콘웨이군 (수학) 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''콘웨이군'''({{Llang|en|Conway group}})은 [[존 호턴 콘웨이]]가 도입한 [[산재군]] [[콘웨이 군 Co1|Co<sub>1</sub>]], [[콘웨이 군 Co2|Co<sub>2</sub>]], [[콘웨이 군 Co3|Co<sub>3</sub>]] 및 이와 관련된 유한군 [[리치 격자|Co<sub>0</sub>]]이다.

콘웨이 군 중 가장 큰 '''Co<sub>0</sub>'''는 덧셈 및 [[내적 공간|내적]]에 대한 [[리치 격자]] Λ의 [[자기동형군]]으로, [[위수 (수학)|위수]] {{Val|8,315,553,613,086,720,000|fmt=commas}}을 갖고, [[단순군]]이 아니다.

단순군 '''Co<sub>1</sub>'''은 Co<sub>0</sub>를 스칼라 행렬 ±1로 구성된 [[중심 (대수학)|중심]]에 의한 몫군으로 정의되고, 위수 {{val|4,157,776,806,543,360,000|fmt=commas}}를 갖는다.

리치 격자의 '''내적'''은 두 벡터의 [[스칼라곱]]의 1/8로 정의되고, 정수값을 갖는다. 벡터의 '''제곱 노름'''은 자신과의 내적이며 항상 짝수이다. 리치 격자의 벡터에 대해 그 제곱 노름의 절반을 벡터의 '''유형'''이라고 한다. 콘웨이 군의 부분군은 종종 관련된 고정점의 유형을 참조하여 이름이 붙는다. 리치 격자에는 유형 1의 벡터가 없다.

'''[[콘웨이 그룹 CO2|Co<sub>2</sub>]]''' (위수 {{Val|42,305,421,312,000|fmt=commas}}) 및 '''[[콘웨이 그룹 Co3|Co<sub>3</sub>]]''' (위수 {{Val|495,766,656,000|fmt=commas}})은 각각 유형 2와 유형 3의 격자 벡터를 고정하는 리치 격자 Λ의 자기동형으로 구성된다. 스칼라 &#x2212;1은 영벡터가 아닌 벡터를 고정하지 않으므로 이 두 군은 Co<sub>1</sub>의 부분군과 동형이다.

== 역사 ==
{{하버드 인용 본문|톰프슨|1983}}은 [[존 리치]]가 1964년경 큰 차원 유클리드 공간에서의 조밀한 구 채우기 문제를 연구한 방법에 대해 설명한다. 리치의 발견 중 하나는 훗날 리치 격자라고 불리게 되는 격자를 통한 24차원의 구 채우기였다. 리치는 리치 격자의 대칭군이 흥미로운 단순군에 포함되어 있는지 궁금해했지만, 군론에 조예가 깊은 이의 도움이 필요함을 느꼈다. 다른 수학자들은 이미 자신이 몰두하고 있는 주제가 있었기에 리치가 도움을 얻는 것은 쉽지 않았다. [[존 호턴 콘웨이]]가 같이 문제에 대해 궁리하였다. [[존 그리그스 톰프슨]]은 군의 위수가 주어진다면 흥미로울 것이라고 말하였다. 콘웨이는 문제에 몇 달 혹은 몇 년을 써야 할 것으로 예측했지만, 몇 번의 회의를 통해 의외로 빠르게 결과를 얻을 수 있었다.

{{하버드 인용 본문|Witt|1998}}은 그가 리치 격자를 1940년에 발견하였다고 말했고, 그것의 자기동형군 Co<sub>0</sub>의 위수를 계산하였다고 암시했다.

== 부분 격자 군 ==
콘웨이와 톰프슨은 회의 {{하버드 인용|Brauer|Sah|1969}}에서 설명된 4개의 산재군이 Co<sub>0</sub>의 부분군 또는 부분군의 몫과 동형임을 발견했다.

콘웨이는 점을 접두사로 붙인 점과 부분공간의 안정자에 대한 표기법을 사용했다. Co<sub>0</sub> 및 Co<sub>1</sub>인 '''.0''' 및 '''.1'''은 예외이다. 정수 {{개행 금지|'''n''' ≥ 2}}에 대해 '''.n'''은 리치 격자에서 유형 '''n'''인 점의 안정자를 나타낸다.

콘웨이는 정점을 원점으로 하는 삼각형으로 정의된 평면의 안정자를 명명했다. '''.hkl''' 을 '''h''', '''k''' 및 '''l''' 유형의 모서리(정점의 차이)가 있는 삼각형의 점별 안정자라고 하자. 이러한 삼각형은 '''h-k-l 삼각형'''이라고 한다. 가장 단순한 경우에 Co<sub>0</sub>는 문제에서의 점 또는 삼각형에 전이적이고 안정자 군은 켤레의 차이를 무시하고 정의된다.

콘웨이는 '''.322'''으로 '''[[매클로플린 군]]''' McL(위수 {{Val|898128000|fmt=commas}})을, '''.332'''으로 '''[[히그먼-심스 군|히그만-심즈 군]]''' HS(위수 {{Val|44352000|fmt=commas}})를 식별했다.

다음은 일부 부분 격자 군의 표<ref>Conway & Sloane (1999), p. 291</ref><ref>Griess (1998), p. 126</ref>이다.
{| class="wikitable" style="margin:1em auto;"
!이름
! 위수
! 구조
! 정점의 예
|-
| •2
| 2<sup>18</sup> 3<sup>6</sup> 5<sup>3</sup> 7 11 23
| Co<sub>2</sub>
| (−3, 1<sup>23</sup>)
|-
| •3
| 2<sup>10</sup> 3<sup>7</sup> 5<sup>3</sup> 7 11 23
| Co<sub>3</sub>
| (5, 1<sup>23</sup>)
|-
| •4
| 2<sup>18</sup> 3<sup>2</sup> 5 7 11 23
| 2<sup>11</sup>:M <sub>23</sub>
| (8, 0<sup>23</sup>)
|-
| •222
| 2<sup>15</sup> 3<sup>6</sup> 5 7 11
| PSU<sub>6</sub>(2) ≈ [[피셔 군 (수학)|Fi<sub>21</sub>]]
| (4, −4, 0<sup>22</sup>), (0, −4, 4, 0<sup>21</sup>)
|-
| •322
| 2<sup>7</sup> 3<sup>6</sup> 5<sup>3</sup> 7 11
| McL
| (5, 1<sup>23</sup> ), (4, 4, 0<sup>22</sup> )
|-
| •332
| 2<sup>9</sup> 3<sup>2</sup> 5<sup>3</sup> 7 11
| HS
| (5, 1<sup>23</sup>), (4, −4, 0<sup>22</sup>)
|-
| •333
| 2<sup>4</sup> 3<sup>7</sup> 5 11
| 3<sup>5</sup>:M<sub>11</sub>
| (5, 1<sup>23</sup>), (0, 2<sup>12</sup>, 0<sup>11</sup>)
|-
| •422
| 2<sup>17</sup> 3<sup>2</sup> 5 7 11
| 2<sup>10</sup>:M<sub>22</sub>
| (8, 0<sup>23</sup>), (4, 4, 0<sup>22</sup>)
|-
| •432
| 2<sup>7</sup> 3<sup>2</sup> 5 7 11 23
| M<sub>23</sub>
| (8, 0<sup>23</sup>), (5, 1<sup>23</sup>)
|-
| •433
| 2<sup>10</sup> 3<sup>2</sup> 5 7
| 2<sup>4</sup>.A<sub>8</sub>
| (8, 0<sup>23</sup>), (4, 2<sup>7</sup>, −2, 0<sup>15</sup>)
|-
| •442
| 2<sup>12</sup> 3<sup>2</sup> 5 7
| 2<sup>1+8</sup>.A<sub>7</sub>
| (8, 0<sup>23</sup>), (6, −2<sup>7</sup>, 0<sup>16</sup>)
|-
| •443
| 2<sup>7</sup> 3<sup>2</sup> 5 7
| M<sub>21</sub>:2 ≈ PSL<sub>3</sub>(4):2
| (8, 0<sup>23</sup>), (5, −3, −3, 1<sup>21</sup>)
|}

== 다른 두 개의 산재군 ==
두 개의 부분 산재군은 리치 격자 구조의 안정자의 몫으로 정의할 수 있다. '''R'''<sup>24</sup>를 '''C'''<sup>12</sup>로, Λ를 <math>\mathbf{Z}\left[e^{\frac{2}{3}\pi i}\right]^{12}</math>로 식별하면, 결과적인 자기동형군(즉, [[실수 벡터 공간의 복잡한 구조|복소 구조]]를 보존하는 리치 격자의 자기동형군)은 복소 스칼라 행렬의 6개 요소 그룹으로 나눌 때 '''[[스즈키 산재군]]''' Suz(위수 {{Val|448345497600|fmt=commas}})이 나타난다. 스즈키 산재군은 1968년 [[스즈키 미치오]]에 의해 발견되었다.

유사한 구성을 통해 '''[[Hall-Janko 그룹|Hall-Janko 군]]''' J<sub>2</sub> (위수 {{Val|604800|fmt=commas}})는 ±1 스칼라 군에 의한 Λ의 [[사원수]] 자기동형군의 몫으로 얻는다.

위에 설명된 7개의 단순군은 [[로버트 그리스]]가 ''2세대 Happy Family'' 라고 부르는 것으로 구성되며, [[괴물군 (수학)|괴물군]] 내에서 발견되는 20개의 산재군으로 구성된다. 군 7개 중 몇 개는 적어도 ''1세대'' 를 구성하는 5개 [[마티외 군]] 중 일부를 포함한다.

== 일반화된 가공할 헛소리 ==
콘웨이와 Norton은 1979년 논문에서 [[가공할 헛소리]]가 괴물군에게만 국한되지 않는다고 제안했다. Larissa Queen과 다른 사람들은 산재군의 차원의 단순한 조합으로 많은 Hauptmoduln의 확장을 구성할 수 있음을 나중에 발견했다. 콘웨이 군의 경우 관련 McKay-Thompson 급수는 다음과 같다. <math>T_{2A}(\tau)</math> = {1, 0, 276, {{Val|−2048}}, {{Val|11202}}, {{Val|−49152}}, ...} ( {{OEIS2C|A007246}} ) 및 <math>T_{4A}(\tau)</math> = {1, 0, 276, {{Val|2048}}, {{Val|11202}}, {{Val|49152}}, ...} ( {{OEIS2C|A097340}} ) 

: <math>\begin{align}
 j_{4A}(\tau)
  &= T_{4A}(\tau) + 24 \\
  &= \left(\frac{\eta^2(2\tau)}{\eta(\tau)\,\eta(4\tau)}\right)^{24} \\
  &= \left(\left(\frac{\eta(\tau)}{\eta(4\tau)}\right)^4 + 4^2 \left(\frac{\eta(4\tau)}{\eta(\tau)}\right)^4\right)^2 \\
  &= \frac{1}{q} + 24 + 276q + 2048q^2 + 11202q^3 + 49152q^4 + \dots
\end{align}</math>

여기서 상수항 {{개행 금지|1=a(0) = 24}}, ''η''(''τ'')는 [[데데킨트 에타 함수]]이다.

== 참고 문헌 ==
<references />

* {{인용|last1=Conway|first1=John Horton|author1-link=존 호턴 콘웨이|title=A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups|mr=0237634|year=1968|journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]|volume=61|pages=398–400|doi=10.1073/pnas.61.2.398|issue=2|pmc=225171|pmid=16591697|bibcode=1968PNAS...61..398C|doi-access=free}}
* {{인용|editor1-last=Brauer|editor1-first=R.|editor1-link=Richard Brauer|editor2-last=Sah|editor2-first=Chih-han|title=Theory of finite groups: A symposium|url=https://books.google.com/books?id=YRdCAAAAIAAJ|publisher=W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam|mr=0240186|year=1969}}
* {{인용|last1=Conway|first1=John Horton|author1-link=존 호턴 콘웨이|title=A group of order 8,315,553,613,086,720,000|mr=0248216|year=1969|journal=The Bulletin of the London Mathematical Society|issn=0024-6093|volume=1|pages=79–88|doi=10.1112/blms/1.1.79}}
* {{인용|last1=Conway|publisher=[[Academic Press]]|chapter=Three lectures on exceptional groups|year=1971|mr=0338152|isbn=978-0-12-563850-0|series=Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.|location=Boston, MA|url=https://books.google.com/books?id=TPPkAAAAIAAJ|first1=John Horton|title=Finite simple groups|editor2-link=Graham Higman|editor2-first=Graham|editor2-last=Higman|editor1-first=M. B.|editor1-last=Powell|author1-link=존 호턴 콘웨이|pages=215–247}} Reprinted in {{harvtxt|Conway|Sloane|1999|loc=267–298}} 
* {{인용|last1=Conway|location=Berlin, New York|volume=290|year=1999|mr=0920369|isbn=978-0-387-98585-5|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|edition=3rd|publisher=[[Springer-Verlag]]|first1=John Horton|url=https://books.google.com/books?id=upYwZ6cQumoC|title=Sphere Packings, Lattices and Groups|author2-link=Neil Sloane|first2=Neil J. A.|last2=Sloane|author1-link=존 호턴 콘웨이|doi=10.1007/978-1-4757-2016-7}} 
* {{인용|last1=Thompson|first1=Thomas M.|title=From error-correcting codes through sphere packings to simple groups|url=https://books.google.com/books?id=ggqxuG31B3cC|publisher=[[Mathematical Association of America]]|series=Carus Mathematical Monographs|isbn=978-0-88385-023-7|mr=749038|year=1983|volume=21}} 
* {{인용|last1=Conway|last5=Wilson|mr=827219|isbn=978-0-19-853199-9|publisher=[[Oxford University Press]]|url=https://books.google.com/books?id=38fEMl2-Fp8C|title=Atlas of finite groups|first5=Robert A.|first4=R. T.|first1=John Horton|last4=Curtis|first3=Simon P.|last3=Norton|first2=Richard A.|last2=Parker|author1-link=존 호턴 콘웨이|year=1985}} 
* {{인용|last1=Griess|first1=Robert L. Jr.|author1-link=R. L. Griess|title=Twelve sporadic groups|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Springer Monographs in Mathematics|isbn=978-3-540-62778-4|mr=1707296|year=1998|doi=10.1007/978-3-662-03516-0}} 
* [https://web.archive.org/web/20051110090124/http://web.mat.bham.ac.uk/atlas/v2.0/spor/Co1/ 유한 군 표현의 아틀라스: Co<sub>1</sub>] 버전 2
* [http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/spor/Co1/ 유한 군 표현의 아틀라스: Co<sub>1</sub>] 버전 3
* {{인용|last1=Wilson|first1=Robert A.|title=The maximal subgroups of Conway's group Co₁|doi=10.1016/0021-8693(83)90122-9|mr=723071|year=1983|journal=[[Journal of Algebra]]|issn=0021-8693|volume=85|issue=1|pages=144–165|doi-access=free}}
* {{인용|last1=Wilson|first1=Robert A.|title=On the 3-local subgroups of Conway's group Co₁|doi=10.1016/0021-8693(88)90192-5|mr=928064|year=1988|journal=[[Journal of Algebra]]|issn=0021-8693|volume=113|issue=1|pages=261–262|doi-access=free}}
* {{인용|last1=Wilson|first1=Robert A.|title=The finite simple groups.|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Graduate Texts in Mathematics 251|isbn=978-1-84800-987-5|doi=10.1007/978-1-84800-988-2|zbl=1203.20012|year=2009|volume=251}} 
* {{인용|last1=Witt|first1=Ernst|author1-link=Ernst Witt|title=Collected papers. Gesammelte Abhandlungen|series=Springer Collected Works in Mathematics|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-57061-5|mr=1643949|year=1998|doi=10.1007/978-3-642-41970-6}} 
* R. T. Curtis and B. T. Fairburn (2009), "Symmetric Representation of the elements of the Conway Group .0", Journal of Symbolic Computation, 44: 1044-1067.
[[분류:산재군]]