퀼런 수반 함자 문서 원본 보기

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[[호모토피 이론]]에서 '''퀼런 수반 함자'''(Quillen隨伴函子, {{llang|en|Quillen adjunction}})는 두 [[모형 범주]] 사이의 [[수반 함자]] 가운데, [[모형 범주]] 구조와 호환되는 것이다.

== 정의 ==
=== 퀼런 수반 함자 ===
두 [[모형 범주]] <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal D</math> 사이의 [[수반 함자]]
:<math>\mathcal C\underset G{\overset F\rightleftarrows}\mathcal D</math>
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 수반 함자를 '''퀼런 수반 함자'''({{llang|en|Quillen adjunction}})라고 한다.
* <math>F</math>는 쌍대올뭉치를 쌍대올뭉치로 대응시키며, 자명한 쌍대올뭉치를 자명한 쌍대올뭉치로 대응시킨다.
* <math>G</math>는 올뭉치를 올뭉치로 대응시키며, 자명한 올뭉치를 자명한 올뭉치로 대응시킨다.
이 경우, <math>F</math>를 '''왼쪽 퀼런 수반 함자'''({{llang|en|left Quillen-adjoint functor}}), <math>G</math>를 '''오른쪽 퀼런 수반 함자'''({{llang|en|right Quillen-adjoint functor}})라고 한다.

=== 퀼런 동치 ===
퀼런 수반 함자
:<math>\mathcal C\underset G{\overset F\rightleftarrows}\mathcal D</math>
에 대해 다음 조건들은 모두 동치이며, 이를 만족시킨다면 '''퀼런 동치'''(Quillen同値, {{llang|en|Quillen equivalence}})라고 한다.
* 임의의 쌍대올대상 <math>C\in\mathcal C</math> 및 올대상 <math>D\in\mathcal D</math>에 대하여, <math>F(C)\to D</math>가 약한 동치일 [[필요 충분 조건]]은 <math>C\to G(D)</math>가 약한 동치인 것이다.
* <math>\operatorname LF\colon\operatorname{Ho}(\mathcal C)\to\operatorname{Ho}(\mathcal D)</math>가 호모토피 범주들의 [[범주의 동치|동치]]이다.
* <math>\operatorname RG\colon\operatorname{Ho}(\mathcal D)\to\operatorname{Ho}(\mathcal C)</math>가 호모토피 범주들의 [[범주의 동치|동치]]이다.

== 성질 ==
=== 사상 성질의 보존 ===
왼쪽 및 오른쪽 퀼런 함자는 약한 동치를 보존한다. 즉, 다음과 같은 표가 성립한다.
:{| class=wikitable style="text-align: center"
! [[사상 (수학)|사상]] !! 왼쪽 함자 <math>F</math> || 오른쪽 함자 <math>G</math>
|-
! 약한 동치
| ⭕ || ⭕
|-
! 쌍대올뭉치
| ⭕ || ❌
|-
! 자명한 쌍대올뭉치
| ⭕ || ❌
|-
! 올뭉치
| ❌ || ⭕
|-
! 자명한 올뭉치
| ❌ || ⭕
|}
위 표에서, ⭕는 함자가 이 사상 모임을 항상 보존한다는 것이며, ❌는 함자가 이 사상 모임을 보존하지 못할 수 있다는 것이다.

=== 유도 수반 함자 ===
왼쪽 퀼런 함자는 [[왼쪽 유도 함자]]를, 오른쪽 퀼런 함자는 [[오른쪽 유도 함자]]를 가진다. 왼쪽 유도 함자
:<math>\operatorname LF\colon\operatorname{Ho}(\mathcal C)\to\operatorname{Ho}(\mathcal D)</math>
및 오른쪽 유도 함자
:<math>\operatorname RG\colon\operatorname{Ho}(\mathcal D)\to\operatorname{Ho}(\mathcal C)</math>
역시 서로 [[수반 함자]]이며, 이를 퀼런 수반 함자 <math>(F,G)</math>의 '''유도 수반 함자'''(誘導隨伴函子, {{llang|en|derived adjunction}})라고 한다.

== 예 ==
=== 단체 집합과 위상 공간 ===
[[단체 집합]]의 [[모형 범주]] <Math>\operatorname{sSet}</math>와 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[모형 범주]] <math>\operatorname{Top}</math> 사이에는 퀼런 동치가 존재한다. 구체적으로, 기하학적 실현 함자
:<math>|-|\colon\operatorname{sSet}\to\operatorname{Top}</math>
와 [[특이 단체 복합체]] 함자
:<math>\operatorname{Sing}\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{sSet}</math>
는 [[수반 함자]]
:<math>|-|\dashv\operatorname{Sing}</math>
를 이루며, 양 범주에 각각 (퀼런) [[모형 범주]] 구조를 부여할 경우 이는 퀼런 동치를 이룬다.

=== 미분 등급 대수 ===
자연수 등급 [[미분 등급 대수]]의 [[모형 범주]] <math>\operatorname{DGA}_{\ge0}</math>와 자연수 등급 [[가환 미분 등급 대수]]의 [[모형 범주]] <math>\operatorname{CDGA}_{\ge0}</math>를 생각하자. 그렇다면, 망각 함자
:<math>\operatorname{CDGA}_{\ge0}\to\operatorname{DGA}_{\ge0}</math>
는 [[왼쪽 수반 함자]]를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자를 이룬다.

== 역사 ==
[[대니얼 퀼런]]이 [[모형 범주]]의 개념과 함께 1967년에 도입하였다.<ref name="Quillen">{{서적 인용 | last=Quillen | first=Daniel G. | 저자링크=대니얼 퀼런 | title=Homotopical algebra | publisher=Springer | series=Lecture Notes in Mathematics | 권= 43 | doi=10.1007/BFb0097438 | 날짜=1967 | mr=0223432 | 언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Quillen adjunction}}
* {{nlab|id=Quillen equivalence}}
* {{nlab|id=simplicial Quillen adjunction|title=Simplicial Quillen adjunction}}
* {{nlab|id=monoidal Quillen adjunction|title=Monoidal Quillen adjunction}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:범주론]]
[[분류:연속 함수]]