크로네커-베버 정리 문서 원본 보기

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'''크로네커-베버 정리'''({{llang|en|Kronecker–Weber theorem}}, {{llang|zh|定理}})는 [[대수적 수론]]의 [[정리]]로, [[유리수체]] 위의 [[갈루아 군]]이 [[아벨 군]]인 모든 [[대수적 수체]], 즉 유리수체의 임의 [[유한 확대|유한]] [[아벨 확대]]는 [[원분체]]의 [[부분체]]라는 내용이다.

== 예 ==
예를 들어, <math>\mathbb Q[\sqrt 5]/\mathbb Q</math>의 [[갈루아 군]]은 <math>\mathbb Z/2</math>이므로 이는 유리수체의 [[아벨 확대]]이다. 따라서 <math>\sqrt5</math>는 1의 거듭제곱근들의 유리수 계수 [[선형결합]]으로 나타낼 수 있다. 구체적으로,
:<math>\sqrt{5} = e^{2 \pi i / 5} - e^{4 \pi i / 5} - e^{6 \pi i / 5} + e^{8 \pi i / 5}</math>
이다. 즉, <math>\mathbb Q[\sqrt5]</math>는 [[원분체]] <math>\mathbb Q[\exp(2\pi i/5)]</math>의 부분체이다.

== 역사 ==
이 정리는 [[1853년]] [[독일]]의 [[레오폴트 크로네커]]에 의해 처음으로 언급되었지만 증명은 완벽하지 못했다.<ref>Kronecker, Leopold (1853), [http://books.google.com/books?id=Gwi0Wum8LY0C&pg=PA3 "Über die algebraisch auflösbaren Gleichungen"], ''Berlin K. Akad''. Wiss.: 365–374, Collected works volume 4</ref><ref>Kronecker, Leopold (1877), [http://books.google.com/books?id=Gwi0Wum8LY0C&pg=PA65 "Über Abelsche Gleichungen"], ''Berlin K. Akad''. Wiss.: 845–851, Collected works volume 4</ref> 또 다른 독일 수학자인 [[하인리히 마르틴 베버]](Heinrich Martin Weber)가 [[1886년]] 완벽해 보이는 증명을 출판하여 이 둘의 이름이 붙었다. 그러나 베버의 첫 증명에는 약간의 비약과 오류가 있었고, 올라프 노이만(Olaf Neumann)이 [[1981년]] 논문을 통해 이를 바로잡았다.<ref>Neumann, Olaf (1981), [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002198282 "Two proofs of the Kronecker-Weber theorem "according to Kronecker, and Weber""], ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'' '''323''': 105–126, DOI:[http://dx.doi.org/10.1515%2Fcrll.1981.323.105 10.1515/crll.1981.323.105], ISSN [http://www.worldcat.org/issn/0002-9947 0075-4102], MR [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=610968 611446]</ref> [[다비트 힐베르트]]는 [[1896년]] 처음으로 이 정리의 올바르고 완전한 증명에 성공하였다.<ref>{{저널 인용|성=Hilbert|이름=David|저자링크=다비트 힐베르트|날짜=1896|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002497263|제목=Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper|저널=Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen|쪽=29–39|언어=de}}</ref>

== 국소적 크로네커-베버 정리 ==
[[미국]]의 [[조너선 루빈]](Jonathan Lubin)과 [[존 테이트]]는 [[1965년]], [[1966년]] 두 논문을 통해 크로네커-베버 정리의 국소화된 판본을 발표하였다. 여기서 루빈과 테이트는 [[국소체]](local field)의 임의 [[아벨 확대]]는 [[원분 확대]](cyclotomic extension)와 [[루빈-테이트 확대]](Lubin-Tate extension)만으로 구성될 수 있다는 것을 보였다.

== 같이 보기 ==
* [[힐베르트의 문제|힐베르트의 열두 번째 문제]]
* [[크로네커의 청춘의 꿈]]

== 각주 ==
{{각주}}
* Lubin, Jonathan; Tate, John (1965), "Formal complex multiplication in local fields", ''Annals of Mathematics. Second Series'' '''81''': 380–387, ISSN [http://www.worldcat.org/issn/0003-486X 0003-486X], JSTOR [http://www.jstor.org/stable/1970622 1970622], MR [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0172878 0172878]
* Lubin, Jonathan; Tate, John (1966), [http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1966__94__49_0 "Formal moduli for one-parameter formal Lie groups"], ''Bulletin de la Société Mathématique de France'' '''94''': 49–59, ISSN [http://www.worldcat.org/issn/0037-9484 0037-9484], MR [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0238854 0238854]

{{전거 통제}}

[[분류:대수학 정리]]
[[분류:유체론]]
[[분류:대수적 수론 정리]]