코시 함수 방정식 문서 원본 보기

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'''코시 함수 방정식'''은 [[오귀스탱 루이 코시|코시]]에 의해 제안된 것으로 알려진 다음 네 가지 형태의 [[함수방정식]]을 말한다.

#<math>f(x)</math>가 <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math>를 만족하면 <math>f(x)=kx</math>(단, k는 상수)이다.<ref name="KMO">{{서적 인용 |저자=류한영, 강형종, 이주형 |제목=한국수학올림피아드 모의고사 및 풀이집 |연도=2007}}</ref>
==증명==
우선 <math>f(x)</math>는 임의의 실수 <math>a</math>, <math>b</math>에 대해 구간 <math>[a,b]</math>에서 유계임을 대전제로 갖는다.
위의 식을 만족하는 <math>f(x)</math>에 대해서는 <math>f(nx)=nf(x)</math> 가 성립한다.(n은 정수)
<math>f(nx+x)=f(nx)+f(x)</math>(n은 정수)의 식을 이용하여 수학적 귀납법을 이용하면 위와 같은 결과가 나온다.
<math>f(x)</math>가 <math>[a,b]</math>에서 아래로 유계이고 <math>b-a=d</math> 라 가정하고 <math>g(x)</math>라는 함수를 새롭게 정의하자.
 <math>g(x)=f(x)-(f(d)/d)x</math>
이 때, 원식을 이용하면 <math>g(x+y)=g(x)+g(y)</math>임을 확인할 수 있다.
y에 d를 대입하게 되면 <math>g(x+d)=g(x)</math>이라는 식을 얻게 되어 <math>g(x)</math>가 주기가 <math>d</math>인 주기함수임을 알 수 있게 된다.

<math>f(x)</math>와 <math>-(f(d)/d)x</math>가 일정구간 안에서 무조건 아래로 유계이므로 <math>g(x)</math> 또한 유계이다.
그리고 위에서 밝혔듯이 <math>g(x)</math>는 주기함수이기 때문에 <math>g(x)</math>는 실수전체에서 유계이다.

0이 아닌 실수 m이 존재한다고 가정하자. 그러면 g(x)도 f(x)와 동일한 함수방정식을 만족하므로 자연수 n에 대해 g(nm)=ng(m)이다. 그렇다면 n을 충분히 크거나 작은 수로 설정하면 무한히 크거나 작은 수를 만들 수 있고, 이는 g(x)가 실수전체에서 유계라는 가정에 모순이다. 그러므로 g(m)이 0이 아닌 m은 존재할 수 없고 모든 실수에 대해 g(x)=0이다. 따라서 f(x)=(f(d)/d)x가 성립한다. f(d)/d=k라고 설정하면 f(x)=kx가 성립한다.



#<math>f(x)</math>가 <math>f(x+y)=f(x)\times f(y)</math>를 만족하면 <math>f(x)=a^x</math>(단, a는 양의 실수)이다.<ref name="KMO"/>
#<math>f(x)</math>가 <math>f(xy)=f(x)+f(y)</math>를 만족하면 <math>f(x)=log_{a}x</math>(단, <math>a>0, a\neq1</math>인 실수)이다.<ref name="KMO"/>
#<math>f(x)</math>가 <math>f(xy)=f(x)\times f(y)</math>를 만족하면 <math>f(x)=x^n</math>(단, n는 실수)이다.<ref name="KMO"/>


[[선택 공리]]가 참이라면 상수배함수가 아닌 해가 존재한다.

== 같이 보기 ==
* [[가법성]]
== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:함수 방정식]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]