크레인-밀만 정리 문서 원본 보기

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[[파일:Extreme points.svg|섬네일|오른쪽|주어진 볼록 다각형 ''K'' (밝은 파란색)과 그 극점들 ''B'' (빨간색), ''B''의 볼록 폐포는 ''K''이다.]]
[[함수해석학]]의 [[수학|수학 정리]]에서 '''크레인-밀만 정리'''는 [[위상 벡터 공간]]의 [[볼록 집합]]에 관한 [[정리]]이다. 이 [[정리]]의 쉽게 시각화 할 수 있고 주어진 볼록 [[다각형]]을 나타내는 특별한 경우에는, 다각형 모양을 복원하기 위해서는 다각형의 꼭짓점만이 필요하다. 이 정리의 명제는 다각형이 볼록이 아닐 때는 거짓이다, 그러면 주어진 점을 꼭짓점으로 나타내는 다각형을 그리는 많은 방법이 있다.

형식적으로, <math>X</math>를 [[국소 볼록 공간]]이라 하고 ([[하우스도르프 공간]]이라고 가정되었다), <math>K</math>를 <math>X</math>의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] 볼록 [[부분집합]]이라고 하자. 그러면, 정리는 <math>K</math>는 그 [[극점 (기하학)|극점]]의 닫힌 [[볼록 폐포]]라고 한다.

위의 닫힌 볼록 폐포는 <math>K</math>를 포함하는 <math>X</math>의 모든 닫힌 볼록 부분 집합의 [[교집합]]으로 정의된다. 이것은 위상 벡터 공간에서 볼록 폐포의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]에서도 같다. 이 정리의 한 방향은 쉽다; 가장 큰 문제는 '충분한' 극점이 있다는 것을 보이는 것이다.

[[마르크 크레인]]과 [[다비드 밀만]]에 의해 증명된 원래 명제는 이것보다는 어떻게든 덜 일반적이다.

[[헤르만 민코프스키]]는 이미 <math>X</math>가 [[유한 차원]]일 때,ㅣ<math>K</math>는 그 극점의 집합의 볼록 폐포와 같다는 것을 이미 증명했다. 크레인–밀만 정리는 이것을 조건과 함께 산술적 국소 볼록 <math>X</math>로 일반화 시킨다: 폐포가 필요하다.

== 선택 공리와의 관계 ==
[[선택 공리]] 또는 그것의 약한 형태는 이 정리를 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 증명을 요구한다. {{출처|날짜=2017-10-23|하지만 [[불 소 아이디얼 정리]]와 함께 이 정리는 선택공리를 증명할 수 있다.}}영문판에 출처 있음

== 관련 결과 ==
<math>K</math>의 이전 가정에서, <math>T</math>가 <math>K</math>의 [[부분집합]]이고 <math>T</math>의 닫힌 볼록 폐포가 <math>K</math> 전체라고 하면, <math>K</math>의 모든 [[극점 (기하학)|극점]] <math>T</math>의 [[폐포]]에 속해있다. 이 결과는 크레인-밀만 정리에 대하여 ''밀만의'' (부분) ''역''이다.

[[쇼케 정리|Choquet–Bishop–de Leeuw 정리]]는 <math>K</math>의 모든 점이 <math>K</math>의 [[극점 (기하학)|극점]]의 집합으로 지지되는 [[확률 공간|확률 측도]]의 질량중심이라고 한다

== 더 일반적인 설정 ==
주변 공간의 [[국소 볼록 공간|국소 볼록성]]에 대한 가정은 필요하다. 왜냐하면 [[제임스 로버츠 (수학자)|제임스 로버츠]]는 1977년에 더 일반적인 공간의 반례를 만들었기 때문이다.

선형성 역시 필요하다. 왜냐햐면 [[니콜라스 모노]]가 2016년에 증명했듯이 [[아다마르 공간|CAT(0) 공간]]의 약한 콤팩트 볼록 집합에 대해서 이것은 적용되지 않기 때문이다. 하지만, 테오 부흘러(Theo Buehler)는 2006년에 크레인 밀만 정리가 ''행렬''로 콤팩트 CAT(0) 공간에 적용되는 것을 증명했다.<ref>{{웹 인용|url=http://arxiv.org/abs/math/0604187 |title=The Krein-Mil'man Theorem for Metric Spaces with a Convex Bicombing, Theo Buehler, 2006.}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[카라테오도리의 정리 (볼록 폐포)]]
* [[셰플리–포크먼 보조정리]]
* [[헬리의 정리]]
* [[라돈의 정리]]
* [[쇼케 정리]]
* [[바나흐-앨러오글루 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

* M. Krein, D. Milman (1940) ''On extreme points of regular convex sets'', Studia Mathematica '''9''' 133–138.
* {{저널 인용| last=Milman | first=D. | year=1947 | script-title=ru:Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множества |trans-title=Characteristics of extremal points of regularly convex sets |language=러시아어| journal=[[Doklady Akademii Nauk SSSR]] | volume=57 | pages=119–122}}
* H. Minkowski. ''Geometrie der Zahlen''. Teubner, Leipzig, 1910
* N. Monod (2016) "Extreme points in non-positive curvature", Studia Mathematica '''234''' 265–270.
* N. K. Nikol'skij (Ed.). ''Functional Analysis I''. Springer-Verlag, 1992
* J. Roberts (1977) ''A compact convex set with no extreme points'', Studia Mathematica '''60''' 255–266.
* H. L. Royden. ''Real Analysis''. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1988.

{{함수 해석학}}

[[분류:볼록기하학 정리]]
[[분류:위상 벡터 공간]]
[[분류:이산기하학 정리]]
[[분류:함수해석학 정리]]
[[분류:볼록 껍질]]