크라메르 법칙 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''크래머 법칙'''(Cramer法則, {{llang|en|Cramer's rule}}) 또는 '''크래머 공식'''은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 [[연립 일차 방정식]]의 해를 구하는 공식이다. [[계수 행렬]]과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 [[행렬식]]의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 [[가우스 소거법]]에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.

== 정의 ==
[[연립 일차 방정식]]
:<math>Ax=B</math>
에서, <math>A</math>가 [[정사각 행렬]]이며, [[행렬식]]이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 '''크라메르 법칙'''이라고 한다.
:<math>x_j=\frac{\det A_j}{\det A}=\frac{\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&b_1&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&\cdots&b_2&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&b_n&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}}\qquad(j=1,\dots,n)</math>
여기서 <math>A_j</math>는 <math>A</math>의 <math>j</math>번째 열을 <math>B</math>로 대신하여 얻는 행렬이다.

== 증명 ==
연립 일차 방정식
:<math>a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1</math>
:<math>a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n</math>
의 계수 행렬 <math>A</math>의 <math>(i,j)</math>-[[여인자]]를 <math>C_{ij}</math>라고 하자. 그렇다면, [[라플라스 전개]]에 따라 다음이 성립한다.
:<math>a_{1k}C_{1j}+a_{2k}C_{2j}+\cdots+a_{nk}C_{nj}=\begin{cases}\det A&k=j\\0&k\ne j\end{cases}</math>
:<math>b_1C_{1j}+b_2C_{2j}+\cdots+b_nC_{nj}=\det A_j</math>
이에 따라, 각 <math>i</math>번째 방정식에 <math>C_{ij}</math>을 곱한 뒤 모두 합하면
:<math>\det A\cdot x_j=\det A_j</math>
를 얻는다. <math>\det A\ne0</math>이므로, 양변을 <math>\det A</math>로 나누면
:<math>x_j=\frac{\det A_j}{\det A}</math>
를 얻는다.

== 예 ==
=== 2개의 방정식의 경우 ===
연립 일차 방정식
:<math>ax+by=e</math>
:<math>cx+dy=f</math>
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.
:<math>x=\frac{\begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=\frac{ed-bf}{ad-bc},\;y=\frac{\begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=\frac{af-ec}{ad-bc}</math>

=== 3개의 방정식의 경우 ===
연립 일차 방정식
:<math>ax+by+cz=j</math>
:<math>dx+ey+fz=k</math>
:<math>gx+hy+iz=l</math>
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.
:<math>x=\frac{\begin{vmatrix}j&b&c\\k&e&f\\l&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}},\;y=\frac{\begin{vmatrix}a&j&c\\d&k&f\\g&l&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}},\;z=\frac{\begin{vmatrix}a&b&j\\d&e&k\\g&h&l\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}</math>

== 응용 ==
=== 미분기하학 ===
크라메르 법칙은 [[미분기하학]]에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 <math>F(x, y, u, v) = 0\,</math>, <math>G(x, y, u, v) = 0\,</math>이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, <math>x = X(u, v)</math>, <math>y = Y(u, v)</math>라 정의한다.

여기서 <math>\partial x/\partial u</math>의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다.

먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.
:<math>dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0</math>
:<math>dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0</math>
:<math>dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv</math>
:<math>dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv</math>

dF, dG에 dx와 dy를 대입하면
:<math>dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0</math>
:<math>dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0</math>

u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}</math>
:<math>\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}</math>
:<math>\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}</math>
:<math>\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}</math>

따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다.
:<math>
\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\begin{vmatrix} -\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ -\frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}
</math>

이것은 두 개의 [[야코비안]] 항이다.
:<math>\frac{\partial x}{\partial u} = - \frac{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}</math>

유사하게 <math>\frac{\partial x}{\partial v}</math>, <math>\frac{\partial y}{\partial u}</math>, <math>\frac{\partial y}{\partial v}</math>의 공식들도 유도할 수 있다.

== 역사 ==
[[스위스]] [[수학자]] [[가브리엘 크라메르]](Gabriel Cramer, [[1704년]] - [[1752년]])에게서 유래한다.

== 같이 보기 ==
* [[사다리꼴행렬|사다리꼴 행렬]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cramer rule}}
* {{매스월드|id=CramersRule|title=Cramer's rule}}
* {{플래닛매스|urlname=CramersRule|title=Cramer's rule}}

{{선형대수학}}

[[분류:선형대수학 정리]]
[[분류:행렬식]]
[[분류:대수학 정리]]
[[분류:1750년 과학]]