코쥘 접속 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Parallel transport sphere.svg|right|섬네일|[[구 (기하학)|구]] 위의 아핀 접속은 접평면을 한 점의 표면에서 다른 점의 표면으로 밀어 옮기는 과정으로 이해할 수 있다.]]
[[미분기하학]]에서 '''코쥘 접속'''(Koszul接續, {{llang|en|Koszul connection}})은 [[벡터 다발]]의 각 올들을 이어붙여, 벡터장의 미분을 정의할 수 있게 하는 구조이다.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>이 주어졌다고 하자. <math>E</math>의 [[매끄러운 단면]]들의 [[실수 벡터 공간]]을 <math>\Gamma^\infty(E)</math>라고 하자.

<math>E</math> 위의 '''코쥘 접속'''은 다양하게 정의될 수 있다.
* 코쥘 접속은 [[벡터 다발]]의 [[매끄러운 단면]] 위에 작용하는 작용소로 정의될 수 있다.
* 코쥘 접속은 [[벡터 다발]]의 선형 구조와 호환되는 [[에레스만 접속]]으로 정의될 수 있다.
* 코쥘 접속은 [[벡터 값 미분 형식]] 위에 작용하는 작용소로 정의될 수 있다.

<math>M</math> 위의 '''아핀 접속'''(affine接續, {{llang|en|affine connection}})은 그 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math> 위의 코쥘 접속이다. 아핀 접속을 갖춘 [[매끄러운 다양체]]를 '''아핀 다양체'''(affine多樣體, {{llang|en|affine manifold}})라고 한다.

=== 단면 위의 작용을 통한 정의 ===
<math>E</math> 위의 '''(코쥘) 접속''' 또는 '''공변 미분'''(共變微分, {{llang|en|covariant derivative}})
:<math>\nabla\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(\mathrm T^*M\otimes_{\mathbb R}E)</math>
은 다음과 같은 [[곱 규칙]]을 만족시키는 [[실수 선형 변환]]이다.<ref name="CCL">{{서적 인용
|이름1=Shiing-Shen|성1=Chern|저자링크=천싱선
|이름2=Wei-Huan|성2=Chen
|이름3=Kai-Shue |성3=Lam
|제목=Lectures on differential geometry
|doi=10.1142/3812
|총서=Series on University Mathematics|권=1
|출판사=World Scientific | isbn= 978-981-02-3494-2 | 날짜=1999-11
|언어=en
}}</ref>{{rp|101, Definition 4.1.1}}
:<math>\nabla(fs)=f\nabla s+\mathrm df\otimes s\qquad\forall f\in \mathcal C^\infty(M,\mathbb R),\;s\in\Gamma^\infty(E)</math>
여기서 <math>T^*M</math>은 <math>M</math>의 [[공변접다발]]이며, <math>\mathrm df\in\Gamma^\infty(\mathrm T^*M)=\Omega^1(M)</math>은 <math>f</math>의 [[외미분]]으로 얻은 [[1차 미분 형식]]이다.
이는 <math>E\to\mathrm T^*M\otimes E</math> 1차 [[미분 연산자]]를 이룬다.

임의의 [[벡터장]] <math>X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)</math>에 대하여,
:<math>\nabla_X\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)</math>
:<math>\nabla_X\colon s\mapsto \langle X,\nabla s\rangle</math>
를 정의할 수 있다. 이를 <math>E</math>의 단면의 <math>X</math>방향의 '''공변 미분'''이라고 한다.<ref name="CCL"/>{{rp|101–101, (4.1.2)}}

<math>\nabla</math>는 1차 [[미분 연산자]]이므로, 국소 좌표계에서 다음과 같은 꼴로 전개할 수 있다.
:<math>(\nabla_Xs)^a=X^i\left(\partial_is^a+\Gamma_{ib}^as^b\right)</math>
여기서 <math>i,j,\dotsc</math>는 [[접다발]]의 첨자이며 <math>a,b,\dotsc</math>는 <math>E</math>의 첨자이다. 코쥘 접속을 정의하는 성분 <math>\Gamma_{ib}^a</math>을 '''[[크리스토펠 기호]]'''라고 한다.

=== 에레스만 접속을 통한 정의 ===
[[벡터 다발]] <math>E</math>의 [[수직 벡터 다발]]은 <math>\mathrm VE=E\times_ME</math>이다. 이제, 실수 <math>\lambda\in\mathbb R</math>에 대한 곱셈
:<math>(\cdot\lambda)\colon E\to E</math>
의 미분
:<math>\mathrm T(\cdot\lambda)\colon \mathrm TE\to\mathrm TE</math>
을 생각하자. 또한, 합
:<math>(+)\colon E\times E\to E</math>
의 미분
:<math>\mathrm T(+)\colon\mathrm TE\times\mathrm TE\to\mathrm TE</math>
를 생각하자.

<math>E</math> 위의 [[에레스만 접속]] <math>H\subseteq\mathrm TE</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''코쥘 접속'''이라고 한다.
:<math>H_{\lambda e}=\left(\mathrm T(\cdot\lambda)\right)(H_e)</math>
:<math>\left(\mathrm T(+)\right)(H\times_MH)=H</math>
여기서 <math>H\times_MH\subseteq E\times_ME</math>이다.

[[에레스만 접속]]을 통한 정의와 단면 위의 작용을 통한 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 우선,
:<math>\operatorname{proj}_{\mathrm VE}\colon \mathrm TE\to\mathrm VE=\pi^*E</math>
가 <math>H</math>를 사용한, [[수직 벡터 다발]] <math>\mathrm VE</math> 위로의 사영이라고 하자 (즉, <math>H=\ker\operatorname{proj}_{\mathrm VE}</math>). 임의의 단면 <math>s\in\Gamma^\infty(E)</math>에 대하여, 미분
:<math>\mathrm Ts\colon\mathrm TM\to\mathrm TE</math>
를 생각하자. 그렇다면, 다음을 정의하자.
:<math>\nabla\colon\mathrm TM\to s^*\mathrm VE=E</math>
:<math>\nabla s=\operatorname{proj}_H\circ\mathrm Ts</math>
그렇다면, 이는 적절한 [[곱 규칙]]을 만족시켜, 후자의 정의에 해당한다.

=== 미분 형식 위의 작용을 통한 정의 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E</math> 위의 '''코쥘 접속'''
:<math>\mathrm d^\nabla\colon\Omega^\bullet(M;E)\to\Omega^{\bullet+1}(M;E)</math>
은 다음과 같은 [[곱 규칙]]을 만족시키는 [[실수 선형 변환]]이다.
:<math>\mathrm d^\nabla(\alpha\wedge\omega)=\mathrm d\alpha\wedge\omega+(-)^p\alpha\wedge\mathrm d^\nabla\omega\qquad\forall\alpha\in\Omega^p(M),\;\omega\in\Omega(M;E)</math>
(여기서 <math>\Omega(M;E)</math>는 [[벡터 값 미분 형식|<math>E</math>값 미분 형식]]의 공간이다.)
이러한 연산자를 '''공변 외미분'''(共變外微分, {{llang|en|covariant exterior derivative}})이라고 한다.

단면 위의 작용을 통한 정의와 미분 형식 위의 작용을 통한 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 임의의 공변 외미분 <math>\mathrm d^\nabla\colon\Omega^\bullet(M;E)\to\Omega^{\bullet+1}(M;E)</math>가 주어졌을 때,
:<math>\Omega^0(M;E)=\Gamma^\infty(E)</math>
이므로,
:<math>\mathrm d^\nabla|_{\Gamma^\infty(E)}\colon\Gamma^\infty(M;E)\to\Omega^1(M;E)=\Gamma^\infty(\mathrm T^*M\otimes_{\mathbb R}E)</math>
는 단면 위에 적절한 [[곱 규칙]]을 만족시킨다. 반대로, 단면 위의 작용소 <math>\nabla\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(\mathrm T^*M\otimes_{\mathbb R}E)</math>가 주어졌을 때, 미분 형식에 대한 곱 규칙을 만족시키게 유일하게 확장할 수 있다.

일반적 [[외미분]]과 달리, 공변 외미분은 일반적으로 <math>\mathrm d^\nabla\circ\mathrm d^\nabla=0</math>을 만족시키지 못한다.

=== 코쥘 초접속: 단면 위의 작용을 통한 정의 ===
코쥘 접속의 개념을 <math>\mathbb Z/2</math>-등급 [[벡터 공간]](초벡터 공간)에 대하여 일반화하여, '''코쥘 초접속'''(Koszul初接續, {{llang|en|Koszul superconnection}})의 개념을 정의할 수 있다.<ref name="BGV"/>{{rp|44, §1.4}}

구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E^\pm\twoheadrightarrow M</math>. <math>E=E^+\oplus E^-</math>라고 표기하자.
그렇다면, <math>E</math> 위의 '''코쥘 초접속'''은 다음 조건을 만족시키는 선형 변환
:<math>\nabla^\pm\colon\Gamma^\infty(E^\pm)\to
\bigoplus_{n=0}^\infty\Omega^{2n}(M;E^\mp)
\oplus
\bigoplus_{n=0}^\infty\Omega^{2n+1}(M;E^\pm)</math>
이다.
:<math>\nabla^\pm(fs)=
f\nabla s+(\mathrm df)\otimes s\qquad\forall f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R),\;s\in\Gamma^\infty(E^\pm)</math>

=== 코쥘 초접속: 미분 형식 위의 작용을 통한 정의 ===
공변 외미분을 통한 정의 역시 코쥘 초접속에 대하여 적용할 수 있다.

구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E^\pm\twoheadrightarrow M</math>. <math>E=E^+\oplus E^-</math>라고 표기하자.
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다. [[벡터 값 미분 형식|<math>E^\pm</math>값 미분 형식]]들의 공간 <math>\Omega^\bullet(M;E^\pm)</math>으로부터,
:<math>\Omega^{\pm,k}(M;E)=\begin{cases}
\Omega^k(M;E^\pm)&k\mid 2\\
\Omega^k(M;E^\mp)&k\nmid2
\end{cases}</math>
:<math>\Omega^\pm(M;E)=\bigoplus_{k\in\mathbb N}\Omega^{\pm,k}(M;E)</math>
즉, 아래 표에서, 흰색 바탕은 <math>\Omega^+(M;E)</math>에, 회색 바탕은 <math>\Omega^-(M;E)</math>에 속한다.
{| class=wikitable
| style="background-color: white" | <math>\Omega^0(M;E^+)=\Gamma^\infty(E^+)</math>
| style="background-color: lightgrey " | <math>\Omega^1(M;E^+)</math>
| style="background-color: white" | <math>\Omega^2(M;E^+)</math>
| style="background-color: lightgrey " | <math>\Omega^3(M;E^+)</math>
| style="background-color: white" | <math>\Omega^4(M;E^+)</math>
|-
| style="background-color: lightgrey "  | <math>\Omega^0(M;E^-)=\Gamma^\infty(E^-)</math>
| style="background-color: white" | <math>\Omega^1(M;E^-)</math>
| style="background-color: lightgrey " | <math>\Omega^2(M;E^-)</math>
| style="background-color: white" | <math>\Omega^3(M;E^-)</math>
| style="background-color: lightgrey " | <math>\Omega^4(M;E^-)</math>
|}
그렇다면, <math>E^\pm</math> 위의 '''코쥘 초접속'''
:<math>\mathrm d^\nabla\colon\Omega^\pm(M;E)\to\Omega^\mp(M;E)</math>
은 다음과 같은 [[곱 규칙]]을 만족시키는 [[실수 선형 변환]]이다.<ref name="BGV">{{서적 인용 | last1=Berline | first1=Nicole | last2=Getzler | first2=Ezra | last3=Vergne | first3=Michèle | title=Heat kernels and Dirac operators | publisher=Springer-Verlag | 날짜=1992 | 총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | 권=298 | isbn= 978-3-540-20062-8 | zbl=0744.58001 | url = http://www.springer.com/us/book/9783540200628 | 언어=en}}</ref>{{rp|44, Definition 1.37}}
:<math>\mathrm d^\nabla(\alpha\wedge\omega)=(\mathrm d\alpha)\wedge\omega+(-)^p\alpha\wedge\mathrm d^\nabla\theta\qquad\forall\alpha\in\Omega^p(M),\;\omega\in\Omega(M;E)</math>

=== 코쥘 초접속: 구체적 정의 ===
매우 구체적으로, [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E^\pm\twoheadrightarrow M</math> 위의 '''코쥘 초접속'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.<ref name="BGV"/>{{rp|45, Proposition 1.39}}
* <math>E^\pm</math> 위의 코쥘 접속 <math>\nabla_{E^\pm}</math>. 이는 코쥘 초접속의 1등급 성분이다.
* 음이 아닌 짝수 <math>i\in2\mathbb N=\{0,2,4,\dotsc\}</math>에 대하여, [[벡터 값 미분 형식]] <math>T^i\in\Omega^i(M;E^+\otimes(E^-)^*\oplus E^-\otimes(E^+)^*)</math>
* 3 이상의 홀수 <math>i\in\{3,5,7,\dotsc\}</math>에 대하여, [[벡터 값 미분 형식]] <math>T^i\in\Omega^i(M;E^+\otimes(E^+)^*\oplus E^-\otimes(E^-)^*)</math>
이 데이터는 <math>\Gamma^\infty(M;E^\pm)</math> 위에 다음과 같이 작용한다.
:<math>\mathrm d^\nabla(\alpha\otimes s^\pm)=
\nabla_{E^\pm}s^\pm\wedge\alpha+\sum_{i\in\mathbb N\setminus\{1\}}T^i(s)
\qquad\forall s^\pm\in\Gamma^\infty(E^\pm)</math>
이 데이터는 <math>\Omega(M;E)</math> 위에 다음과 같이 작용한다.
:<math>\mathrm d^\nabla(\alpha\otimes s^\pm)=
\nabla_{E^\pm}s^\pm\wedge\alpha
+
\sum_{i\in\mathbb N\setminus\{1\}}T^i(s)\wedge\alpha
\qquad\forall s^\pm\in\Gamma^\infty(E^\pm),\;\alpha\in\Omega^p(M)</math>
이러한 성분들은 초접속의 "크리스토펠 기호"에 해당한다.

== 성질 ==
=== 당김 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 두 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>, <math>N</math>
* 그 사이의 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to N</math>
* <math>N</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow N</math>
* <math>E</math> 위의 코쥘 접속 <math>\nabla</math>
그렇다면, <math>f</math>를 통해 <math>M</math>위의 [[당김 (미분기하학)|당김]] 다발 <math>f^*E</math>를 정의할 수 있다. 이 위에 당김 접속
:<math>f^*\nabla\colon\Gamma^\infty(f^*E)\to\Gamma^\infty(T^*M\otimes f^*E)</math>
은 다음 조건을 만족시키는 유일한 코쥘 접속이다.
:<math>f^*\nabla_X\colon f^*s\mapsto f^*(\nabla_{f_*X}s)\qquad\forall s\in\Gamma^\infty(E),\;X\in\Gamma^\infty(TM)</math>
여기서 <math>f_*X=df(X)\in\Gamma^\infty(\mathrm TN)</math>는 <math>X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)</math>의 <math>N</math>으로의 밂({{llang|en|pushforward}})이다.

마찬가지로, 만약 <math>N</math> 위에 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E^\pm\twoheadrightarrow N</math>이 주어졌을 때, <math>E^\pm</math> 위의 코쥘 초접속을 당김 다발 <math>f^*E^\pm</math> 위로 당길 수 있다.

=== 곡률 ===
[[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math> 위의 코쥘 접속 <math>\nabla</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 텐서장 <math>F^\nabla\in\Omega^2(M;\operatorname{End}E)</math>가 유일하게 존재한다.
:<math>F^\nabla(X,Y)\colon s\mapsto\nabla_X\nabla_Ys-\nabla_Y\nabla_Xs-\nabla_{[X,Y]}s\qquad\forall X,Y\in\Gamma^\infty(\mathrm TM),\;s\in\Gamma^\infty(E)</math>
이를 <math>\nabla</math>의 '''곡률'''(曲率, {{llang|en|curvature}})이라고 하며, 이는 [[벡터 값 미분 형식|<math>\operatorname{End}E\cong E\otimes E^*</math>값의 2차 미분 형식]]이다.<ref name="CCL"/>{{rp|108–109, §4.1}}
여기서 <math>[X,Y]</math>는 벡터장의 [[리 미분]]이다. 이는 일반적 [[올다발]] 위의 [[에레스만 접속]]의 곡률의 특수한 경우이다.

곡률이 0인 코쥘 접속을 '''평탄 코쥘 접속'''(平坦Koszul接續, {{llang|en|flat Koszul connection}})이라고 한다.

아핀 접속의 곡률은 '''[[리만 곡률]]'''이라고 하며, 이는 (3,1)-[[텐서장]]으로 여길 수 있다. 또한, 아핀 접속 <math>\nabla</math>의 경우, 곡률과 더불어 '''[[비틀림 (미분기하학)|비틀림]]'''을 정의할 수 있다. 비틀림 <math>T^\nabla\in\Omega^2(M;\mathrm TM)</math>은 다음과 같다.
:<math>T^\nabla(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]</math>
(여기서 <math>\Omega^2(M;\mathrm TM)</math>은 [[벡터 값 미분 형식|접다발 값 2차 미분 형식]]의 공간이다.) 비틀림은 (2,1)-[[텐서장]]으로 여길 수 있다.

마찬가지로, [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E^\pm</math> 위의 코쥘 초접속 <math>\nabla</math>가 주어졌을 때,
:<math>\mathrm d^\nabla\circ\mathrm d^\nabla\colon\Omega^\pm(M;E)\to\Omega^\pm(M;E)</math>
는 항상 다음과 같은 꼴이다.<ref name="BGV"/>{{rp|44, Proposition 1.38}}
:<math>\mathrm d^\nabla\circ\mathrm d^\nabla\in\Omega(M;\operatorname{End}(E))</math>
이를 초접속의 '''곡률'''이라고 한다.<ref name="BGV"/>{{rp|44, §1.4}} 곡률이 0인 코쥘 초접속을 '''평탄 코쥘 초접속'''(平坦Koszul超接續,{{llang|en|flat Koszul superconnection}})이라고 한다.

=== 평행 운송 ===
코쥘 접속은 [[에레스만 접속]]의 특수한 경우이므로, '''평행 운송'''({{llang|en|parallel transport}})을 정의할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math>의 [[매끄러운 단면]] <math>s\in\Gamma^\infty(E)</math>
* <math>E</math> 위의 코쥘 접속 <math>\nabla</math>
* 매끄러운 [[곡선]] <math>\gamma\colon [0,1]\to M</math>
만약
:<math>\nabla_{\dot\gamma(t)}\sigma=0\qquad\forall t\in[0,1]</math>
이 성립한다면, <math>E</math>를 '''평행 단면'''(平行斷面, {{llang|en|parallel section}})이라고 한다. 이는 단면의 [[당김 (미분기하학)|당김]] <math>\gamma^*s\in\Gamma^\infty(\gamma^*E)</math>의, 당겨진 접속 <math>\gamma^*\nabla</math>에 대한 공변 미분이 0이라는 것과 동치이다.

이 경우, <math>s(\gamma(1))\in E_{\gamma(1)}</math>를 <math>s(\gamma(0))\in E_{\gamma(0)}</math>의, 곡선 <math>\gamma</math>를 따른 '''평행 운송'''이라고 한다. 평행 운송은 [[선형 변환]]
:<math>\tau_\gamma\colon E_{\gamma(0)}\to E_{\gamma(1)}</math>
으로 생각할 수 있으며, 이는 벡터 공간의 [[동형]]을 이룬다. 이와 같이, 코쥘 접속은 <math>E</math>의 각 올공간들을 (주어진 경로에 따라) "이어붙이는" 것을 알 수 있다.

마찬가지로, 코쥘 초접속 역시 일종의 평행 운송을 정의한다.<ref>{{저널 인용|제목=
Superconnections and parallel transport|arxiv=0711.2766|이름=Florin|성=Dumitrescu|bibcode=2007arXiv0711.2766D|날짜=2007|언어=en}}</ref>

== 분류 ==
공변 미분 <math>\nabla s</math>의, <math>x\in M</math>에서의 값은 <math>s</math>의 <math>x</math> [[근방]]의 값에만 의존한다.<ref name="CCL"/>{{rp|102, Remark 2}}

[[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math> 위의 두 코쥘 접속 <math>\nabla^1</math>, <math>\nabla^2</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>\nabla^1-\nabla^2\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(T^*M\otimes E)</math>
는 매끄러운 [[다발 사상]]을 이룬다. 즉, <math>(\nabla^1-\nabla^2)(s)</math>의 <math>x\in M</math>에서의 값은 <math>s(x)\in E_xM</math>에만 의존한다.
:<math>\nabla^1-\nabla^2\in=\Omega^1\left(M;\operatorname{End}(E)\right)=\Omega^1(M;E\otimes E^*)</math>
이에 따라, <math>E</math> 위의 코쥘 접속들의 [[모듈라이 공간]]은 <math>\Omega^1(M;\operatorname{End}(E))</math>의 꼴의 [[아핀 공간]]이다.

마찬가지로, 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E^\pm\twoheadrightarrow M</math> 위의 두 코쥘 초접속 <math>\nabla^1</math>, <math>\nabla^2</math>이 주어졌을 때,
:<math>\nabla^1-\nabla^2\in\Omega^-(M;\operatorname{End}(E))
=\bigoplus_{i=0}^\infty\Omega^{2i}\left(M;E^+\otimes(E^-)^*\oplus E^-\otimes(E^+)^*\right)
\oplus
\bigoplus_{i=0}^\infty\Omega^{2i+1}\left(M;E^+\otimes(E^+)^*\oplus E^-\otimes(E^-)^*\right)
</math>
이며, <Math>E</math> 위의 코쥘 초접속들의 [[모듈라이 공간]]은 <math>\Omega^-(M;\operatorname{End}(E))</math>의 꼴의 [[아핀 공간]]이다.<ref name="BGV"/>{{rp|45, Corollary 1.40}}

== 예 ==
=== 자명한 벡터 다발 위의 접속 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 자명한 벡터 다발 <math>E=M\times\mathbb R^k\twoheadrightarrow M</math>이 주어졌다고 하자. <math>\mathbb R^k</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 <math>\{e_1,\dots,e_k\}</math>라고 하자. 그렇다면, <math>E</math>의 단면은 [[매끄러운 함수]]로 생각할 수 있다.
:<math>\Gamma^\infty(E)\cong\mathcal C^\infty(M,\mathbb R^n)</math>
이 경우, <math>E</math> 위의 모든 코쥘 접속은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\nabla\colon s\mapsto ds+\omega(s)</math>
여기서
:<math>\omega\in\Omega^1(M)\otimes_{\mathbb R}\operatorname{End}(\mathbb R^n)</math>
는 [[1차 미분 형식]]의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]이며,
:<math>ds=\sum_ie_id\langle e_i,s_i\rangle\in\Gamma^\infty(\mathrm T^*\!M\otimes E)</math>
는 <math>s\colon M\to\mathbb R^n</math>의 각 벡터 성분에 대한 [[외미분]]이다. 이 경우,
:<math>(\omega)^i{}_j=\langle e_j,\nabla e_j\rangle</math>
를 <math>\nabla</math>의 '''접속 형식'''(接續形式, {{llang|en|connection form}})이라고 한다. 만약 접속 형식이 0이라면, 코쥘 접속은 평탄 코쥘 접속을 이룬다.

보다 일반적으로, 임의의 벡터 다발의 경우 국소적 자명화를 (비표준적으로) 잡을 수 있으며, 위와 같이 접속 형식을 정의할 수 있다. 물론 이는 선택한 국소적 자명화에 의존하며, 또 일반적으로 대역적으로 정의될 수 없다.

=== 레비치비타 접속 ===
{{본문|레비치비타 접속}}
[[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위에는 [[리만 계량]]으로부터 [[레비치비타 접속]]이라는 아핀 접속을 표준적으로 정의할 수 있다.

=== 스핀 접속 ===
{{본문|스핀 접속}}
[[리만 계량]]을 갖춘 [[스핀 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 [[스피너 다발]] <math>\mathrm SM</math> 위에, [[리만 계량]]으로 유도되는 표준적인 코쥘 (초)접속인 '''[[스핀 접속]]'''이 존재한다.

== 역사 ==
아핀 접속의 개념은 19세기의 기하학 및 텐서 미적분학 등에서 유래하였다. 1920년대 초에 [[엘리 카르탕]]은 [[카르탕 접속]] 이론의 일부로서 아핀 접속의 개념을 체계적으로 개발하였고, 이와 동시에 [[헤르만 바일]]은 [[일반 상대성 이론]]의 수학적 기초를 위하여 접속 이론을 개발하였다. "접속"이라는 용어 역시 카르탕이 도입하였다.

1950년에 [[장루이 코쥘]]은 [[접다발]] 위의 아핀 접속의 개념을 일반화하여, 임의의 [[벡터 다발]] 위의 코쥘 접속의 현대적인 정의를 제시하였다.<ref>{{저널 인용| last = Koszul | first = J. L. | 저자링크=장루이 코쥘 | title = Homologie et cohomologie des algebres de Lie | journal = Bulletin de la Société Mathématique | volume = 78 | year = 1950 | pages = 65–127 | zbl =  0039.02901 | 언어=fr}}</ref>

초접속의 개념은 1985년에 [[대니얼 퀼런]]이 [[천 특성류]]를 연구하기 위해 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Superconnections and the Chern character|이름=Daniel|성=Quillen|저자링크=대니얼 퀼런|저널=Topology|권=24|호=1|쪽=89–95|doi=10.1016/0040-9383(85)90047-3|날짜=1985|issn=0040-9383|언어=en}}</ref>{{rp|90, §2}}

== 같이 보기 ==
* [[D가군]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Affine connection}}
* {{eom|title=Linear connection}}
* {{매스월드|id=VectorBundleConnection|title=Vector bundle connection}}
* {{nlab|id=affine connection|title=Affine connection}}
* {{nlab|id=connection on a vector bundle|title=Connection on a vector bundle}}
* {{nlab|id=superconnection|title=Superconnection}}
* {{수학노트|title=접속 (connection)}}

[[분류:벡터 다발]]
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