코언-매콜리 환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]과 [[대수기하학]]에서 '''코언-매콜리 환'''(Cohen-Macaulay環, {{llang|en|Cohen–Macaulay ring}})은 국소적으로 어느 곳에서나 차원이 동일한 [[아핀 스킴]]의 개념을 형식화한 개념이다.<ref>{{서적 인용|장=Cohen–Macaulay rings and modules|이름=Melvin|성=Höchster|제목=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Helsinki, Finland, vol. 1|장url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1978.1/Main/icm1978.1.0291.0298.ocr.pdf|출판사=Academia Scientiarum Fennica|날짜=1980|쪽=291-298|언어=en|access-date=2014-08-09|archive-date=2013-09-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20130901094331/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1978.1/Main/icm1978.1.0291.0298.ocr.pdf}}</ref>

== 정의 ==
=== 코언-매콜리 가군과 코언-매콜리 국소환 ===
[[뇌터 가환환|뇌터]] [[국소 가환환]] <math>(R,\mathfrak m)</math> 위의 [[유한 생성 가군]] <math>M</math>에 대하여, 항상 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M\le\dim M</math>이다.
여기서 <math>\operatorname{depth}_{\mathfrak m}</math>는 [[깊이 (가환대수학)|깊이]]이며, <math>\dim</math>은 [[크룰 차원]]이다. 만약 이 부등식이 포화된다면, <math>M</math>을 '''코언-매콜리 가군'''({{llang|en|Cohen–Macaulay module}})이라고 한다.

임의의 [[뇌터 가환환|뇌터]] [[국소 가환환]] <math>(R,\mathfrak m)</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 뇌터 국소 가환환을 '''코언-매콜리 국소환'''({{llang|en|Cohen–Macaulay local ring}})이라고 한다.
*  스스로 위의 [[가군]]으로서 코언-매콜리 가군인 [[뇌터 가환환|뇌터]] [[국소 가환환]]이다. 즉, <math>\operatorname{depth}_{\mathfrak m}R\le\operatorname{ht}\mathfrak m=\dim R</math>이다.
* 모든 [[매개계]]가 [[정칙열]]이다.<ref name="Huneke">{{저널 인용|arxiv=math/0209199|제목=Hyman Bass and ubiquity: Gorenstein rings|date=2002-09-16|url=https://archive.org/details/arxiv-math0209199|이름=Craig|성=Huneke|언어=en}}</ref>{{rp|Remark 2.2}}
* 적어도 하나 이상의 [[매개계]]가 [[정칙열]]이다.<ref name="Huneke">{{저널 인용|arxiv=math/0209199|제목=Hyman Bass and ubiquity: Gorenstein rings|date=2002-09-16|url=https://archive.org/details/arxiv-math0209199|이름=Craig|성=Huneke|언어=en}}</ref>{{rp|Remark 2.2}}
여기서 <math>\operatorname{depth}_{\mathfrak m}</math>는 [[깊이 (가환대수학)|깊이]]이며, <math>\operatorname{ht}</math>는 [[아이디얼의 높이]]이며, <math>\dim</math>은 [[크룰 차원]]이다. 만약 이 부등식이 포화된다면, <math>R</math>를 '''코언-매콜리 국소환'''이라고 한다.

=== 코언-매콜리 환과 코언-매콜리 스킴 ===
[[뇌터 환|뇌터]] [[가환환]] <math>R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 '''코언-매콜리 환'''이라고 한다.<ref name="Eisenbud">{{서적 인용|이름=David|성=Eisenbud|저자링크=데이비드 아이젠버드|제목=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=150|출판사=Springer-Verlag|날짜= 1995|isbn=978-0-387-94269-8|mr=1322960|doi=10.1007/978-1-4612-5350-1|issn=0072-5285 |zbl=0819.13001 | 언어=en}}</ref>{{rp|452, Proposition 18.8}}
* 모든 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>에 대하여, [[국소화 (환론)|국소화]] <math>R_{\mathfrak m}</math>은 코언-매콜리 국소환이다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|452, Proposition 18.8}}
* 모든 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에 대하여, [[국소화 (환론)|국소화]] <math>R_{\mathfrak p}</math>는 코언-매콜리 국소환이다.
* 임의의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak i</math> 및 <math>R/\mathfrak i</math>의 [[연관 소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Ass}(R/\mathfrak i)</math>에 대하여, <math>\mathfrak i</math>의 여차원([[아이디얼의 높이|높이]])과 <math>\mathfrak p</math>의 여차원이 같다. 즉, <math>\operatorname{ht}_R\mathfrak i = \operatorname{ht}_{R/\mathfrak i}\mathfrak p</math>이다.

마지막 조건은 차원이 국소적으로 일정하다는 조건의 매우 강한 형태이다. 즉, 아이디얼 <math>\mathfrak i</math>는 <math>\operatorname{Spec}R</math>의 [[닫힌 부분 스킴]] <Math>\operatorname{Spec}(R/\mathfrak i)</math>을 정의한다. 이는 [[으뜸 분해]]로 인하여 기약 성분들로 분해되며, 각 성분은 [[연관 소 아이디얼]] <Math>\mathfrak p</math>에 대응한다. 따라서, 위 조건은 임의의 [[닫힌 부분 스킴]]에 대하여, 그 기약 성분들의 차원이 모두 같음을 뜻한다.

마찬가지로, [[국소 뇌터 스킴]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[국소 뇌터 스킴]]을 '''코언-매콜리 스킴'''이라고 한다.
* 임의의 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 구조층의 [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal O_{X,x}</math>가 코언-매콜리 국소환이다.
* 임의의 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 구조층의 [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal O_{X,x}</math>가 코언-매콜리 국소환이다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[정칙환]] ⊊ [[완비교차환]]({{llang|en|complete intersection ring}}) ⊊ [[고런스틴 환]] ⊊ 코언-매콜리 환

특히, 모든 [[정칙 스킴]]은 코언-매콜리 스킴이다.

코언-매콜리 환이 될 [[충분 조건]]으로는 다음이 있다.
* 모든 [[정칙환]]은 코언-매콜리 환이다. 특히, 모든 [[체 (수학)|체]]나, 함수체 <math>K[[x]]</math> 등은 [[정칙 국소환]]이므로 코언-매콜리 환이다.
* 모든 [[아르틴 환]]은 코언-매콜리 환이다.
* 모든 [[크룰 차원]]이 1인 [[뇌터 환|뇌터]] [[축소환]]은 코언-매콜리 환이다.
* 모든 [[고런스틴 환]]은 코언-매콜리 환이다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
뇌터 가환환 <math>R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>는 코언-매콜리 환이다.
* [[다항식환]] <math>R[x]</math>는 코언-매콜리 환이다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|452, Proposition 18.9}}
뇌터 [[국소환]] <math>(R,\mathfrak m)</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|452, Proposition 18.8}}<ref name="Matsumura">{{서적 인용|이름=Hideyuki|성=Matsumura|기타=Miles Reid 역|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=8|제목=Commutative ring theory|출판사=Cambridge University Press|날짜=1989-06|isbn=978-0-521-36764-6|doi=10.1017/CBO9781139171762|mr=1011461|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|136, Theorem 17.5}}
* <math>R</math>는 코언-매콜리 국소환이다.
* <math>R</math>에 대응하는 [[완비 국소환]]은 코언-매콜리 국소환이다.

=== 코언-매콜리 조건의 필요 충분 조건 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[정칙 국소환]] <math>K</math>
* [[국소 가환환]] <math>A</math>
* [[단사 함수|단사]] [[환 준동형]] <math>K \to A</math>. 이에 따라서, <math>A</math>가 <math>K</math>-[[유한 생성 가군]]이라고 하자.
그렇다면, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>A</math>가 코언-매콜리 국소환이다.
* <math>A</math>가 <math>K</math>-[[평탄 가군]]이다.
* <math>A</math>가 <math>K</math>-[[자유 가군]]이다.
이 사실을 '''히로나카 기적적 평탄성'''({{llang|en|Hironaka’s miracle flatness}})이라고 한다.

== 예 ==
=== 고런스틴 환이 아닌 코언-매콜리 환 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, [[다항식환]] <math>K[t]</math>의 부분환 <math>K[t^2,t^3]</math>를 생각하자. 이는 코언-매콜리 환이지만 [[고런스틴 환]]이 아니다. 구체적으로, [[극대 아이디얼]] <math>(t^2,t^3)</math>에서의 국소화는 고런스틴 국소환이 아닌 코언-매콜리 국소환이다.

=== 코언-매콜리 환이 아닌 환 ===
체 <math>K</math>에 대하여 [[가환환]]
:<math>R=K[x,y]/(x^2,xy)</math>
를 생각하자.<ref name="Hochster"/>{{rp|896, Example B}} 기하학적으로, <math>(x^2,xy) = (x)(x,y)</math>이므로, 이는 ‘두꺼운’ 원점 <math>x=0,y=0</math>을 갖는 직선 <math>x=0</math>이다. 원점에서 0차원과 1차원의 공존으로 인해 이는 코언-매콜리 환이 될 수 없다. (반면, ‘두꺼운 점’만이 존재하는 경우인 <math>K[x,y]/(x^2)</math>는 코언-매콜리 환이다.<ref name="Hochster"/>{{rp|896, Example B}})

구체적으로, 원점에 해당하는 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m = (x,y)</math>에서의 [[국소 가환환]] <math>R_{\mathfrak m}</math>을 취하자. 이 경우, <math>\mathfrak mR_{\mathfrak m}</math>에 속하는 임의의 원소 <math>a\in\mathfrak mR_{\mathfrak m}</math>에 대하여, <math>ax = 0</math>이므로, <math>R_{\mathfrak m}</math>의 [[극대 아이디얼]]에 포함되는 모든 원소는 [[영인자]]이며, 특히 [[극대 아이디얼]]에 포함되는 모든 [[정칙렬]]의 길이는 0이다. 따라서 <math>R</math>의, <math>\mathfrak m</math>에서의 [[가군의 깊이|깊이]]는 0이다. 그러나 
:<math>(x,y)R_{\mathfrak m} \subsetneq (x)R_{\mathfrak m}</math>
이므로 <math>R_{\mathfrak m}</math>의 [[크룰 차원]](<math>\mathfrak m</math>의 [[아이디얼의 높이|높이]])은 1이다.

따라서 <math>R_{\mathfrak m}</math>은 코언-매콜리 국소환이 아니며, <math>R</math>는 코언-매콜리 환이 아니다.

=== 차원이 일정하지만 코언-매콜리 환이 아닌 환 ===
체 <math>K</math>에 대하여,
:<math>R = \frac{K[x,y,z,w]}{(x,y)(z,w)}</math>
를 생각하자. 기하학적으로, 이는 4차원 [[아핀 공간]] 속의, <math>x=y=0</math> 평면과 <math>z=w=0</math> 평면의 합집합이다. 이 환은 어디서나 같은 차원(즉, 2차원)을 갖는다 (즉, [[극대 아이디얼]]의 [[국소 가환환]]의 [[크룰 차원]]이 항상 2이다). 그러나 이는 (원점에서) 코언-매콜리 환이 아니다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|455, Figure 18.2}}

== 역사 ==
프랜시스 소어비 매콜리({{llang|en|Francis Sowerby Macaulay}})는 1916년에 [[다항식환]]이 (현대적인 용어로) 코언-매콜리 환임을 증명하였고,<ref>{{서적 인용|first=Francis Sowerby|last= Macaulay|title=The algebraic theory of modular systems|publisher=Cambridge University Press  |날짜=1916|url=http://projecteuclid.org/euclid.chmm/1263317740|isbn=1-4297-0441-1|isbn=1-4297-0441-1|언어=en}}</ref> [[어빈 솔 코언]]은 1946년에 [[형식적 멱급수환]]도 마찬가지 성질을 가짐을 보였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Cohen | first1=Irvin Sol |저자링크=어빈 솔 코언| title=On the structure and ideal theory of complete local rings | jstor=1990313 |mr=0016094 | year=1946 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=59 | pages=54–106 | doi=10.1090/S0002-9947-1946-0016094-3 | 언어=en}}</ref> 이후 매콜리와 코언의 이름을 따서 이름붙여졌다.

코언-매콜리 환의 개념에 대하여 멜빈 혹스터({{llang|en|Melvin Hochster}})는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|
삶을 살기에 진짜로 좋은 곳은 [[뇌터 가환환|뇌터 환]] <math>R</math> 중에 모든 [[국소 가환환|국소환]] 속의 [[매개계]]가 <math>R</math>-[[정칙렬]]인 것이다. 이러한 환은 '''코언-매콜리 환'''이라고 한다 (줄여서 CM환).
<br>
{{lang|en|Life is really worth living in a Noetherian ring <math>R</math> when all the local rings have the property that every s.o.p. [system of parameters] is an <math>R</math>-sequence. Such a ring is called ''Cohen-Macaulay'' (C-M for short).}}
|<ref name="Hochster">{{저널 인용|제목=Some applications of the Frobenius in characteristic 0|이름=Melvin|성=Hochster|mr=485848|zbl=0421.14001|doi=10.1090/S0002-9904-1978-14531-5 |날짜=1978|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=84|쪽=886–912|언어=en}}</ref>
}}

== 같이 보기 ==
* [[환론]]
* [[국소환]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cohen-Macaulay ring}}
* {{매스월드|id=Cohen-MacaulayRing|title=Cohen-Macaulay ring}}
* {{웹 인용|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/00N7 | 제목=Cohen-Macaulay rings | 웹사이트=The Stacks Project | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/00N2 | 제목=Cohen-Macaulay modules | 웹사이트=The Stacks Project | 언어=en}}
* {{웹 인용|출판사=Math Overflow|제목=Why Cohen-Macaulay rings have become important in commutative algebra?|url=https://mathoverflow.net/questions/138218/why-cohen-macaulay-rings-have-become-important-in-commutative-algebra|언어=en}}
* {{웹 인용|출판사=Math Overflow|제목=Geometric meaning of Cohen-Macaulay schemes|url=https://mathoverflow.net/questions/54876/geometric-meaning-of-cohen-macaulay-schemes|언어=en}}
* {{웹 인용|출판사=Math Overflow|제목=How to think about CM rings?|url=https://mathoverflow.net/questions/6704/how-to-think-about-cm-rings|언어=en}}
* {{웹 인용|출판사=Math Overflow|제목=Why Cohen-Macaulay rings have become important in commutative algebra?|url=https://mathoverflow.net/questions/138218/why-cohen-macaulay-rings-have-become-important-in-commutative-algebra }}

[[분류:가환대수학]]