쿠런트 준대수 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''쿠런트 준대수'''(Courant準代數, {{llang|en|Courant algebroid}})는 [[리 준대수]]와 [[이차 리 대수]]의 개념의 공통적인 일반화이다.<ref>{{서적 인용|이름=Dmitry |성=Roytenberg|arxiv=math/9910078 |제목= Courant algebroids, derived brackets, and even symplectic supermanifolds|기타=박사 학위 논문 | 출판사=[[캘리포니아 대학교 버클리]]|날짜=1999 | 언어=en}}</ref>

== 정의 ==
=== 반대칭이 아닌 괄호를 통한 정의 ===
'''쿠런트 준대수'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* 벡터 다발 사상 <math>\rho \colon E\to \mathrm TM</math>, <math>s \mapsto \rho_s</math>. 이를 '''닻'''({{llang|en|anchor}})이라고 한다. 이를 <math>\mathcal C^\infty(M)</math> 위의 1차 미분 연산자로 간주하자. 
* <math>E</math> 위의 올별 비퇴화 [[대칭 쌍선형 형식]] <math>\langle-,-\rangle \colon E \otimes E \to \mathbb R\times M</math>
* 단면 위의 쌍선형 형식 <math>\delta \colon \Gamma^\infty(E) \to \Gamma^\infty(\operatorname{End}(E))</math>, <math>\phi \mapsto \delta_\phi </math>.
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
* <math>[\delta_s,\delta_t] = \delta_{\delta_st}</math>
* <math>\delta_s (ft)=(\rho_sf)t + f\delta_st</math>
* <math>[\rho_s,\rho_t] = \rho_{\delta_st}</math>
* <math>\rho_s\langle t,u\rangle = \langle \delta_st,u\rangle + \langle t,\delta_su\rangle
=\langle s,\delta_tu + \delta_ut\rangle</math>

=== 반대칭인 괄호를 통한 정의 ===
'''쿠런트 준대수'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* 1차 미분 연산 <math>D \colon \mathcal C^\infty(M) \to \Gamma^\infty(E)</math>
* <math>E</math> 위의 올별 비퇴화 [[대칭 쌍선형 형식]] <math>\langle-,-\rangle \colon E \otimes E \to \mathbb R\times M</math>
* <math>E</math> 위의 올별 반대칭 [[쌍선형 형식]] <math>[-,-] \colon E \otimes E \to \mathbb R\times M</math>
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
* <math>\langle Df,[s,t]\rangle = 
\left\langle D\langle Df,t\rangle,s\right\rangle-\left\langle D\langle Df,s\rangle,t\right\rangle
</math>
* <math>[s,ft] = f[s,t] + \langle Df,s\rangle t - \frac12 \langle s,t\rangle Df</math>
* <math>\langle Df,Dg\rangle = 0</math>
* <math>\langle D\langle s,t\rangle, u\rangle = \left\langle[u,s] + \frac12 D\langle u,s\rangle,t\right\rangle
+ \left\langle s,[u,t] + \frac12 D\langle u,t\rangle\right\rangle</math>
* <math>[[s,t],u] + [[t,u],s] + [[u,s],t] = \frac16 \left(
\langle [s,t],u\rangle
+
\langle [t,u],s\rangle
+
\langle [u,s],t\rangle
\right)</math>

이 두 정의는 서로 [[동치]]이며, 그 사이의 관계는 다음과 같다.
:<math>[s,t] = \delta_s t - \delta_t s</math>
:<math>\delta_s t = [s,t] + \frac12 D \langle s,t\rangle</math>
:<math>\langle Df,s\rangle = \rho_sf</math>

=== 디랙 구조 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 <math>2n</math>차원 쿠런트 준대수 <math>E\twoheadrightarrow M</math> 위의 내적 <math>\langle-,-\rangle</math>의 부호수가 <math>(n,n)</math>이라고 하자. 그렇다면, <math>E</math>의 '''디랙 구조''' <math>L\subseteq E</math>는 다음 조건을 만족시키는 부분 벡터 다발이다.
:<math>\dim L = n</math>
:<math>\langle s,t\rangle = 0\qquad\forall s,t\in\Gamma^\infty(L)</math>
:<math>\delta_st = [s,t]\in\Gamma^\infty(L)\qquad\forall s,t\in\Gamma^\infty(L)</math>

== 예 ==
=== 접다발과 쌍대접다발의 직합 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 및 [[닫힌 미분 형식|닫힌]] [[3차 미분 형식]]
:<math>H \in \Omega^3(M)</math>
:<math>\mathrm dH = 0</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>E = \mathrm TM \oplus \mathrm T^*M</math>
위에
:<math>\delta_{X+\xi} (Y+\eta) = [X,Y]+(\mathcal L_X\,\eta -Y\lrcorner \mathrm d\xi +X\lrcorner Y\lrcorner H)</math>
와 같은 괄호를 주자. 여기서
* <math>\mathcal L</math>은 [[벡터장]] 또는 [[1차 미분 형식]]의 [[리 미분]]이다.
* <math>\lrcorner</math>는 [[벡터장]]과 [[미분 형식]]의 [[내부곱]]이다.
그렇다면, <math>(M,E)</math>는 쿠런트 준대수의 구조를 이룬다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1707.00265|제목=Letters to A. Weinstein about Courant algebroids | 이름=Pavol | 성=Ševera | 날짜=2000| bibcode=2017arXiv170700265S|언어=en}}</ref> 여기서
* <math>\rho \colon \mathrm TM \oplus \mathrm T^*M \to \mathrm TM</math>은 사영 사상이다.
* <math>D \colon \mathcal C^\infty(M) \to \mathrm TM \oplus \mathrm T^*M</math>은 단순히 <math>f \mapsto 0 + \mathrm df</math>이다.

=== 이차 리 대수 ===
[[한원소 공간]] 위의 쿠런트 준대수의 개념은 [[이차 리 대수]]의 개념과 동치이다.

== 역사 ==
류장쥐({{zh|s=刘张炬|t=劉張炬|p=Liú Zhāngjù|hanja=유장거}}) · 앨런 와인스틴({{llang|en|Alan Weinstein}}) · 쉬핑({{zh|c=徐平|p=Xú Píng|hanja=서평}})이 1997년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Zhang-Ju|성= Liu|이름2= Alan|성2= Weinstein|이름3= Ping|성3=Xu|제목= Manin triples for Lie bialgebroids|저널= Journal of Differential Geometry |권=45 |쪽=647–574 |날짜=1997|arxiv=dg-ga/9508013|bibcode=1995dg.ga.....8013L|언어=en}}</ref> 이 개념의 이름은 미국의 수학자 시어도어 제임스 쿠런트({{llang|en|Theodore James Courant}})의 이름을 땄다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Courant algebroid}}
* {{nlab|id=standard Courant algebroid|title=Standard Courant algebroid}}
* {{nlab|id=Courant sigma-model}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:리 대수]]
[[분류:다양체 상의 구조]]