코시 정리 (군론) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''코시 정리'''({{llang|en|Cauchy’s theorem}})는 [[유한군]]의 [[집합의 크기|크기]]의 [[소인수]]가 항상 어떤 원소의 [[위수 (수학)|위수]]라는 정리이다.<ref name="Fraleigh">{{서적 인용|이름1=John B.|성1=Fraleigh|이름2=Victor|성2=Katz|제목=A First Course In Abstract Algebra|url=https://archive.org/details/firstcourseinabs07edfral|출판사=Addison-Wesley|년도=2003|}}</ref> [[제1 쉴로브 정리]]의 특수한 경우이다.<ref name="Fraleigh" />{{rp|324}}

== 정의 ==
'''코시 정리'''에 따르면, 만약 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 [[유한군]] <math>G</math>의 크기 <math>|G|</math>의 소인수라면, <math>G</math>는 [[위수 (수학)|위수]]가 <math>p</math>인 원소를 갖는다.<ref name="Fraleigh" />{{rp|322}}
{{증명|제목=증명 1}}
우선 <math>G</math>가 [[유한군|유한]] [[아벨 군]]인 경우를 증명하자. [[귀류법]]을 사용하여 <math>G</math>가 <math>p</math>차 원소를 가지지 않는다고 가정하자. 편의상 <math>G</math>가 최소 크기의 반례라고 하자. (즉, 크기가 <math>p</math>를 소인수로 하는, <math>G</math>보다 작은 크기의 모든 [[유한군|유한]] [[아벨 군]]은 <math>p</math>차 원소를 갖는다.) 그렇다면 <math>G</math>는 [[순환군]]일 수 없다. (만약 <math>G</math>가 <math>g\in G</math>로 생성된 [[순환군]]이라면, <math>g^{|G|/p}</math>는 <math>G</math>의 <math>p</math>차 원소이며, 이는 모순이다.) 임의의 <math>1\ne g\in G</math>를 취하자. <math>H</math>가 <math>g</math>로 생성된 [[순환군]]이라고 하자. 그렇다면 <math>H\ne G</math>이며, <math>p</math>는 <math>g</math>의 [[위수 (수학)|위수]] <math>|H|</math>의 약수가 아니다. (만약 <math>p\mid|H|</math>라면, <math>H</math>가 <math>p</math>차 원소를 가지므로 모순이다.) 따라서 <math>p\mid|G|/|H|</math>이며, 또한 <math>|G|/|H|<|G|</math>이므로, [[몫군]] <math>G/H</math>은 <math>p</math>차 원소 <math>kH</math> (<math>k\in G</math>)를 가진다. 즉, <math>k\not\in H</math>이며 <math>k^p\in H</math>이다. 이제 <math>k^{|H|}\in G</math>가 <math>p</math>차 원소임을 보이자. 우선
:<math>(k^{|H|})^p=(k^p)^{|H|}=1</math>
이므로 <math>k^{|H|}</math>의 위수는 1 또는 <math>p</math>이다. 만약 <math>k^{|H|}</math>의 위수가 1이라면, 즉 <math>k^{|H|}=1</math>이라면, <math>p</math>와 <math>|H|</math>은 [[서로소 (수론)|서로소]]이므로 <math>1=ap+b|H|</math>인 정수 <math>a,b</math>가 존재한다. 따라서
:<math>k=k^{ap+b|H|}=k^{ap}\in H</math>
이며, 이는 모순이다. 즉, <math>k^{|H|}</math>의 위수는 <math>p</math>이다.

이제 <math>G</math>가 일반적인 [[유한군]]인 경우를 증명하자. 마찬가지로, <math>G</math>가 최소 크기의 반례라고 가정하자. (즉, 크기가 <math>p</math>를 소인수로 하는, <math>G</math>보다 작은 크기의 모든 [[유한군]]은 <math>p</math>차 원소를 갖는다.) <math>G</math>의 [[중심 (대수학)|중심]] <math>\operatorname Z(G)</math>은 <math>G</math>의 [[아벨 군|아벨]] [[부분군]]을 이루므로, 위 증명에 따라 <math>\operatorname Z(G)\ne G</math>이며, 따라서 <math>p\nmid|{\operatorname Z(G)}|</math>이다. [[켤레류 방정식]]
:<math>|G|=|{\operatorname Z(G)}|+\sum_{g\in S}\frac{|G|}{|{\operatorname C_G(g)}|}</math>
을 생각하자. 여기서 <math>S\subseteq G\setminus\operatorname Z(G)</math>는 크기가 1이 아닌 [[켤레류]]들의 대표 원소들의 집합이며, <math>\operatorname C_G(g)</math>는 <math>g</math>에 대한 <math>G</math>의 [[중심화 부분군]]이다. <math>p\mid|G|</math>, <math>p\nmid|{\operatorname Z(G)}|</math>이므로, <math>p\mid|{\operatorname C_G(g)}|</math>인 <math>g\in S</math>가 존재한다. <math>|{\operatorname C_G(g)}|<|G|</math>이므로, <math>\operatorname C_G(g)</math>는 <math>p</math>차 원소를 가지며, 이는 모순이다.
{{증명 끝}}
{{증명|제목=증명 2}}
<math>p</math>차 [[대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(p)</math> 속의 [[순환 순열|순환]] <math>\sigma=(1~2~\cdots~p)</math>으로 생성된, 크기 <math>p</math>의 [[순환군]]은 집합
:<math>X=\{(g_1,\dots,g_p)\in G^p\colon g_1\cdots g_p=1\}</math>
위에 다음과 같이 자연스럽게 [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>\sigma\cdot(g_1,\dots,g_p)=(g_{\sigma(1)},\dots,g_{\sigma(p)})=(g_2,\dots,g_p,g_1)</math>
[[궤도-안정자군 정리]]에 따라 이 [[군의 작용]]의 각 궤도의 크기는 1 또는 <math>p</math>이다. 크기 1의 궤도의 수는 <math>g^p=1</math>인 원소 <math>g\in G</math>의 수와 같다. 즉, <math>p</math>차 원소의 수와 1차 원소(항등원 <math>1\in G</math>)의 수의 합이며, 특히 이는 양의 정수이다. <math>X</math>의 각 원소는 그 앞의 <math>p-1</math>개의 성분으로 유일하게 결정되므로, <math>|X|=|G|^{p-1}</math>이며, 이는 <math>p</math>의 배수이다. 또한, 궤도들은 <math>X</math>를 [[집합의 분할|분할]]하므로, 크기 <math>p</math>의 궤도들의 수의 <math>p</math>배와 크기 1의 궤도들의 수의 합은 <math>|X|=|G|^{p-1}</math>이다. 따라서 크기 1의 궤도의 수 역시 <math>p</math>의 배수이며, 특히 <math>p</math> 이상이다. 즉, 적어도 <math>p-1</math>개의 <math>p</math>차 원소가 존재한다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
[[프랑스]]의 [[수학자]] [[오귀스탱 루이 코시]]의 이름이 붙어 있다.

== 같이 보기 ==
* [[라그랑주 정리 (군론)]]
* [[쉴로브 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{플래닛매스|urlname=CauchysTheorem|제목=Cauchy’s theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfCauchysTheorem|제목=Proof of Cauchy’s theorem}}
* {{proofwiki|id=Cauchy's Lemma (Group Theory)|제목=Cauchy’s lemma (group theory)}}

[[분류:유한군]]
[[분류:군론 정리]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]