크리스토펠 기호 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''크리스토펠 기호'''(Christoffel記號, {{llang|de|Christoffelsymbole}}, {{llang|en|Christoffel symbol}})는 [[레비치비타 접속]]의 성분을 나타내는 기호다. 레비치비타 접속으로 정의된 [[공변 미분]]과 주어진 좌표에 대한 [[편미분]]의 차로 생각할 수 있다. 기호는 그리스 대문자 감마(Γ)다. 간혹 제1종 및 제2종 크리스토펠 기호를 구분하기도 한다. 이름과는 달리, 제2종이 더 근본적인 개념이다.

== 의의 ==
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>를 생각하자. 그렇다면, <math>\nabla g=0</math>이고 [[꼬임]]이 없는 유일한 [[아핀 접속]] <math>\nabla</math>가 존재한다.이를 [[레비치비타 접속]]({{lang|en-GB|Levi-Civita connexion}})이라고 부른다.

== 정의 ==
[[국소 좌표계]] ''x''<sup>''i''</sup>, (''i'' = 1, 2, ..., ''n'')가 ''n''차원 [[다양체]] ''M''위에 주어지고, 그 [[계량 텐서]]가 <math>g</math>일 때, 그 [[접공간|접벡터]]
:<math>\mathrm{e}_i = \frac{\partial}{\partial x^i}=\partial_i , \quad i=1,2,\dots,n</math>
에 의해 접공간 ''M''의 정의역 각 점에서 국소 좌표계의 [[벡터 공간의 기저|기저]]가 정의된다.

=== 제1종 크리스토펠 기호 ===
'''제1종 크리스토펠 기호'''는 제2종 크리스토펠 기호와 계량 텐서로부터 유도되어
:<math>\Gamma_{cab} = g_{cd} \Gamma^{d}{}_{ab}\,,</math>
처럼 정의될 수 있으며, 또는 그 자체로써,
:<math>\Gamma_{cab}
=\frac12 \left(\frac{\partial g_{ca}}{\partial x^b} + \frac{\partial g_{cb}}{\partial x^a} - \frac{\partial g_{ab}}{\partial x^c} \right)
= \frac12\, (g_{ca, b} + g_{cb, a} - g_{ab, c})
= \frac12\, \left(\partial_{b}g_{ca} + \partial_{a}g_{cb} - \partial_{c}g_{ab}\right) \,.
</math>
처럼 정의될 수도 있다<ref name="ludvigsen">{{인용|last1=Ludvigsen |first1=Malcolm||title=General Relativity: A Geometrical Approach | year=1999|page=88}}</ref>.

다른 표기 방법으로
:<math>\Gamma_{cab} = [ab, c].</math>
로 표기하기도 한다.
<ref name="christoffel" >{{인용|title=Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrucke zweiten Grades|last=Christoffel|first=E.B.|author-link=Elwin Bruno Christoffel|journal=Jour. fur die reine und angewandte Mathematik|volume=B. 70|pages=46-70|year=1869|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002153882&IDDOC=266356}}</ref><ref name="Chatterjee">{{서적 인용
 |first1=U. |last1=Chatterjee |first2=N. |last2=Chatterjee |year=2010
 |title=Vector and Tensor Analysis
 |page=480}}</ref><ref name="dirkstruik">{{서적 인용
 |first1=D.J. |last1=Struik
 |title=Lectures on Classical Differential Geometry
 |url=https://archive.org/details/lecturesonclassi00stru |edition=first published in 1988 Dover
 |year=1961
 |page=[https://archive.org/details/lecturesonclassi00stru/page/n125 114]}}</ref>

<math>[ab, c] = [ba, c]</math>라는 점은 주목할 필요가 있다.<ref name="bishopgoldberg" >{{인용| last1=Bishop|first1=R.L.|last2=Goldberg|first2=| title = Tensor Analysis on Manifolds| year=1968|page=241}}</ref>

=== 제2종 크리스토펠 기호 ===
'''제2종 크리스토펠 기호'''는 한 좌표 기저에서 [[레비치비타 접속]]의 접속 계수이며, 이 접속은 [[비틀림 (미분기하학)|비틀림]]이 0이기 때문에, 그 기저의 접속 계수 또한 대칭이다. 다시 말해,
:<math>\Gamma^k{}_{ij}=\Gamma^k{}_{ji}\,</math>
이 성립한다.<ref name="Chatterjee"/> 그런 이유에서 비틀림 없는 접속을 흔히 ‘대칭’이라고 한다.

다시 말해서 제2종 크리스토펠 기호 <math>\Gamma^k{}_{ij}</math>는 (때로는 <math>\Gamma^{k}_{ij}</math> 또는 <math>\{\begin{smallmatrix} k\\ ij \end{smallmatrix}\}</math>로도 표기한다<ref name="wolfram2ndkind">http://mathworld.wolfram.com/ChristoffelSymboloftheSecondKind.html.</ref><ref name="Chatterjee"/>)
:<math>\nabla_i \mathrm{e}_j = \Gamma^k{}_{ij}\mathrm{e}_k</math>
가 성립되는 유일한 접속으로 정의되는데 여기서 <math>\nabla_i</math> ''M''에서 좌표방향 <math>\mathrm{e}_{i}</math>로의 [[레비치비타 접속]]이며, 이것은 <math>\nabla_i\equiv \nabla_{\mathrm{e}_i}</math>일 때를 뜻하고, <math>\mathrm{e}_i=\partial_i</math>는 국소 좌표의 [[홀로노믹]] [[기저 (선형대수학)|기저]]이다<ref name="christoffel" /><ref name="Chatterjee"/>.

크리스토펠 기호는 [[공변 미분]]과 [[계량 텐서]] <math>g_{ik}\ </math>에 의해 표현될 수 있는데,

:<math>0 = \nabla_\ell g_{ik}
= \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m{}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m{}_{k\ell}
= \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- 2g_{mk}\Gamma^m{}_{i\ell}</math>
이다.

더 짧은 표기법으로, [[나블라]] 기호와 편미분 기호를 생략하여, 세미콜론과 콤마와 미분하는 첨자를 표기하여
:<math>0 = \,g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m{}_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m{}_{k\ell}</math>
와 같이도 쓴다.

아래 두 첨자에 대해 대칭이라는 점을 이용하여, 크리스토펠 기호를 계량 텐서의 함수로 나타낼 수 있는데,
:<math>\Gamma^i{}_{k\ell}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right) = {1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m})</math>
이고<ref name="bishopgoldberg" />, 여기서 <math>(g^{jk})</math>는 <math>(g_{jk})\,</math>의 [[역행렬]]이고, [[크로네커 델타]]와 [[아인슈타인 표기법]]을 사용하면 <math>g^{j i} g_{i k}= \delta^j{}_k\ </math>인 것이다.

크리스토펠 기호는 텐서와 같은 방식으로 표기되지만, 텐서는 아니다.<ref>{{harv|Kreyszig|1991}}, page 141</ref> 좌표변환에 대해서 텐서처럼 행동하지 않는다.

== 역사 ==
독일의 [[엘빈 브루노 크리스토펠]]이 1869년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Christoffel|이름=Elwin Bruno|저자링크=엘빈 브루노 크리스토펠|연도=1869|제목=Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik B|권=70|쪽=46-70|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002153882&IDDOC=266356|doi=10.1515/crll.1869.70.46|언어=de}}</ref><ref>{{MacTutor|id=Christoffel|title=Elwin Bruno Christoffel|date=1997-04}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[리치 곡률 텐서]]
* [[슈바르츠실트 해]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Christoffel symbol}}
* {{매스월드|id=ChristoffelSymbol|title=Christoffel symbol}}
* {{매스월드|id=ChristoffelSymboloftheFirstKind|title=Christoffel symbol of the first kind}}
* {{매스월드|id=ChristoffelSymboloftheSecondKind|title=Christoffel symbol of the second kind}}
* {{nlab|id=Christoffel symbols}}
* {{수학노트|title=크리스토펠 기호}}

[[분류:리만 기하학]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:로런츠 다양체]]