코시-비네 공식 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''코시-비네 공식'''({{llang|en|Cauchy-Binet formula}})은 [[정사각 행렬]]이 아닐 수 있는 두 [[행렬]]의 곱의 [[행렬식]]을 구하는 공식이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 음이 아닌 정수 <math>m,n,p,k</math>. 단, <math>m,n,p\ge k</math>
* [[가환환]] <math>R</math>
* <math>R</math> 위의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>M</math> 및 <math>n\times p</math> 행렬 <math>N</math>
* 행의 집합 <math>I\subseteq\{1,\dots,m\}</math> 및 열의 집합 <math>J\subseteq\{1,\dots,p\}</math>. 단, <math>|I|=|J|=k</math>
그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\det((MN)_{I,J})=\sum_{K\subseteq\{1,\dots,n\}}^{|K|=k}\det(M_{I,K})\det(N_{K,J})</math>
특히, <math>m=p=k</math>인 경우, 다음이 성립하며, 이를 '''코시-비네 공식'''이라고 한다.
:<math>\det(MN)=\sum_{K\subseteq\{1,\dots,n\}}^{|K|=m}\det(M_{\{1,\dots,m\},K})\det(N_{K,\{1,\dots,m\}})</math>

== 특수한 경우 ==
=== ''m'' = ''p'' = ''k'' = 2 ===
<math>m=p=k=2</math>의 경우는 다음과 같으며, 이를 '''비네-코시 항등식'''({{llang|en|Binet-Cauchy identity}})이라고 한다.
:<math>\left(\sum_{i=1}^na_ic_i\right)\left(\sum_{i=1}^nb_id_i\right)-\left(\sum_{i=1}^na_id_i\right)\left(\sum_{i=1}^nb_ic_i\right)=\sum_{1\le i<j\le n}(a_ib_j-a_jb_i)(c_id_j-c_jd_i)</math>
:<math>a_i,b_i,c_i,d_i\in R</math>

=== ''m'' = ''n'' = ''p'' = ''k'' ===
<math>m=n=p=k</math>의 경우는 두 [[정사각 행렬]]의 곱의 행렬식의 공식이다.
:<math>\det(MN)=\det(M)\det(N)</math>

=== ''k'' = 1 ===
<math>k=1</math>의 경우는 [[행렬 곱셈]]의 공식이다.
:<math>(MN)_{ij}=\sum_{k=1}^nM_{ik}N_{kj}</math>

=== ''n'' < ''k'' ===
전제 조건을 어겨 <math>n<k</math>라고 하면, 코시-비네 공식이 성립하지 않으며, 대신 다음이 성립한다.
:<math>\det((MN)_{I,J})\in R\setminus R^\times</math>
그러나, <math>R</math>가 [[나눗셈환]]인 경우 코시-비네 공식은 이 경우에도 성립하며, 이는 다음과 같다.
:<math>\det((MN)_{I,J})=0</math>

== 역사 ==
[[오귀스탱 루이 코시]]와 [[자크 필리프 마리 비네]]({{llang|fr|Jacques Philippe Marie Binet}})의 이름을 땄다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cauchy Binet formula}}
* {{매스월드|id=Binet-CauchyIdentity|title=Binet-Cauchy identity}}
* {{플래닛매스|urlname=cauchybinetformula|title=Cauchy-Binet formula}}
* {{proofwiki|id=Cauchy-Binet Formula|제목=Cauchy-Binet formula}}
* {{proofwiki|id=Binet-Cauchy Identity|제목=Binet-Cauchy identity}}

[[분류:행렬식]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]