콜모고로프 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{분리공리}}
[[일반위상수학]]에서 '''콜모고로프 공간'''(Колмогоров空間, {{llang|en|Kolmogorov space}}) 또는 '''T<sub>0</sub> 공간'''({{llang|en|T<sub>0</sub>-space}})은 서로 다른 두 점을 [[열린집합]]으로 구별할 수 있는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 가장 약한 형태의 [[분리공리]]를 만족시킨다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다면 두 점이 '''위상수학적으로 구분 불가능'''(位相數學的-區分不可能, {{llang|en|topologically indistinguishable}})하다고 한다.
* 모든 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여, <math>x\in U</math>라면 <math>y\in U</math>이다.
* 모든 [[닫힌집합]] <math>C\subseteq X</math>에 대하여, <math>x\in C</math>라면 <math>y\in C</math>이다.
이는 위상 공간 위의 [[동치 관계]]를 이룬다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>X</math>를 '''콜모고로프 공간'''이라고 한다.
* <math>X</math>의 위상수학적으로 구분 불가능한 두 점은 항상 같다.
* <math>X</math>는 [[시에르핀스키 공간]] <math>S</math>의 [[곱공간]] <math>S^{\operatorname{Open}(X)}</math>의 [[부분집합]]과 [[위상동형]]이다.<ref name="Engelking">{{서적 인용
|이름1=Ryszard
|성1=Engelking
|제목=General topology
|언어=en
|판=개정 완결
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=6
|출판사=Heldermann Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}</ref>{{rp|84, Theorem 2.3.26}} 여기서 <math>\operatorname{Open}(X)</math>는 <math>X</math>의 [[열린집합]]들의 집합이다.

위상 공간 <math>X</math> 위에, 위상수학적 구분 불가능성에 대한 [[몫공간]] <math>X/{\sim}</math>을 취할 수 있다. 이를 <math>X</math>의 '''콜모고로프 몫공간'''(Колмогоров-空間, {{llang|en|Kolmogorov quotient}})이라고 하며, 이는 항상 콜모고로프 공간이다. [[범주론]]적으로, 콜모고로프 공간들의 범주 <math>\operatorname{Kolm}</math>는 모든 위상 공간들의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>의 [[반사 부분 범주]]이다. 즉, 포함 [[함자 (수학)|함자]] <math>I\colon\operatorname{Kolm}\to\operatorname{Top}</math>의 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>Q\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Kolm}</math>
:<math>Q\dashv I</math>
가 존재하며, <math>Q</math>는 주어진 위상 공간을 그 콜모고로프 몫공간에 대응시킨다.

== 성질 ==
모든 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]은 콜모고로프 공간이다. 모든 [[차분한 공간]]은 콜모고로프 공간이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]  ⊋ 콜모고로프 공간  ⊋ [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] ∪ [[차분한 공간]]

콜모고로프 공간의 부분 공간은 항상 콜모고로프 공간이다. 그러나 콜모고로프 공간의 [[몫공간]]은 콜모고로프 공간이 아닐 수 있다.

== 예 ==
=== 콜모고로프 공간이 아닌 위상 공간 ===
두 개 이상의 원소를 갖는 [[비이산 공간]]은 콜모고로프 공간이 아니며, 이 경우 콜모고로프 몫공간은 [[한원소 공간]]이다.

실수선 위의 제곱 적분 가능 실수값 함수들의 집합 <math>\mathcal L^2(\mathbb R;\mathbb R)</math>에 [[반노름]]
:<math>\|f\|=\int_{\mathbb R}|f|^2\,dx</math>
을 주자. 이는 콜모고로프 공간이 아니다. 예를 들어, [[영집합]] <math>N</math> 위의 [[지시 함수]] <math>\chi_N</math>의 경우
:<math>\|\chi_N\|=0</math>
이므로, 서로 구분할 수 없다. 이 경우 콜모고로프 몫공간은 [[힐베르트 공간]] <math>L^2(\mathbb R;\mathbb R)</math>이다.

=== T<sub>1</sub> 공간이 아닌 콜모고로프 공간 ===
T<sub>1</sub> 공간이 아닌 콜모고로프 공간의 가장 간단한 예는 [[시에르핀스키 공간]]이다. 보다 일반적으로, [[가환환]]의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]은 일반적으로 T<sub>1</sub>공간이 아니지만, 항상 콜모고로프 공간이자 [[차분한 공간]]이다.

[[스콧 위상]]을 갖춘 [[부분 순서 집합]]은 항상 콜모고로프 공간이지만, 일반적으로 (비교 가능한 두 원소가 존재한다면) T<sub>1</sub> 공간이 아니다.

== 같이 보기 ==
* [[차분한 공간]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
|성=Querenburg
|이름=Boto von
|제목=Mengentheoretische Topologie
|언어=de
|판=3차 개정 증보판
|총서=Springer-Lehrbuch
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2001
|isbn=978-3-540-67790-1
|issn=0937-7433
|doi=10.1007/978-3-642-56860-2
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Kolmogorov axiom}}
* {{eom|title=Kolmogorov space}}
* {{매스월드|id=T0-Space|title=T_0-space}}
* {{매스월드|id=T0-SeparationAxiom|title=T_0-separation axiom}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Kolmogorov_Space|제목=Definition: Kolmogorov space|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_T0_Space|제목=Equivalence of definitions of T0 space|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:위상 공간의 성질]]