 공리 I1
* 공리 I0

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Kanamori | first=Akihiro | | 저자링크=가나모리 아키히로 | 날짜=2003 | 출판사=Springer-Verlag | 제목=The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings | 판=2판 | isbn=978-3-540-88866-6 | zbl = 1022.03033 | 총서 = Springer Monographs in Mathematics | issn = 1439-7382 | doi = 10.1007/978-3-540-88867-3 | 언어=en}}
* {{서적 인용|last=Kanamori|first=Akihiro|이름2=Menachem|성2=Magidor |저자링크2=메나헴 마기도르|chapter=The evolution of large cardinal axioms in set theory |series=Lecture Notes in Mathematics |publisher=Springer-Verlag |volume =669 | 장url = http://math.bu.edu/people/aki/e.pdf |title=Higher Set Theory: Proceedings, Oberwolfach, Germany, April 13–23, 1977 |editor1-first=Gert H.|editor1-last=Müller|editor2-first=Dana S.|editor2-last=Scott |editor2-link=데이나 스콧|날짜=1978 |isbn =978-3-540-08926-1 |doi =10.1007/BFb0103104 |pages=99–275 | issn = 0075-8434 | 언어=en }}
* {{저널 인용|제목=Strong axioms of infinity and elementary embeddings|이름=Robert M.|성=Solovay|저자링크=로버트 솔로베이|author2-first=William N.|author2-last=Reinhardt|author3-first=Akihiro|author3-last=Kanamori|저널=Annals of Mathematical Logic|권=13|날짜=1978-02|쪽=73–116|url=http://math.bu.edu/people/aki/d.pdf|doi=10.1016/0003-4843(78)90031-1|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Drake|이름=F. R.|title=Set theory: an introduction to large cardinals|총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|권=76|publisher=Elsevier|날짜=1974|isbn=0-444-10535-2|언어=en}}
* {{저널 인용|성=Maddy|이름=Penelope|제목=Believing the axioms I|저널=Journal of Symbolic Logic|권=53|호=2|날짜=1988-06|쪽=481–511|jstor=2274520|issn=0022-4812|zbl=0652.03033|mr=0947855|doi=10.2307/2274520|언어=en}}
* {{저널 인용|성=Maddy|이름=Penelope|제목=Believing the axioms II|저널=Journal of Symbolic Logic|권=53|호=3|날짜=1988-09|쪽=736–764|jstor=2274569|issn=0022-4812|zbl=0656.03034|mr=0960996 |doi=10.2307/2274569|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Upper_attic|제목=The upper attic|웹사이트=Cantor’s Attic|이름=Joel David|성=Hamkins|이름2=Victoria|성2=Gitman|언어=en|확인날짜=2014-12-24|보존url=https://web.archive.org/web/20120213000241/http://cantorsattic.info/Upper_attic|보존날짜=2012-02-13|url-status=dead}}
* {{nlab|id=large cardinal|title=Large cardinal}}
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/independence-large-cardinals/|제목=Independence and large cardinals|날짜=2010-04-20|성=Koellner|이름=Peter|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|출판사=[[스탠퍼드 대학교]]|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/large-cardinals-determinacy/|제목=Large cardinals and determinacy|날짜=2013-05-22|성=Koellner|이름=Peter|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|출판사=[[스탠퍼드 대학교]]|언어=en}}

{{집합론}}

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