크로네커 델타 문서 원본 보기

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'''크로네커 델타'''({{llang|en|Kronecker delta}})는 [[선형대수학]]에서 [[정수]] 값을 가지는 두 개의 변수에 대해서 정의된 [[함수]] 혹은 [[텐서]]이다. 이 텐서의 이름은 수학자 [[레오폴트 크로네커]]의 이름에서 따왔다.

== 정의 ==
'''크로네커 델타''' δ<sub>ij</sub>는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\delta_{ij} \in \{0,1\}</math>
:<math>\delta_{ij} = \begin{cases}
1 & i=j  \\
0 & i \ne j \end{cases}</math>
다시말하면, 이 함수는 두 개의 변수가 같은 값을 가지면 1이 되고, 그렇지 않으면 0이 된다. 예를 들어, δ<sub>12</sub> = 0, δ<sub>33</sub> = 1이다.

특별한 경우에 변수가 하나인 경우에는 흔히 다음과 같이 크로네커 델타 δ<sub>i</sub>를 정의한다.
:<math>\delta_{i} = \delta_{i0} = \begin{cases}
1 & i=0  \\
0 & i \ne 0 \end{cases}</math>

=== 일반화 크로네커 델타 ===
좀 더 많은 성분을 가진 텐서에 대해서도 비슷한 성질을 갖는 아래의 텐서를 생각할 수 있다.
:<math>\delta^{j_1 j_2 \dotso j_n}_{i_1 i_2 \dotso i_n} \in \{+1,-1,0\}</math>
이 텐서는 다음과 같이 정의된다.
* 만약 <math>(i_1,i_2,\dotsc,i_n)</math>이 <math>(j_1,j_2,\dotsc,j_n)</math>의 [[순열]]이 아니라면, 일반화 크로네커 델타의 값은 0이다.
* 만약 <math>(i_1,i_2,\dotsc,i_n)=(j_{\sigma(1)},j_{\sigma(2)},\dotsc,j_{\sigma(n)})</math>이라면,  <math>\delta^{j_1\dotso j_n}_{i_1\dotso i_n}=(-)^\sigma \in \{\pm1\}</math>이다.
물론, 만약 <math>n=1</math>일 경우 이는 원래 크로네커 델타의 정의와 일치한다.

== 성질 ==
크로네커 델타의 가장 중요한 성질은 다음과 같이 임의로 합을 하면, 특정한 지표 i ∈ ℤ ([[정수]])를 골라낼 수 있다는 성질이다.
:<math>\sum^\infty _{j=-\infty} \delta_{ij} a_j = a_i</math>
이 성질은 [[디랙 델타 함수]]와 매우 비슷한 성질이기 때문에 흔히 크로네커 델타를 이산적인 경우의 델타 함수라고 하기도 한다.

또한, [[데카르트 좌표계]]에서의 성분끼리의 미분도 크로네커 델타로 표현된다.
:<math>{\partial x_i \over \partial x_j} = \delta_{ij}</math>

=== 선형대수학적 성질 ===
크로네커 델타를 [[텐서]]로 생각할 땐 텐서의 축약으로 특정 지표를 골라내는 성질을 간단하게 나타낼 수 있으므로 [[공변지표]](covariant index) i와 [[반변지표]](contravariant index) j를 사용해 <math>\delta_{j}^{i}</math>로 나타낸다.

이 (1,1) 텐서를 이용해 나타낼 수 있는 것들에는 다음과 같은 것들이 있다. (여기 아래에선 [[아인슈타인 표기법]]을 사용)
* [[단위행렬]], [[선형 변환]]으로 생각할 때.
: <math>v^i = \delta^i _j v^j</math>
* [[대각합]]
: <math>\mathrm{tr} (A) = \delta^i _j A^j _i</math>
* [[내적]]
: <math>\vec{a} \cdot \vec{b} = \delta^i _j a_i b^j</math>

=== 선적분을 통한 표현 ===
다음의 [[잉여]] 계산을 통해

:<math>\oint {1 \over z^n} dz= \left\{\begin{matrix}
2\pi i & n=1 \\
0 & \textrm{otherwise} \end{matrix}\right.</math>

크로네커 델타의 적분표현을 얻을 수 있다.

:<math>\delta_{mn} = \frac1{2\pi i} \oint z^{m-n-1} dz,</math>

여기서 적분경로는 0 주변을 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다. 또한 이 적분은 [[복소평면]] 상에서 한바퀴 돌며 적분하는 것과 같으므로 아래와 같이 나타낼 수도 있다.

:<math>  \delta_{mn} = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(m-n)\varphi} d\varphi,</math>

== 응용 ==
[[디지털 신호 처리]] 분야에서는, 위와 같은 개념을 ℤ에서 정의된 함수로 나타낸다.
:<math>\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}</math>
이 함수를 '임펄스', 혹은 '단위 임펄스'라고 부른다. 어떤 신호 처리 장치에 임펄스가 입력으로 주어졌을때, 출력으로 나오는 것을 [[임펄스 응답]]이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[레비치비타 기호]]
* [[디랙 델타 함수]]

[[분류:선형대수학]]
[[분류:텐서]]