코시-코발렙스카야 정리 문서 원본 보기

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[[수학]]에서, '''코시-코발렙스카야 정리'''(Cauchy-Ковалевская定理, {{llang|en|Cauchy–Kovalevskaya theorem}})는 해석적 [[편미분 방정식]]의 [[초기 조건 문제]]의 해의 존재에 대한 정리이다.

== 정의 ==
<math>K</math>가 실수체 또는 복소수체라고 하고, <math>V</math>와 <math>W</math>가 <math>K</math>에 대한 [[벡터 공간]]이라고 하자. <math>U\subset V\times W</math>가 0의 [[근방]]이라고 하고, <math>A_1,\dots,A_{n-1}\colon U\to\operatorname{End}(V)</math>가 [[해석함수]]라고 하자. 또한, <math>b\colon U\to V</math>가 [[해석함수]]라고 하자.

그렇다면, 미지의 함수 <math>f\colon W\to V</math>에 대한 다음과 같은 [[초기 조건 문제]]는 항상 원점의 [[근방]]에서 해를 갖는다.
:<math> \partial_{x_n}f = A_1(x,f) \partial_{x_1} f + \cdots + A_{n-1}(x,f)\partial_{x_{n-1}}f + b(x,f)</math>
:<math> f|_{x_n=0}= 0 </math>
즉, 원점의 어떤 [[근방]] <math>N\subset W</math>에 대하여, 위 조건들을 만족시키는 함수 <math>f\colon N\to V</math>가 존재한다.

이 정리에서 <math>A_i</math> 및 <math>b</math>는 [[해석함수]]여야 한다. 만약 이를 [[매끄러운 함수]]로 약화시키면 이 정리는 성립하지 않는다.

== 역사 ==
[[오귀스탱 루이 코시]]가 특수한 경우를 1842년 증명하였고,<ref>{{저널 인용|last=Cauchy|first=Augustin|저자링크=오귀스탱 루이 코시|날짜=1842|journal=Comptes rendus|volume=15|언어=fr}}</ref> [[소피야 코발렙스카야]]가 이를 1875년 일반화하였다.<ref>{{저널 인용|성=von Kowalevsky|이름= Sophie|저자링크=소피야 코발렙스카야 |journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=1875|호=80|날짜=1875|pages=1–32 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0080&DMDID=DMDLOG_0005|title=Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen|jfm=07.0201.01|issn= 0075-4102|doi=10.1515/crll.1875.80.1|언어=de}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last= Folland|first= Gerald B. | title= Introduction to Partial Differential Equations| url= https://archive.org/details/introductiontopa0002foll| year=1995| publisher= Princeton University Press| isbn = 0-691-04361-2}}
* {{서적 인용|mr=0717035|first=L.|last= Hörmander|title=The analysis of linear partial differential operators I|series= Grundl. Math. Wissenschaft. |volume= 256 |publisher= Springer |year=1983|ISBN=3-540-12104-8 }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cauchy-Kovalevskaya theorem|first=A.M.|last= Nakhushev}}
* {{매스월드|id=Cauchy-KovalevskayaTheorem|title=Cauchy-Kovalevskaya theorem}}

[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:해석학 정리]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]