콤팩트-열린집합 위상 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 '''콤팩트-열린집합 위상'''(compact-열린集合位相, {{llang|en|compact–open topology}})은 [[연속 함수]]의 공간 위에 정의될 수 있는 [[위상 공간 (수학)|위상]]의 하나이다.

== 정의 ==
두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math> 사이의 [[연속 함수]]들의 집합을 <math>C(X,Y)</math>라 하자. 또한, 모든 [[콤팩트 집합]] <math>K\subset X</math>과 [[열린집합]] <math>U\subset Y</math>에 대하여 다음과 같은 집합을 정의하자.
:<math>V(K,U)=\{f\in C(X,Y)\colon f(K)\subset U\}\subset C(X,Y)</math>
이 때 <math>\{V(K,U)\}</math>를 [[부분 기저]]로 가지는 위상 중 가장 [[엉성한 위상]]을 <math>C(X,Y)</math> 위의 '''콤팩트-열린집합 위상'''으로 정의한다.

== 성질 ==
* <math>\{\bullet\}</math>가 한 점만을 포함하는 유일한 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 집합으로서 <math>C(\{\bullet\},X)\cong X</math>이며, 이 공간 위의 콤팩트-열린집합 위상은 <math>X</math> 고유의 위상과 일치한다.
* 만약 <math>Y</math>가 [[콜모고로프 공간]]/[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]/[[하우스도르프 공간]]/[[정규 공간]]/[[티호노프 공간]]이라면, <math>C(X,Y)</math>도 마찬가지로 [[콜모고로프 공간]]/[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]/[[하우스도르프 공간]]/[[정규 공간]]/[[티호노프 공간]]이다.
* 만약 <math>X</math>가 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[제2 가산 공간]]이며, <math>Y</math>가 [[제2 가산 공간]]이라면, <math>C(X,Y)</math> 역시 [[제2 가산 공간]]이다. 보다 일반적으로, 만약 <math>X</math>가 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라면, 다음 부등식이 성립한다.<ref name="Engelking">{{서적 인용
|이름1=Ryszard
|성1=Engelking
|제목=General topology
|언어=en
|판=개정 완결
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=6
|출판사=Heldermann Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}</ref>{{rp|162, Theorem 3.4.16}}
*:<math>\operatorname{wt}(C(X,Y))\le\max\{\aleph_0,\operatorname{wt}(X),\operatorname{wt}(Y)\}</math>
* 만약 <math>X</math>가 [[콤팩트 공간]]이고 <math>(Y,d)</math>가 [[거리 공간]]이라면, <math>C(X,Y)</math> 위의 콤팩트-열린집합 위상은 [[균등 수렴 위상]]과 같다. 또한, 이 위상은 다음과 같은 [[거리 함수]]로부터 주어진다.
*:<math>d(f,g)=\sup_{x\in X}d(f(x),g(x))</math>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Compact-open topology}}
* {{매스월드|id=Compact-OpenTopology|title=Compact-open topology}}
* {{nlab|id=compact-open topology|title=Compact-open topology}}

[[분류:일반위상수학]]