코시-오일러 방정식 문서 원본 보기

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'''코시-오일러 방정식'''({{llang|en|Cauchy–Euler equation}})은 선형 동차 [[상미분 방정식]]이다.

== 정의 ==
''n''차 '''코시-오일러 방정식'''은 미지 함수 <math>y(x)</math>에 대한, 다음과 같은 ''n''차 [[상미분 방정식]]이다.
:<math>a_nx^n y^{(n)}(x) + a_{n-1}x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0</math>
여기서 <math>a_0,\dots,a_n</math>은 주어진 계수들이다.

=== 2차 코시-오일러 방정식 ===
2차 코시-오일러 방정식은 다음과 같다.
:<math>x^{2}y''+axy'+by=0</math>
이는 다음과 같이 풀 수 있다. 우선 다음과 같은 [[가설 풀이]]를 사용하자.
:<math>y=x^{m}</math>
이를 첫 번째 식에 대입하면,
:<math>x^{2}m(m-1)x^{m-2}+axmx^{m-1}+bx^{m}=0</math>
이 되고, <math>x\ne0</math>일 때 공통인자 <math>x^{m}</math>을 제거하면, 
:<math>m^{2}+(a-1)m+b=0</math>
이 된다.

여기서 <math>m</math>에 따라 [[미분방정식]]의 해를 구할 수 있다. 
{| class=wikitable
|-
!근의 수||해
|-
|서로 다른 두 실근||<math>y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}</math>
|-
|중근||<math>y=\left( c_{1}+c_{2}\ln x \right)x^{m}</math>
|-
|공역 복소근||<math>y=x^{u}\left[A\cos\left(v\ln x\right)+B\sin\left(v\ln x\right)\right], m_{1}=u+iv, m_{2}=u-iv</math>
|-
|}

== 참고 도서 ==
* {{서적 인용
  | 성 = Kreyszig
  | 이름 = Erwin
  | 제목 = Advanced Engineering Mathematics 8th ed.
  | url = https://archive.org/details/advancedengineer0008krey
  | 출판사 = John Wiley & Sons, INC.
  | 연도 = 1999
  |ISBN=0-471-15496-2 }}

[[분류:상미분 방정식]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]