크로네커 보조정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''크로네커 보조정리'''({{llang|en|Kronecker’s lemma}})는 [[큰 수의 법칙]]의 증명에 사용되는 [[보조정리]]다. 이에 따르면, [[수렴급수]]의 항이 0으로 수렴하는 속도는 충분히 빠르다. 증명은 [[아벨 변환]]과 [[슈톨츠-체사로 정리]]를 사용한다.

== 정의 ==
'''크로네커 보조정리'''에 따르면, 임의의 두 [[실수 수열]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb R</math>, <math>(b_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb R</math>에 대하여, 만약 [[급수 (수학)|급수]]
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
가 [[수렴]]하며,
:<math>b_0\le b_1\le b_2\le\cdots</math>
:<math>\lim_{n\to\infty}b_n=\infty</math>
라면,
:<math>\lim_{n\to\infty}b_n^{-1}\sum_{i=0}^na_ib_i=0</math>
이다.<ref name="Athreya">{{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}</ref>{{rp|255, Lemma 8.4.2}}<ref name="Durrett">{{서적 인용
|url=https://services.math.duke.edu/~rtd/PTE/PTE5_011119.pdf
|형식=PDF
|성=Durrett
|이름=Rick
|제목=Probability: Theory and Examples
|언어=en
|판=5
|총서=Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics
|출판사=Cambridge University Press
|위치=Cambridge
|날짜=2019
|isbn=978-1-108-47368-2
|doi=10.1017/9781108591034
}}</ref>{{rp|85, Theorem 2.5.9}}
{{증명}}
:<math>A_n=\sum_{i=0}^na_i\qquad(n\in\mathbb N)</math>
:<math>A=\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
이라고 하자. [[아벨 변환]]과 [[슈톨츠-체사로 정리]]에 의하여, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\lim_{n\to\infty}b_n^{-1}\sum_{i=0}^na_ib_i
&=\lim_{n\to\infty}b_n^{-1}\left(A_nb_n-\sum_{i=0}^{n-1}A_i(b_{i+1}-b_i)\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\left(A_n-b_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}A_i(b_{i+1}-b_i)\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}(A_n-(b_n-b_{n-1})^{-1}A_{n-1}(b_n-b_{n-1}))\\
&=\lim_{n\to\infty}(A_n-A_{n-1})\\
&=A-A\\
&=0
\end{align}
</math>
{{증명 끝}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{플래닛매스|urlname=kroneckerslemma|제목=Kronecker’s lemma}}
* {{proofwiki|id=Kronecker's Lemma|제목=Kronecker’s lemma}}


[[분류:급수]]
[[분류:미적분학 정리]]
[[분류:보조정리]]