코시-슈바르츠 부등식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''코시-슈바르츠 부등식'''(Cauchy-Schwarz不等式, {{llang|en|Cauchy–Schwarz inequality}}) 또는 '''코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식'''(Cauchy-Буняковский-Schwarz不等式, {{llang|en|Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality}})은 [[내적 공간]] 위에 성립하는 [[부등식]]이다.<ref>{{서적 인용|성=Steele|이름=J. Michael|날짜=2004-04|제목=The Cauchy–Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83775-0|doi=10.1017/CBO9780511817106|언어=en}}</ref> 이 부등식은 [[무한 급수]] · 함수 공간 · [[확률론]]의 [[분산]]과 [[공분산]] 등에 널리 응용된다.

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>
* <math>V</math> 위의 [[양의 준정부호]] [[에르미트 형식]] <math>\langle,\rangle</math> (<math>\mathbb K=\mathbb R</math>일 때, 이는 [[양의 준정부호]] [[쌍선형 형식]]과 같다). 즉, 다음이 성립한다. (특히, 첫째 벡터에 대하여 반선형, 둘째 벡터에 대하여 선형이라고 하자.)
*: <math>\langle w,\alpha u+v\rangle=\alpha\langle w,u\rangle+\langle w,v\rangle=\overline{\langle \alpha u+v,w\rangle}\qquad\forall \alpha\in\mathbb K,\;u,v\in V</math>
그렇다면, '''코시-슈바르츠 부등식'''에 의하면 다음이 성립한다.
:<math>|\langle u,v\rangle|^2\le \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle\qquad\forall u,v\in V</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''<ref>{{저널 인용|제목=Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality|url=http://www.uni-miskolc.hu/~matsefi/Octogon/volumes/volume1/article1_19.pdf|저널=Octogon Mathematical Magazine|issn=1222-5657|권=17|호=1|날짜=2009-04|쪽=221–229|이름=Hui-Hua|성=Wu|이름2=Shanhe|성2=Wu|언어=en|access-date=2017-03-11|archive-date=2022-10-09|archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www.uni-miskolc.hu/~matsefi/Octogon/volumes/volume1/article1_19.pdf|url-status=}}</ref>
<div class="mw-collapsible-content">
만약 <math>\langle u,u\rangle=\langle v,v\rangle=0</math>이며 <math>\mathbb K=\mathbb R</math>일 경우, [[양의 준정부호]] 조건에 따라
:<math>0\le \frac 12\langle u+v,u+v\rangle=\langle u,v\rangle=-\frac 12\langle u-v,u-v\rangle\le 0</math>
이므로 자명하게 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. 마찬가지로, 만약 <math>\langle u,u\rangle=\langle v,v\rangle=0</math>이며 <math>\mathbb K=\mathbb C</math>일 경우, [[양의 준정부호]] 조건에 따라
:<math>0
\le \frac 12\langle u+v,u+v\rangle
= \operatorname{Re}\langle u,v\rangle
= -\frac 12\langle u-v,u-v\rangle
\le 0
</math>
:<math>0
\le \frac 12\langle u-iv,u-iv\rangle
= \operatorname{Im}\langle u,v\rangle
= -\frac 12\langle u+iv,u+iv\rangle
\le 0
</math>
이므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. ([[양의 정부호]] [[에르미트 형식]]의 경우 <math>\langle u,u\rangle=\langle v,v\rangle=0</math>은 <math>u=v=0</math>을 함의하며 이는 자명하게 <math>\langle u,v\rangle=0</math>을 함의하므로 위와 같은 과정이 필요 없다.) 따라서, <math>\langle u,u\rangle</math> 또는 <math>\langle v,v\rangle</math> 가운데 하나가 양의 실수라고 가정할 수 있다. 편의상 <math>\langle v,v\rangle>0</math>라고 하자.

[[양의 준정부호]] 조건에 의하여, 임의의 <math>\lambda\in\mathbb K</math>에 대하여
:<math>0\le\langle u-\lambda v,u-\lambda v\rangle=\langle u,u\rangle+|\lambda|^2\langle v,v\rangle-\lambda\langle u,v\rangle-\bar\lambda\langle v,u\rangle</math>
이다. 이제,
:<math>\lambda=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle v,v\rangle}</math>
를 대입하면 다음과 같다.
:<math>0\le\langle u,u\rangle-\frac{|\langle u,v\rangle|^2}{\langle v,v\rangle}</math>
이를 정리하면 다음과 같이 코시-슈바르츠 부등식을 얻는다.
:<math>|\langle u,v\rangle|^2 \le \langle u,u \rangle \cdot \langle v,v \rangle</math>
</div></div>
또한, 만약 <math>\langle,\rangle</math>가 [[양의 정부호]]라면, 코시-슈바르츠 부등식에서 등호가 성립할 [[필요 충분 조건]]은 <math>u</math>와 <math>v</math> [[일차 종속]]인 경우이다.

=== 부정부호의 경우 ===
일반적으로, 부정부호 [[에르미트 형식]]의 경우 코시-슈바르츠 부등식은 성립하지 않는다. 다만, [[민코프스키 공간]]의 시간꼴 벡터의 경우 다음이 성립한다.

구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[실수 벡터 공간]] <math>V</math>
* <math>V</math> 위의 [[쌍선형 형식]] <math>\langle,\rangle</math>. 또한, <math>\{v\in V\colon\langle v,v\rangle<0\}\cup\{0\}</math>은 1차원 부분 벡터 공간이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.<ref>{{서적 인용|제목=Independent axioms for Minkowski space-time|날짜=1997-10-08|이름=John W.|성=Schutz|출판사=Longman|총서=Pitman Research Notes in Mathematics Series|권=373|url=https://www.crcpress.com/Independent-Axioms-for-Minkowski-Space-Time/Schutz/p/book/9780582317604|isbn=978-0-582-31760-4|언어=en}}</ref>{{rp|185, §10.2, Theorem 88(ii)}} (정부호의 경우에 대하여 부호가 반대인 것에 주의.)
:<math>\forall u,v\in V\colon \min\{\langle u,u\rangle,\langle v,v\rangle\}\le0\implies |\langle u,v\rangle|^2\ge \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle\qquad\forall u,v\in V</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
만약 <math>\max\{\langle u,u\rangle,\langle v,v\rangle\}\ge0</math>이라면 (좌변은 음이 아닌 실수, 우변은 양이 아닌 실수이므로) 부등식이 자명하게 성립한다. 따라서 <math>\langle u,u\rangle</math>와 <math>\langle v,v</math> 둘 다 양이 아닌 실수라고 가정하자. 또한, 만약 <math>u</math>와 <math>v</math>가 [[선형 종속]]이라면 이 부등식은 자명하게 (등식으로) 성립한다. 따라서 이 둘이 [[선형 독립]]이라고 가정하자. 이에 따라, 가정에 따라 <math>\operatorname{Span}\{u,v\}</math>는 <math>\langle w,w\rangle\ge0</math>인 원소 <math>w\in\operatorname{Span}\{u,v\}\setminus\{0\}</math>를 포함한다. 편의상 이것이 <math>w=u+\lambda_0v</math>라고 가정하자.

실수 <math>\lambda\in\mathbb R</math>에 대하여, 2차 다항식
:<math>p(\lambda)=\langle u+\lambda v\rangle
=\lambda^2\langle v,v\rangle+2\lambda\langle u,v\rangle+\langle u,u\rangle
</math>
를 생각하자. 그렇다면 이는 <math>\lambda=0</math>에서 양이 아닌 실수이지만, <math>\lambda=\lambda_0</math>에서는 <math>p(\lambda)</math>가 음이 아닌 실수이게 된다. 즉, <math>p(\lambda)=0</math>는 적어도 하나의 근을 갖는다. 이것이 성립할 [[필요 충분 조건]]은 [[판별식]]
:<math>D=\langle u,v\rangle^2-\langle u,u\rangle\langle v,v\rangle</math>
이 음이 아닌 실수인 것이며, 따라서
:<math>\langle u,v\rangle^2\ge\langle u,u\rangle\langle v,v\rangle</math>
이다.
</div></div>

또한, 2차원 [[민코프스키 공간]]의 경우는 위와 같은 조건을 생략할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[실수 벡터 공간]] <math>V</math>
* <math>V</math> 위의 [[쌍선형 형식]] <math>\langle,\rangle</math>. 또한, <math>\{v\in V\colon\langle v,v\rangle<0\}\cup\{0\}</math>은 1차원 이하 부분 벡터 공간이며, <math>\{v\in V\colon\langle v,v\rangle>0\}\cup\{0\}</math> 역시 1차원 이하 부분 벡터 공간이다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\forall u,v\in V\colon |\langle u,v\rangle|^2\ge \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle\qquad\forall u,v\in V</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 두 벡터 <math>u,v\in V</math>에 대하여, 항상 다음 두 경우 가운데 하나가 성립한다.
* 만약 <math>\min\{\langle u,u\rangle,\langle v,v\rangle\}\le0</math>일 때: 위의 정리를 사용한다.
* 만약 <math>\max\{\langle u,u\rangle,\langle v,v\rangle\}\ge0</math>일 때: 위의 정리를 <math>(V,-\langle,\rangle)</math>에 사용한다.
</div></div>

== 예 ==
=== 낮은 차원 ===
<math>V=\mathbb K^n</math>일 때, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같은 꼴이 된다.
:<math>\left|\bar a_1b_1+\bar a_2b_2+\dotsb+\bar a_nb_n\right|^2\le
\left(|a_1|^2+|a_2|^2+\dotsb+|a_n|^2\right)
\left(|b_1|^2+|b_2|^2+\dotsb+|b_n|^2\right)\qquad
\forall a_i,b_i\in\mathbb K
</math>
특히, <math>n=2</math>인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻는다.
:<math>|\bar ac+\bar bd|^2\le(|a|^2+|b|^2)(|c|^2+|d|^2)\qquad\forall a,b,c,d\in\mathbb K</math>
특히, 2차원 [[민코프스키 공간]]에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.
:<math>(ac-bd)^2\ge(a^2 - b^2)(c^2 - d^2)\qquad\forall a,b,c,d\in\mathbb R</math>

=== 르베그 공간 ===
{{본문|횔더 부등식}}
[[가측 공간]] <math>X</math> 위의 <math>p=2</math> [[르베그 공간]] <math>V=\operatorname L^2(X;\mathbb K)</math>은 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]을 이룬다. 이 경우 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.
:<math>\left|\int \overline{f(x)}g(x)\,dx\right|^2\le \int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx\qquad\forall f,g\in\operatorname L^2(X;\mathbb K)</math>
이는 [[횔더 부등식]]의 특수한 경우이다.

=== C* 대수 ===
{{본문|상태 (함수해석학)}}
[[C* 대수]] <math>A</math> 위의 [[상태 (함수해석학)|상태]]
:<math>f\colon A\to\mathbb C</math>
가 주어졌을 때,
:<math>\langle a,b\rangle=f(a^*b)\qquad\forall a,b\in A</math>
는 <math>A</math> 위의 [[양의 준정부호]] [[에르미트 형식]]을 이룬다. 이에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.
:<math>|f(a^*b)|^2\le f(a^*a)f(b^*b)\qquad\forall a,b\in A</math>

== 역사 ==
[[파일:Augustin-Louis_Cauchy_1901.jpg|섬네일|오른쪽|[[오귀스탱 루이 코시]]. 코시는 유한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 최초로 증명하였다.]]
[[파일:Буняковский.jpg|섬네일|오른쪽|빅토르 부냐콥스키. 부냐콥스키는 무한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 최초로 증명하였다.]]
[[파일:HermannSchwarz.jpeg|섬네일|오른쪽|[[헤르만 아만두스 슈바르츠]]. 슈바르츠는 무한 차원의 코시-슈바르츠 부등식을 독자적으로 재발견하였다.]]
1821년에 [[오귀스탱 루이 코시]]가 유한 차원 벡터 공간에 대한 코시-슈바르츠 부등식을 증명하였다.<ref>{{서적 인용|성=Cauchy|이름=A. L.|날짜=1821|장=Sur les formules qui résultent de l’emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités|제목=Cours d’analyse. Première partie: analyse algébrique|언어=fr}}</ref>

1859년에 빅토르 야코블레비치 부냐콥스키({{llang|ru|Ви́ктор Я́ковлевич Буняко́вский}}, {{llang|uk|Ві́ктор Я́кович Буняко́вський|빅토르 야코비치 부냐코우시키}}, 1804~1889)가 무한 차원의 경우를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|성=Bouniakowsky|이름=V.|제목=Sur quelques inégalités concernant les intégrales aux différences finies|저널=Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg|권=1|날짜=1859-07|쪽=9|url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/bunyakovsky.pdf|언어=fr}}</ref> 그러나 부냐콥스키의 논문은 널리 알려지지 않았다. 이후 1888년에 [[헤르만 아만두스 슈바르츠]]가 무한 차원 코시-슈바르츠 부등식을 재발견하였다.<ref>{{저널 인용|first=H. A.|last=Schwarz|year=1888|pages=318|journal=Acta Societatis scientiarum Fennicae|volume=15|title=Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung|url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/Schwarz.pdf|언어=de}}</ref>

1896년에 [[앙리 푸앵카레]]가 “슈바르츠 부등식”({{llang|fr|inégalité de Schwarz}})이라는 용어를 최초로 사용하였다.<ref>{{저널 인용|제목=La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet|저널=Acta Mathematica|이름=Henri|성=Poincaré|쪽=59–142|url=http://projecteuclid.org/euclid.acta/1485881960|doi= 10.1007/BF02418028|날짜=1897|언어=en}}</ref>{{rp|73, §II.2}} 이후 이 부등식은 서유럽 및 미국에서 통상적으로 “코시-슈바르츠 부등식”으로 일컬어지고 있다. 반면, 동유럽에서는 부냐콥스키의 업적을 기려 이를 “부냐콥스키 부등식” 또는 “코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식” 등으로 일컫는다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Bunyakovskii inequality}}
* {{eom|title=Cauchy Schwarz inequality}}
* {{매스월드|id=CauchysInequality|title=Cauchy’s inequality}}
* {{매스월드|id=SchwarzsInequality|title=Schwarz’s inequality}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz_Inequality|제목=Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{nlab|id=Cauchy–Schwarz inequality}}
* {{웹 인용|url=http://jeff560.tripod.com/c.html|제목=Cauchy-Schwarz inequality|웹사이트=Earliest uses of some of the words of mathematics|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.stackexchange.com/questions/283073/cauchy-schwarz-for-metrics-with-arbitrary-signatures|제목=Cauchy-Schwarz for metrics with arbitrary signatures|출판사=Stack Exchange|언어=en}}

[[분류:부등식]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:연산자 이론]]
[[분류:확률부등식]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]