콜먼-맨듈라 정리 문서 원본 보기

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[[양자장론]]에서 '''콜먼-맨듈라 정리'''({{llang|en|Coleman–Mandula theorem}})는 대부분의 이론에서는 [[각운동량]]과 [[4차원 운동량]]을 제외한 모든 연속적 보존량은 [[로런츠 변환|로런츠]] 스칼라라는 정리다.<ref name="ColemanMandula"/><ref>{{저널 인용|제목=Generalization of the Coleman–Mandula theorem to higher dimension|이름=Oskar|성=Pelc|공저자=L. P. Horwitz|bibcode=1997JMP....38..139P|저널=Journal of Mathematical Physics|날짜=1997-01|권=38|호=1|쪽=139–172|doi=10.1063/1.531846|언어=en}}</ref> 여기서 "대부분의 이론"이란 [[질량 간극]]을 가지고 상호작용을 하는 로런츠 공변 이론이다.

== 역사 ==
[[시드니 콜먼]]과 [[제프리 맨듈라]](Jeffrey Mandula)가 [[1967년]]에 증명하였다.<ref name="ColemanMandula">{{저널 인용|first=Sidney|last=Coleman|authorlink=시드니 콜먼|coauthors=Jeffrey Mandula |제목=All possible symmetries of the ''S'' matrix |저널=Physical Review |date=1967-07|권=159|호=6|쪽=1251–1256 | doi=10.1103/PhysRev.159.1251|bibcode=1967PhRv..159.1251C|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
다음과 같은 조건을 만족하는 물리 이론을 생각하자.
# [[산란 행렬]]이 국소적이고, 상호작용을 지니고, 4차원 시공에서 [[푸앵카레 대칭]]을 따른다.
# 주어진 질량을 가진 입자는 유한개다. (즉 같은 질량을 지닌 무한개의 입자 종이 있을 수 없다.)
# 진공과 1입자 상태 사이에 [[질량 간극]]이 있다.
콜먼-맨듈라 정리에 따르면, 위 조건을 만족하는 이론은 다음과 같은 대칭만을 지닐 수 있다.
이 조건을 만족하는 이론의 [[산란 행렬]]의 (보존적인, 즉 [[초대칭]]을 포함하지 않는) 대칭군은 국소적으로 다음과 같다.
:<math>\mathrm{ISO}(1,3)\times B_1\times\dots\times B_N</math>
여기서 <math>N</math>은 유한하고, 또 <math>B_i</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]]이다.

=== 증명 ===
콜먼-맨듈라 정리의 증명은 대략적으로 다음과 같다. 만약 [[푸앵카레 대칭]] <math>\operatorname{ISO}(1,3)</math>이 보다 큰 대칭 <math>G</math>에 자명하지 않게 포함된다고 하자. 이 경우, [[뇌터 정리]]에 따라서 2차 이상의 텐서 보존량이 존재하게 된다. (만약 <math>G</math>가 <math>G=\operatorname{ISO}(1,3)\times G_\text{int}</math>의 꼴로 자명하다면, 모든 추가 보존량은 로런츠 스칼라이다.)

그러나 이러한 고차 텐서 보존량은 성분이 너무 많아, 일반적으로 존재할 수 없다. 예를 들어, 2차 텐서 보존량 <math>Q_{\mu\nu}</math>가 있다고 하자. [[질량 간극]]이 존재하므로, 가장 가벼운 입자는 양의 질량을 가진다. 편의상 이 입자가 스칼라 입자라고 하자. 이 입자의 [[4차원 운동량]]이 <math>p_\mu</math>라고 하면, [[푸앵카레 대칭]]에 따라서 <math>Q_{\mu\nu}</math>는 다음과 같은 꼴이어야만 한다.
:<math>Q_{\mu\nu}=Q_1p_\mu p_\nu+Q_2g_{\mu\nu}</math>
여기서 <math>Q_2g_{\mu\nu}</math>는 상수 텐서인 <math>g_{\mu\nu}</math>에만 의존하므로, <math>Q-Q_2g_{\mu\nu}</math> 또한 보존돼야 한다. 즉, 편의상 <math>Q_2=0</math>으로 놓을 수 있다.

그렇다면 운동량 보존과 <math>Q</math> 보존에 의하여, 산란 <math>p_1,p_2\to p_3,p_4</math>에서 다음 두 방정식이 성립하여야 한다.
:<math>(p^1+p^2)_\mu=(p^3+p^4)_\mu</math>
:<math>p^1_\mu p^1_\nu+p^2_\mu p^2_\nu=p^3_\mu p^3_\nu+p^4_\mu p^4_\nu</math>
여기서 변수는 <math>4\times 4</math>개이지만, 방정식의 수는 <math>4+4\times 4</math>개이다. 즉, 일반적으로 해는
:<math>p_1=p_3,\qquad p_2=p_4</math>
또는
:<math>p_1=p_4,\qquad p_2=p_3</math>
밖에 없다. 따라서 2→2 [[산란 행렬]]은 자명하다. 모든 산란은 적절한 운동량 극한에서 2→2 산란들의 합성으로 수렴하므로, 산란 행렬의 [[해석함수|해석적]] 성질을 사용하여 모든 산란 행렬이 자명하다는 결론을 내릴 수 있다.

== 예외 ==
이 정리는 [[산란 행렬]]의 대칭만을 다루기 때문에 [[자발 대칭 깨짐|자발적으로 깨진]] 대칭은 다루지 않는다. 또한 [[질량 간극]]이 없으면 이론에서 다른 보존량을 가질 수 있다. 예를 들어, [[양자 전기역학]]에서는 벡터와 텐서 보존량이 존재한다 ([[인프라입자]]). 또한 이 정리는 ([[리 군]]이 아니라) 리 대수로 나타내어지는 대칭을 다루기 때문에, 이산대칭(discrete symmetry) 따위는 다루지 않는다. 또한 [[초대칭]]은 [[리 대수]]가 아니라 [[리 초대수]]로 나타내어지기 때문에 콜먼-맨듈라 정리에 구속받지 않는다. ([[초대칭]] 이론의 경우에는 대신 [[하크-워푸샨스키-조니우스 정리]]를 쓴다.) [[사인-고든 모형]]과 같은, [[양자군]] 대칭을 가진 이론의 경우도, [[리 대수]]가 아니기 때문에 예외다.

== 같이 보기 ==
* [[초대칭 대수]]
== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:초대칭]]
[[분류:물리학 정리]]