콕서터 길이 함수 문서 원본 보기

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[[군론]]에서, '''콕서터 길이 함수'''(Coxeter길이函數, {{llang|en|Coxeter length function}})는 [[콕서터 군]] 위에 정의된 [[자연수]] 값의 함수이며, 해당 군 원소를 나타내기 위한 단순 반사의 수이다.

== 정의 ==
[[군의 표시|표시]]가 주어진 콕서터 군
:<math>G = \langle r_1,\dotsc,r_n|(r_ir_j)^{m_{ij}}=1\rangle</math>
에서, <math>r_1,\dotsc,r_n</math>을 <math>G</math>의 '''단순 반사'''(單純反射, {{llang|en|simple reflection}})라고 하자.

<math>G</math>위에서, 다음과 같은 [[자연수]] 값의 [[함수]]를 정의하자.
:<math>\ell\colon G\to \mathbb N</math>
:<math>\ell(g) = \min \{k\in\mathbb N\colon \exists f\colon \{1,\dotsc,k\}\to\{1,\dotsc,n\}\colon r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(n)} = g\}</math>
즉, <math>\ell(g)</math>는 <math>g</math>를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수의 최솟값이며, 이를 콕서터 군의 원소 <math>g</math>의 '''길이'''({{llang|en|length}})라고 한다.

<math>g</math>를 표현하는, 최소 길이의 반사들로 구성된 문자열
:<math>g = r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(\ell(g))}</math>
을 <math>g</math> 의 '''축소 단어'''(縮小單語, {{llang|en|reduced word}})라고 한다. 이는 일반적으로 유일하지 않을 수 있다.

=== 브뤼아 순서 ===
<math>G</math> 위에는 다음과 같은 세 [[부분 순서]]를 정의할 수 있다. 우선,
임의의 두 원소
:<math>g,g'\in G</math>
의 (임의의) 축소 단어
:<math>g=r_{f(1)}\dotsm r_{f(\ell(g))}</math>
:<math>g'=r_{f'(1)}\dotsm r_{f'(\ell(g'))}</math>
가 주어졌다고 하자.

{| class=wikitable
! 부분 순서의 이름 !! <math>g\le g'</math>일 [[필요 충분 조건]]
|-
| 브뤼아 순서({{llang|en|Bruhat order}}) || <math>f = f'\circ j</math>이게 하는 단사 증가 함수 <math>j\colon \{1,\dotsc,\ell(g)\}\to\{1,\dotsc,\ell(g')\}</math>가 존재함
|-
| 오른쪽 약한 순서({{llang|en|right weak order}}) || <math>\ell(g)\le \ell(g')</math>,  <math>f(i) = f'(i)\;\forall i\le \ell(g)</math>
|-
| 왼쪽 약한 순서({{llang|en|left weak order}}) || <math>\ell(g)\le \ell(g')</math>,  <math>f(i) = f'(i+\ell(g')-\ell(g))\;\forall i\le \ell(g)</math>
|}

여기서, 정의들은 항상
:“<math>g\le g'</math>일 필요 충분 조건은 다음 조건을 만족시키는 <math>g</math>와 <math>g'</math>의 축소 단어 <math>f</math>, <math>f'</math>가 적어도 하나 이상 존재하는 것이다”
의 꼴이다. (즉, 모든 가능한 축소 단어가 위 조건을 충족시키지는 않아도 된다.)

== 성질 ==
콕서터 군 <math>G</math>에서, 다음이 성립한다.
:<math>\ell(g) = \ell(g^{-1})\qquad\forall g\in G</math>
:<math>\ell(g) = 0 \iff g = 1</math>
:<math>\ell(gh) \le \ell(g) + \ell(h)\qquad\forall g,h\in G</math>
즉, <math>G</math> 위에 다음과 같은 [[거리 함수]]를 줄 수 있다.
:<math>d(g,h) = \ell(g^{-1}h)\qquad(g,h\in G)</math>

=== 최장 원소 ===
유한 콕서터 군 <math>G</math> 위에서, 길이가 가장 긴 원소가 항상 유일하게 존재한다. 이를 <math>G</math>의 '''최장 원소'''(最長元素, {{llang|en|longest element}})라고 한다. (그러나 최장 원소의 축소 단어는 일반적으로 유일하지 않다.) <math>G</math>의 최장 원소가 <math>w\in G</math>일 때, 이는 다음 성질을 갖는다.
* <math>w^2 = 1</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
축소 단어
:<math>w=r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(\ell(w))}</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>w^{-1} = r_{f(\ell(w)}\dotsm r_{f(1)}</math>
역시 축소 단어이며, 최장 원소가 유일하므로 <math>w=w^{-1}</math>이다.
</div></div>
* <math>\forall g\in G\colon \ell(wg) = \ell(gw) = \ell(w) - \ell(g)</math>
* <math>\ell(w)</math>는 <math>G</math>의 [[근계]]의 [[양근]]의 수이다.
* <math>w</math>의 임의의 축소 단어에는 <math>G</math>의 모든 단순 반사가 한 번 이상 등장한다. (특히, <math>\ell(w)\ge n</math>이다.)

== 예 ==
유한 콕서터 군의 최장 원소는 다음과 같다.
* <math>A_n</math> (<math>n\ge2</math>), <math>D_{2k+1}</math>, <math>E_6</math>, <math>I_2(2k+1)</math>의 경우, 콕서터 도표는 반사 대칭을 가지며, 이 경우 최장 원소는 중심 원소 <math>-1</math> × 콕서터 도표의 반사 대칭이다. 
* 나머지 모든 경우, 최장 원소는 중심 원소 <math>-1</math>이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | title = The geometry and topology of Coxeter groups
|first = Michael W. | last = Davis | 날짜 = 2007 | url = http://www.math.osu.edu/~mdavis/davisbook.pdf | isbn = 978-0-691-13138-2 |zbl=1142.20020 | 출판사=Princeton University Press | 총서= London Mathematical Society Monographs | 권=32 | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:군론]]