크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개'''(Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz덮개, {{llang|en|Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz cover}})는 특정한 조건을 만족시키는, [[단체 (수학)|단체]]의 [[닫힌집합]]으로 구성된 [[덮개 (위상수학)|덮개]]이다. 구체적으로, [[단체 (수학)|단체]]의 (꼭짓점의 부분 집합의 볼록 폐포인) 부분 [[단체 (수학)|단체]]는 각 꼭짓점에 대응되는 [[닫힌집합]]들로 덮혀져야 한다. '''크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리'''(Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz定理, {{llang|en|Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz theorem}})에 따르면, 모든 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개는 적어도 하나 이상의 점을 공유한다 (즉, 그 [[교집합]]은 [[공집합]]이 될 수 없다).

== 정의 ==
<math>n+1</math>개의 꼭짓점을 갖는 <math>n</math>차원 [[단체 (수학)|단체]] <math>\triangle^n\subseteq\mathbb R^n</math>을 생각하고, 그 꼭짓점들의 집합을
:<math>V\subseteq\triangle^n</math>
:<math>|\mathcal V|=n+1</math>
이라고 하자.

만약 <math>\triangle^n</math> 속의, <math>n+1</math>개 집합으로 구성된 [[집합족]]
:<math>\{C_v\}_{v\in V} \subseteq \operatorname{Pow}(\triangle^n)</math>
이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 '''크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개'''라고 한다.
* 임의의 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>C_v</math>는 [[닫힌집합]]이다.
* 임의의 꼭짓점의 집합 <math>I\subseteq V</math>에 대하여, <math>\{C_v\}_{v\in I}</math>는 <math>I</math>의 [[볼록 폐포]]에 해당하는 <math>|I|-1</math>차원 [[단체 (수학)|단체]] <math>\operatorname{Conv}(I)</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]를 이룬다. 즉, <math>\textstyle\bigcup_{v\in I}C_i \supseteq \operatorname{Conv}(I)</math>이다.

== 성질 ==
둘째 조건에서, <math>I=V</math>인 경우에 의하여, <math>\{C_v\}_{v\in V}</math>는 <math>\triangle^n</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]를 이루어야 한다. 마찬가지로, <math>|I|=1</math>인 경우에 의하여, 임의의 <math>v\in V</math>에 대하여 항상 <math>v\in C_v</math>이다.

'''크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리'''에 따르면, <math>n\ge0</math>일 때, 모든 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개의 [[교집합]]은 절대로 [[공집합]]이 될 수 없다 (즉, <math>\textstyle\bigcap_{v\in V}C_v\ne\varnothing</math>).

보다 일반적으로, <math>\triangle^n</math> 위의, <math>n+1</math>개의 서로 다른 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개가 주어졌다고 하자. 즉, 집합족
:<math>\{C_{u,v}\}_{(u,v)\in V^2}\subseteq\operatorname{Pow}(\triangle^n)</math>
에서, 각 <Math>u\in V</math>에 대하여
:<math>\{C_{u,v}\}_{v\in V}</math>
가 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개를 이룬다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(V)</math>이 존재한다.<ref name="Gale"/>
:<math>\bigcap_{v\in V}C_{\sigma(v),v} \ne\varnothing</math>

== 예 ==
<math>n=2</math>일 때, 2차원 단체 (즉, [[삼각형]]) <math>\triangle^2</math>의 다음과 같은 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개를 생각하자.
:[[파일:KKM_example.png|300px]]
즉,
* 붉은 집합 · 푸른 집합 · 녹색 집합의 [[합집합]]은 삼각형의 [[덮개 (위상수학)|닫힌 덮개]]를 이룬다.
* 붉은 집합 · 녹색 집합은 수직 변의 [[덮개 (위상수학)|닫힌 덮개]]를 이룬다.
* 붉은 집합 · 푸른 집합은 수평 변의 [[덮개 (위상수학)|닫힌 덮개]]를 이룬다.
* 녹색 집합 · 푸른 집합은 대각 변의 [[덮개 (위상수학)|닫힌 덮개]]를 이룬다.
* 붉은 집합 · 푸른 집합 · 녹색 집합은 각각 한 꼭짓점을 포함한다.

이 경우, 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리에 따라 붉은 집합 · 푸른 집합 · 녹색 집합은 한 점을 공유하며, 이는 삼각형 가운데의, 세 집합이 맞닿는 점이다.

== 역사 ==
브로니스와프 크나스테르({{llang|pl|Bronisław Knaster}}) · [[카지미에시 쿠라토프스키]] · [[스테판 마주르키에비치]]가 1929년에 이 조건 및 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|first1=Bronisław|last1=Knaster|first2=Casimir|last2=Kuratowski|author2-link=카지미에시 쿠라토프스키|first3=Stefan|last3=Mazurkiewicz|author3-link=스테판 마주르키에비치|title=Ein Beweis des Fixpunktsatzes für ''n''-dimensionale Simplexe|journal=Fundamenta Mathematicae|volume=14|issue=1|year=1929|pages=132–137|url=https://eudml.org/doc/212127|언어=de}}</ref>

복수의 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개에 대한 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리의 일반화는 데이비드 게일({{llang|en|David Gale}}, 1921~2008)이 1984년에 증명하였다.<ref name="Gale">{{저널 인용|doi=10.1007/BF01769865|title=Equilibrium in a discrete exchange economy with money|journal=International Journal of Game Theory|volume=13|pages=61|year=1984|last1=Gale|first1=David|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://matthewhr.files.wordpress.com/2012/09/kkm-theorem.pdf|제목=Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz (KKM) theorem|날짜=2012-09|이름=Matthew H.|성=Rosenzweig|언어=en|확인날짜=2018-03-06|archive-date=2021-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20210507104046/https://matthewhr.files.wordpress.com/2012/09/kkm-theorem.pdf|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상수학]]
[[분류:고정점]]
[[분류:보조정리]]