퀴네트 정리 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''퀴네트 정리'''({{llang|en|Künneth theorem}})는 [[곱공간]]의 [[호몰로지]] 및 [[코호몰로지]]에 대한 정리다. [[체 (수학)|체]] 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 각 성분의 (코)호몰로지의 곱이다. [[주 아이디얼 정역]] 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 [[꼬임 부분군]]을 포함하는 [[분할 완전열]]로 나타내어진다. 일반적 [[가환환]] 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 [[스펙트럼 열]]의 극한으로 계산할 수 있다.

== 정의 ==
=== 체 계수 ===
<math>X</math>와 <math>Y</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라고 하고, <math>\operatorname H_\bullet(-;K)</math>가 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>의 계수를 가진 [[특이 호몰로지]]라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
:<math>\bigoplus_{i+j=k}\operatorname H_i(X;K)\otimes_K\operatorname H_j(Y;K)\cong\operatorname H_k(X\times Y;K)</math>
이를 '''퀴네트 정리'''라고 한다. 이에 따라, [[베티 수]]에 대해서는 다음이 성립한다.
:<math>b_X(t)=\sum_it^i\dim_{\mathbb Q}\operatorname H_i(X;\mathbb Q)</math>
가 [[베티 수]]의 [[생성함수]]라고 하자. 그렇다면
:<math>b_X(t)b_Y(t)=b_{X\times Y}(t)</math>
이다.

호몰로지 대신 [[코호몰로지]]로도 퀴네트 정리를 적을 수 있다. 코호몰로지는 호몰로지와 달리 [[등급환]]을 이룬다. 코호몰로지 환을 <math>\operatorname H^\bullet</math>이라고 적으면, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname H^\bullet(X;K)\otimes_K\operatorname H^\bullet(Y;K)\cong\operatorname H^\bullet(X\times Y;K)</math>
여기서 좌변은 [[등급환]]의 <math>K</math>-[[텐서곱]]이다.

=== 주 아이디얼 정역 계수 ===
만약 계수가 체가 아닌 일반적인 [[가환환]]인 경우, 퀴네트 정리는 [[꼬임 부분군|꼬임]] 때문에 더 복잡해진다.

만약 계수가 [[주 아이디얼 정역]] <math>R</math>인 경우, '''퀴네트 정리'''에 따르면 다음과 같은 <math>R</math>-[[가군]]의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to\bigoplus_{i+j=k}\operatorname H_i(X;R)\otimes_R\operatorname H_j(Y;R)\to\operatorname H_k(X\times Y;R)\to\bigoplus_{i+j=k-1}\operatorname{Tor}^R_1(\operatorname H_i(X;R),\operatorname H_j(Y;R))\to0</math>
여기서 <math>\operatorname{Tor}</math>는 [[Tor 함자]]다. 이 짧은 완전열은 [[분할 완전열]]이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다.

마찬가지로, [[주 아이디얼 정역]] <math>R</math> 계수의 코호몰로지에 대하여, <math>R</math>-[[가군]]의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to \bigoplus_{i+j=k}\operatorname H^i(X;R)\otimes_R\operatorname H^j(Y;R)\to\operatorname H^k(X\times Y;R)\to\bigoplus_{i+j=k+1}\operatorname{Tor}^R_1(\operatorname H^i(X;R),\operatorname H^j(Y;R))\to 0</math>
여기서 <math>\operatorname{Tor}</math>는 [[Tor 함자]]다. 이 짧은 완전열 역시 [[분할 완전열]]이다.

=== 호몰로지 스펙트럼 열 ===
임의의 [[가환환]] <math>R</math> 계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 다음과 같은 '''퀴네트 [[스펙트럼 열]]'''({{llang|en|Künneth spectral sequence}}) <math>E_{\bullet\bullet}^\bullet</math>로 표현된다.<ref name="Hatcher">{{서적 인용|이름=A.|성=Hatcher|url=https://www.math.cornell.edu/~hatcher/SSAT/SSATpage.html|제목=Spectral Sequences in Algebraic Topology|언어=en}}</ref>{{rp|§3.1}} 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 [[Tor 함자]]이다.
:<math>E_{pq}^2 = \bigoplus_{q_1 + q_2 = q} \operatorname{Tor}^R_p\left(\operatorname H_{q_1}(X; R), \operatorname H_{q_2}(Y; R)\right)</math>
이 [[스펙트럼 열]]은 [[곱공간]]의 호몰로지로 수렴한다.
:<math>E_{pq}^2 \Rightarrow E_{pq}^\infty\cong\operatorname H_{p+q}(X \times Y; R)</math>

보다 일반적으로, [[위상군]] <math>G</math>가 연속적으로 오른쪽에서 [[군의 작용|작용]]하는 위상 공간 <math>X</math> 및 연속적으로 왼쪽으로 작용하는 위상 공간 <math>Y</math>가 주어졌고, <math>Y\twoheadrightarrow Y/G</math>가 <math>G</math>-[[주다발]]을 이룬다고 하자. 이 경우 <math>G</math>의 호몰로지 <math>\operatorname H_\bullet(G;R)</math>는 자연스럽게 [[환 (수학)|환]]을 이루며, 이는 <math>X</math>와 <math>Y</math>의 호몰로지에 각각 오른쪽 및 왼쪽에서 작용한다. 그렇다면 [[스펙트럼 열]],
:<math>E_{pq}^2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^{\operatorname H_\bullet(G;R)}\left(\operatorname H_{q_1}(X; R), \operatorname H_{q_2}(Y; R)\right)</math>
은 다음과 같은 <math>G</math>-[[곱공간]]의 호몰로지로 수렴한다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|§3.1}}
:<math>E_{pq}^2\Rightarrow E_{pq}^\infty\cong\operatorname H_{p+q}(X\times_GY;R)</math>
여기서
:<math>X\times_GY=\frac{X\times Y}{(x,g\cdot y)\sim(x\cdot g,y)\;\forall g\in G,x\in X,y\in Y}</math>
이다. 이는 <math>G</math>가 [[자명군]]일 경우 단순한 [[곱공간]]이 된다.

=== 코호몰로지 스펙트럼 열 ===
마찬가지로, [[코호몰로지]]의 경우 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|§3.2}}
:<math>E^{pq}_2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^R\left(\operatorname H^{q_1}(X;R),\operatorname H^{q_2}(Y;R)\right)</math>
만약 <math>X</math>와 <math>Y</math>의 코호몰로지가 각 차수에서 <math>R</math>-[[유한 생성 가군]]이라면, 이 스펙트럼 열은 <math>X\times Y</math>의 코호몰로지로 수렴한다.
:<math>E^{pq}_2\Rightarrow E^{pq}_\infty\cong\operatorname H^{p+q}(X\times Y;R)</math>

보다 일반적으로, 연속 함수 <math>f\colon X\to B</math>, <math>g\colon Y\to B</math>가 주어졌으며 <math>g</math>는 [[올뭉치]]를 이룬다고 하자. 그렇다면 <math>\operatorname H^\bullet(B;R)</math>는 <math>X</math>와 <math>Y</math>의 코호몰로지 위에 각각 오른쪽 · 왼쪽에서 작용한다. 다음 조건들을 가정하자.
* <math>B</math>는 [[단일 연결 공간]]이다.
* <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>B</math>의 코호몰로지는 각 차수에서 <math>R</math>-[[유한 생성 가군]]이다.
그렇다면 [[스펙트럼 열]]
:<math>E^{pq}_2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^{\operatorname H^\bullet(B;R)}\left(\operatorname H^{q_1}(X;R),\operatorname H^{q_2}(Y;R)\right)</math>
은 다음과 같은 [[당김 (범주론)|당김]]의 코호몰로지로 수렴한다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|§3.2}}
:<math>E^{pq}_2\Rightarrow E^{pq}_\infty\cong\operatorname H^{p+q}(X\times_B Y;R)</math>
여기서 <math>X\times_BY</math>는 범주론적 [[당김 (범주론)|당김]]
:<math>X\times_BY=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}</math>
이다. 이는 <math>B</math>가 [[한원소 공간]]일 경우 단순한 [[곱공간]]이 된다.

== 역사 ==
독일의 수학자 [[헤르만 퀴네트]]({{llang|de|Hermann Künneth}})가 1923년에 발표하였다.<ref>{{저널 인용|이름=H.|성=Künneth|제목=Über die Bettischen Zahlen einer Produktmannigfaltigkeit|저널=Mathematische Annalen|권=90|날짜=1923-03|쪽=65–85|jfm=49.0408.01|doi=10.1007/BF01456242|issn=0025-5831|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=H.|성=Künneth|제목=Über die Torsionszahlen von Produktmannigfaltigkeiten|저널=Mathematische Annalen|권=91|날짜=1924-03|쪽=125–134|doi=10.1007/BF01498384|jfm=50.0658.03|issn=0025-5831|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Künneth formula}}
* {{nlab|id=Künneth theorem}}
* {{nlab|id=Eilenberg–Moore spectral sequence }}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Kunneth_formula_for_homology|제목=Kunneth formula for homology|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Kunneth_formula_for_cohomology|제목=Kunneth formula for cohomology|웹사이트=Topospaces|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[르레-이르슈 정리]]

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 이론]]
[[분류:대수적 위상수학 정리]]