콤팩트성 정리 문서 원본 보기

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[[수리논리학]]에서 '''콤팩트성 정리'''(compact性定理, {{llang|en|compactness theorem}})는 만약 어떤 [[1차 논리]] 이론의 모든 [[유한 집합|유한 부분 집합]]이 만족 가능하다면, 이론 전체가 만족 가능하다는 정리다. [[1차 논리]]의 특징이며, [[고차 논리]]나 [[무한 논리]]에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

== 정의 ==
'''콤팩트성 정리'''에 따르면, 부호수 <math>\sigma</math>의 (등호를 포함하는) [[1차 논리]] 이론 <math>T</math>에 대하여, 다음이 서로 동치이다.
* (무모순성) <math>T\nvdash\bot</math>
* (만족 가능성) <math>M\models T</math>인 <math>\sigma</math>-[[구조 (논리학)|구조]] <math>M</math>이 존재한다.
* (가산 만족 가능성) <math>M\models T</math>인 [[가산 집합|가산]] <math>\sigma</math>-[[구조 (논리학)|구조]] <math>M</math>이 존재한다.
* (국소 무모순성) <math>T</math>의 모든 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]] <math>S\subset T</math>에 대하여, <math>S\nvdash\bot</math>
* (국소 만족 가능성) <math>T</math>의 모든 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]] <math>S\subset T</math>에 대하여, <math>M_S\models S</math>인 <math>\sigma</math>-[[구조 (논리학)|구조]] <math>M_S</math>가 존재한다.
* (국소 가산 만족 가능성) <math>T</math>의 모든 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]] <math>S\subset T</math>에 대하여, <math>M\models S</math>인 [[가산 집합|가산]] <math>\sigma</math>-[[구조 (논리학)|구조]] <math>M_S</math>가 존재한다.

== 응용 ==
콤팩트성 정리를 이용하여, 어떤 [[1차 논리]]적 명제가 [[체의 표수|표수]] 0인 임의의 [[체 (수학)|체]]에 대해 성립한다면, 상수 p가 존재해서 표수가 p보다 큰 임의의 체에 대해 이 명제가 성립함을 알 수 있다.

증명은 다음과 같다. φ가 그 명제일 때, 가정에 따라 그 부정 ¬φ와 체의 공리들 및 무한개의 명제들 1+1≠0, 1+1+1≠0, …로 이루어진 집합의 모형은 존재하지 않는다. 그러므로 그 집합의 어떤 유한 부분집합이 모형을 갖지 않으며, 이는 달리 말하면 표수가 몇몇 유한한 자연수들 중 하나가 아니면서 ¬φ가 성립하는 체가 존재하지 않는다는 뜻이므로 증명이 끝난다.

[[명제 논리]]의 콤팩트성 정리는 [[불 대수]]의 [[스톤 쌍대성]]에 따라, [[스톤 공간]]에 대한 [[티호노프 정리]]([[콤팩트 공간]]의 임의의 곱이 여전히 콤팩트 공간)와 동치이다.<ref>{{서적 인용 | 성=Truss | 이름=John K. | 제목=Foundations of Mathematical Analysis | url=https://archive.org/details/foundationsofmat0000trus | 연도=1997 | 출판사=Oxford University Press | isbn=0198533756 }}
</ref> "콤팩트성 정리"라는 이름은 이로부터 기인하였다.

== 역사 ==
[[쿠르트 괴델]]이 가산 부호수에 대한 콤팩트성 정리를 1930년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Kurt|성=Gödel|저자링크=쿠르트 괴델|제목=Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Functionenkalküls|저널=Monatshefte für Mathematik und Physik|권=37|호=1|쪽=349–360|doi=10.1007/BF01696781|날짜=1930|issn=0026-9255|언어=de}}</ref> [[아나톨리 말체프]]가 일반적인 경우를 1936년에 증명하였다.<ref>[[Robert Lawson Vaught|Vaught, Robert L.]]: Alfred Tarski's work in model theory. J. Symbolic Logic 51 (1986), no. 4, 869–882</ref><ref>[[Abraham Robinson|Robinson, A.]]: Non-standard analysis. North-Holland Publishing Co., Amsterdam 1966. page 48.</ref>

== 같이 보기 ==
* [[괴델의 완전성 정리]]
* [[뢰벤하임-스콜렘 정리]]
* [[약콤팩트 기수]]
* [[강콤팩트 기수]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용| last=Dawson | first=John W. junior | title=The compactness of first-order logic: from Gödel to Lindström | journal=History and Philosophy of Logic | 날짜=1993 | volume=14 | pages=15–37 | doi=10.1080/01445349308837208 | issn=0144-5340 | zbl=0794.03001 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/04/10/the-completeness-and-compactness-theorems-of-first-order-logic/|이름=Terry|성=Tao|저자링크=테런스 타오|제목=
The completeness and compactness theorems of first-order logic|날짜=2009-04-10|웹사이트=What’s New|언어=en}}

[[분류:모형 이론]]
[[분류:수학기초론 정리]]