콘의 기약성 기준 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 , '''콘의 기약성 기준'''({{llang|en|Cohn’s irreducibility criterion}})은 어떤 [[다항식]]이 [[기약다항식|기약]]일 조건을 제공하는 [[정리]]이다.

== 공식화 ==
만약 10 이상의 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math> 가 [[십진법]] 전개에 의해 <math>p=a_m10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\dots+a_110+a_0</math> (<math>0\leq a_i\leq 9</math>) 와 같이 쓰인다면, 다음 다항식

:<math>f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\dots+a_1x+a_0</math>

은 [[유리수]] 상에서 기약이다.

=== 일반화 ===
이상의 정리에서 굳이 십진법 전개에 한정할 필요는 없다. 즉, 임의의 자연수 k에 대하여 k 이상의 어떤 소수가 k-진 전개에 의해 표현될 경우 그 각 자릿수를 계수로 하는 다항식은 유리수 상에서 기약이다.<ref>Brillhart, John; Michael Filaseta, Andrew Odlyzko (1981). "On an irreducibility theorem of A. Cohn". ''Canadian Journal of Mathematics'' '''33''' (5): 1055–1059. doi:[http://dx.doi.org/10.4153%2FCJM-1981-080-0 10.4153/CJM-1981-080-0].</ref>

역으로, 만약 어떤 정수계수다항식 p(x)가 계수들의 [[최대공약수]]가 1인 기약다항식이라면 적당한 정수 n이 존재해서 p(n)이 소수가 되는지를 생각할 수 있다. 이는 곧 유명한 [[수론]]의 미해결 문제인 [[부냐콥스키 추측]]으로 이어진다.

== 역사 ==
아서 콘({{llang|en|Arthur Cohn}})이 증명하였다. 콘은 잘 알려지지 않은 수학자이지만,  [[이사이 슈어]]의 지도 아래 [[베를린 훔볼트 대학교]]에서 1921년에 박사 학위를 수여받았다.<ref>{{수학계보|id=17963|title=Arthur Cohn}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[아이젠슈타인 기준]]
* [[힐베르트의 기약성 정리]]
* [[부냐콥스키 추측]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6194 A. 콘의 기약성 기준 - 플래닛매스]

[[분류:가환대수학]]
[[분류:다항식]]
[[분류:대수학 정리]]