콜모고로프-아르놀트-모저 정리 문서 원본 보기

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[[해밀턴 역학]]에서 '''콜모고로프-아르놀트-모저 정리'''(Колмогоров-Арнольд-Moser定理, {{llang|en|Kolmogorov–Arnold–Moser theorem}}, 약자 KAM)는 [[적분가능계]]에 충분히 작은 [[섭동 이론|섭동항]]을 추가하였을 때, 거의 모든 준주기적 해들이 살아남는다는 정리이다.

== 정의 ==
<math>2n</math>차원 [[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math> 위의 [[적분가능계]]의 작용-각도 변수가 <math>(I^i,\theta_i)</math>라고 하자 (<math>I^i\in\mathbb R</math>, <math>\theta_i\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z</math>). 즉, 해밀토니언 함수 <math>H_0(I)</math>는 작용 변수에만 의존하고, 각도 변수에 의존하지 않는다. 이 계의 [[운동 방정식]]은
:<math>\dot I^i=0</math>
:<math>\dot\theta_i=\omega_{ij}I^j</math>
이며, 따라서 <math>I^i</math>들은 [[운동 상수]]이며, 계의 <math>\theta_i</math>에 대한 주기는 <math>1/(2\pi\omega_{ij}I^j)</math>이다.  만약 <math>I^i</math>들의 비가 [[유리수]]라면 이는 [[해밀턴 방정식]]의 주기적 해를 이루며, [[무리수]]라면 이는 해밀턴 방정식의 준주기적({{llang|en|quasiperiodic}}) 해를 이룬다.
각 <math>(I^1,\dots,I^n)</math>에 대응하는 <math>n</math>차원 [[원환면]]을 '''불변 원환면'''({{llang|en|invariant torus}})이라고 한다.

이제, 해밀토니언 함수에 미세한 적분 불가능 섭동을 주자.
:<math>H(I,\theta)=H_0(I)+V(I,\theta)</math>
그렇다면, 만약 <math>V</math>가 충분히 작다면 불변 원환면들이 그대로 유지되는지 물을 수 있다. 콜모고로프-아르놀트-모저 정리는 이 문제에 대한 해답을 제공한다.

구체적으로, 임의의 벡터 <math>\mathbf v\in\mathbb R^n</math>에 대하여 다음 조건을 만족시키는 상수 <math>a,b>0</math>가 존재한다면, <math>v</math>가 '''디오판토스 벡터'''({{llang|en|Diophantine vector}})라고 하자.
:<math>\forall\mathbf u\in\mathbb Z^n\setminus\{0\}\colon|\mathbf u\cdot\mathbf v|\ge a\left(|u_1|+\cdots+|u_n|\right)^{-b}</math>
[[르베그 측도]]에 대하여 [[거의 어디서나|거의 모든]] 벡터가 디오판토스 벡터임을 보일 수 있다.

'''콜모고로프-아르놀트-모저 정리'''에 따르면, 만약 임의의 <math>(I^0,\dots,I^n)\in\mathbb R^n</math>에 대하여
* <math>\omega_{ij}I^j</math>가 디오판토스 벡터이며,
* [[헤세 행렬]] <math>\partial^2H_0/\partial I^i\partial I^j</math>이 [[가역 행렬]]이라면,
충분히 작은 <math>V</math>에 대하여, 섭동된 해밀토니언 <math>H=H_0+V</math>에 대하여 주기가 <math>\omega_{ij}I^j</math>인 준주기적 해가 존재한다. (만약 <math>H_0</math>에 대한 해가 주기적이더라도, <math>H</math>에 대한 해는 일반적으로 준주기적이다.)

여기서 "충분히 작은 <math>V</math>에 대하여"는 구체적으로 다음과 같은 뜻이다.
:<math>V\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R</math>
:<math>V\colon(I^i,\theta_i)\mapsto V(I,\theta)</math>
가 <math>\{(I^1,\dots,I^n)\}\times\mathbb R^n</math>의 복소수 닫힌 [[근방]]
:<math>\{(I^1,\dots,I^n)\}\times\mathbb R^n\subset U\subset\bar U\subset\mathbb C^n\times\mathbb C^n</math>
으로 [[해석적 연속]]될 수 있다고 하고,
:<math>\|V\|=\sup_{x\in\bar U}|V(x)|</math>
라고 할 때, <math>\|V\|<\epsilon(a,b)</math>이라면 <math>(a,b)</math>-디오판토스 벡터에 대하여 준주기적인 해가 존재하게 되는 양의 실수 <math>\epsilon(a,b)\in\mathbb R^+</math>이 존재한다.  (이 실수는 디오판토스 벡터의 정의에서의 상수 <math>(a,b)</math>에 의존한다.)

== 역사 ==
[[안드레이 콜모고로프]]<ref>.N. Kolmogorov.  On the Conservation of Conditionally Periodic Motions under Small Perturbation of the Hamiltonian. Dokl. Akad. Nauk SSR, 98:527–530, 1954</ref> · [[블라디미르 아르놀트]]<ref>Arnol'd, V. I. "Proof of a Theorem of A. N. Kolmogorov on the Preservation of Conditionally Periodic Motions under a Small Perturbation of the Hamiltonian." Uspehi Mat. Nauk 18, 13-40, 1963</ref> · [[위르겐 모저]]<ref>Moser, J. "On Invariant Curves of Area-Preserving Mappings of an Annulus." Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II, 1-20, 1962</ref> 가 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[에르고딕 이론]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | first=Vladimir Igorevich|저자링크=블라디미르 아르놀트 | last=Arnold | title=Mathematical Methods of Classical Mechanics | publisher=Springer | year=1989 | isbn=0-387-96890-3 | 언어=en}}
* {{저널 인용|doi= 10.1007/BF02834611|제목=Kolmogorov-Arnold-Moser theorem: Can planetary motion be stable?|이름= Govindan|성=Rangarajan|언어=en|날짜=1998-04|권=3|호=4|쪽=43–53|issn=0971-8044 | url=http://repository.ias.ac.in/73303/}}
* {{서적 인용
 | 이름 = Jürgen |성 = Pöschel
 | 장 = A lecture on the classical KAM theorem
 | 제목=Smooth ergodic theory and its applications
 | 총서 = Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
 | volume = 69 | year = 2001 | pages = 707–732
 | 출판사=American Mathematical Society
 | 장url = http://www.poschel.de/pbl/kam-1.pdf | 언어=en | url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=PSPUM-69 | isbn= 978-0-8218-2682-9
 }}
* {{서적 인용|이름=Rafael|성=de la Llave|장url=http://www.ma.utexas.edu/mp_arc-bin/mpa?yn=01-29 | 장=A tutorial on KAM theory|
 | 제목=Smooth ergodic theory and its applications
 | 총서 = Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
 | volume = 69 | year = 2001 | pages = 707–732
 | 출판사=American Mathematical Society | 언어=en | url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=PSPUM-69 | isbn= 978-0-8218-2682-9}}
* {{저널 인용|doi=10.4249/scholarpedia.2123|저널=Scholarpedia|제목=Kolmogorov-Arnold-Moser Theory|권=5|호=9|쪽=2123|이름=Luigi|성=Cherchia|이름2=John N.|성2=Mather|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=H. Scott|성=Dumas|doi=10.1142/8955|제목=The KAM story: a friendly introduction to the content, history, and significance of classical Kolmogorov–Arnold–Moser Theory|날짜= 2014|출판사= World Scientific Publishing|isbn= 978-981-4556-58-3|언어=en}}
* {{서적 인용|last=Wayne|first=C. Eugene|장=An introduction to KAM theory|제목=Dynamical systems and probabilistic methods in partial differential equations|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=LAM-31|date=1996|pages=29|장url=http://math.bu.edu/people/cew/preprints/introkam.pdf|총서=Lectures in Applied Mathematics|권=31|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-0368-4|언어=en}}
* {{저널 인용|doi=10.1090/S0273-0979-04-01009-2 |제목=KAM theory: the legacy of Kolmogorov’s 1954 paper|이름=Henk W.|성=Broer|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|issn=0273-0979|권=41|호=4|날짜=2004|쪽=507–521|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드 |id=Kolmogorov-Arnold-MoserTheorem|title=Kolmogorov-Arnold-Moser theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:고전역학]]