코시 적분 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[복소해석학]]에서 '''코시 적분 정리'''(-積分定理, {{llang|en|Cauchy's integral theorem}})는 [[단일 연결 공간|단일 연결]] [[열린집합]] 위의 [[정칙 함수]]의 [[경로 적분]]이 경로와 무관하다는 정리이다.

== 정의 ==
[[유계 집합|유계]] [[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb C</math>의 [[경계 (위상수학)|경계]] <math>\partial D</math>가 유한 개의 조각마다 <math>\mathcal C^1</math> 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, [[연속 함수]] <math>f\colon\operatorname{cl}D\to\mathbb C</math>가 <math>D</math>에서 [[정칙 함수]]라고 하자. '''코시 적분 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="tanxj">{{서적 인용
|저자1=谭小江
|저자2=伍胜健
|제목=复变函数简明教程
|언어=zh
|총서=北京大学数学教学系列丛书
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2006-02
|isbn=978-7-301-08530-1
}}</ref>{{rp|84}}
:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz=0</math>

이에 따라, [[단일 연결 공간|단일 연결]] 열린집합 <math>D\subseteq\mathbb C</math> 위의 정칙 함수 <math>f\colon D\to\mathbb C</math>의, 임의의 두 점 <math>z',z''\in D</math> 사이의 [[경로 적분]]
:<math>\int_{z'}^{z''}f(z)\mathrm dz</math>
는 경로
:<math>\gamma\colon[a,b]\to D\qquad(\gamma(a)=z',\;\gamma(b)=z'')</math>
의 선택에 의존하지 않는다.

== 증명 ==
=== C<sup>1</sup>을 가정하는 증명 ===
도함수 <math>f'</math>가 <math>\operatorname{cl}D</math>의 어떤 [[근방]] <math>N\supseteq\operatorname{cl}D</math>에서 연속 함수임을 가정할 경우,<ref name="tanxj" />{{rp|84-85}}
:<math>f=u+iv</math>
인 <math>u,v\colon N\to\mathbb R</math>를 취하자. 그렇다면, [[그린 정리]]와 [[코시-리만 방정식]]에 의하여,
:<math>\begin{align}\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz
&=\int_{\partial D}(u+iv)(\mathrm dx+i\mathrm dy)\\
&=\int_{\partial D}(u\mathrm dx-v\mathrm dy)+i\int_{\partial D}(u\mathrm dy+v\mathrm dx)\\
&=\iint_D\left(-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy
+i\iint_D\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy\\
&=0
\end{align}</math>
이다.

=== C<sup>1</sup>을 가정하지 않는 증명 ===
[[파일:Proof of Cauchy's integral theorem.svg|섬네일|삼각형 열린집합에 대한 코시 적분 정리의 증명 도해]]
위와 같은 가정을 사용하지 않을 경우, 우선 <math>D</math>가 [[삼각형]] 열린집합인 경우를 보이자.<ref name="tanxj" />{{rp|85-87}}

[[귀류법]]을 사용하여,
:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\ne 0</math>
이라고 가정하자. <math>D_0=D</math>라고 하고, 삼각형 열린집합 <math>D</math>의 세 변의 중점을 이어 얻는 4개의 작은 삼각형 열린집합 <math>T_1,T_2,T_3,T_4</math>를 생각하자. 그렇다면,
:<math>\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz=\sum_{k=1}^4\int_{\partial T_k}f(z)\mathrm dz</math>
이므로,
:<math>\left|\int_{\partial D_1}f(z)\mathrm dz\right|\ge\frac 14\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|</math>
인 <math>D_1\in\{T_1,T_2,T_3,T_4\}</math>가 존재한다. 이와 같이 반복하면, 다음을 만족시키는 삼각형 열린집합의 열 <math>(D_n)_{n=0}^\infty</math>을 얻는다.
* <math>D_n\subseteq D_{n-1}</math>
* <math>\operatorname{diam}D_n=\frac 1{2^n}\operatorname{diam}D</math>
* <math>\int_{\partial D_n}|\mathrm dz|=\frac 1{2^n}\int_{\partial D}|\mathrm dz|</math>
* <math>\left|\int_{\partial D_n}f(z)\mathrm dz\right|\ge\frac 1{4^n}\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|\qquad(n\in\{1,2,\dots\})</math>
따라서,
:<math>\bigcap_{n=0}^\infty D_n=\{z_0\}</math>
인 <math>z_0\in\mathbb C</math>가 존재하며, 임의의 <math>n\in\{0,1,\dots\}</math>에 대하여,
:<math>
\begin{align}
0<\frac 1{4^n}\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|\le\left|\int_{\partial D_n}f(z)\mathrm dz\right|
&=\left|\int_{\partial D_n}(f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0))\mathrm dz\right|\\
&\le\max_{z\in\partial D_n}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right|\cdot\operatorname{diam}D_n\cdot\int_{\partial D_n}|\mathrm dz|\\
&=\frac 1{4^n}\max_{z\in\partial D_n}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right|\cdot\operatorname{diam}D\cdot\int_{\partial D}|\mathrm dz|
\end{align}</math>
이다.
:<math>\lim_{n\to\infty}\max_{z\in\partial D_n}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right|=0</math>
이므로, 이는 모순이다.

이제, 일반적인 경우를 보이자. <math>D</math>는 유한 개의 단일 연결 열린집합의 합집합으로 분할되므로, 편의상 <math>D</math>가 단일 연결 열린집합이라고 가정하자.

임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>f</math>는 [[균등 연속 함수]]이므로, 다음을 만족시키는 다각형 열린집합 <math>\tilde D\subseteq D</math>가 존재한다.
* <math>\operatorname{cl}\tilde D\subseteq D</math>
* <math>\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz-\int_{\partial\tilde D}f(z)\mathrm dz\right|<\epsilon</math>
다각형 열린집합 <math>\tilde D</math>는 유한 개의 삼각형 열린집합의 합집합으로 분할되므로,
:<math>\int_{\partial\tilde D}f(z)\mathrm dz=0</math>
이며, 따라서
:<math>\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|<\epsilon</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[모레라 정리]]
* [[별모양 집합]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cauchy integral theorem}}
* {{매스월드|id=CauchyIntegralTheorem|title=Cauchy integral theorem}}

[[분류:복소해석학 정리]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]