켤레류 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''켤레류'''(-類, {{llang|en|conjugacy class}})는 켤레 원소를 취하는 [[군의 작용]]의 [[군의 작용의 궤도|궤도]]이다.<ref>{{저널 인용|url = https://www.dpmms.cam.ac.uk/~rdc26/surveysubmitted.pdf | 제목=The influence of conjugacy class sizes on the structure of finite groups: a survey | 성1=Carmina | 성2=Carmina | 이름2=R. D. | 이름1= A. R. | 언어=en}}</ref>

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 원소 <math>g\in G</math>의 '''켤레류'''는 다음과 같다.<ref name="Artin2011">{{서적 인용|성=Artin|이름=Michael|저자링크=마이클 아틴|제목=Algebra|url=https://archive.org/details/algebra0000arti_e8q5_2edi|언어=en|판=2|출판사=Prentice Hall|날짜=2011|isbn=978-0-13-241377-0|id={{iaid|algebra0000arti_e8q5_2edi}}}}</ref>{{rp|196}}
:<math>\operatorname{Cl}(g) = \{hgh^{-1}\colon h\in G\} \subseteq G</math>
즉, 이는 <math>G</math>의 자기 자신 위의 켤레 작용
:<math>G\times G\to G</math>
:<math>(h,g)\mapsto hgh^{-1}</math>
의 [[군의 작용의 궤도|궤도]]이다. 즉 <math>G</math> 위의 켤레 관계
:<math>g\sim g'\iff\exists h\in G\colon g'=hgh^{-1}</math>
의 [[동치류]]이다. <math>G</math>의 모든 켤레류들의 집합을 <math>\operatorname{Cl}(G)</math>로 표기하자.

만약 <math>G</math>가 [[위상군]]이라면, <math>\operatorname{Cl}(G)</math>는 그 [[몫공간]]이므로 자연스러운 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 구조를 가진다.

== 성질 ==
=== 켤레류의 크기 ===
[[유한군]] <math>G</math>의 원소 <math>g\in G</math>의 켤레류의 [[집합의 크기]]는 [[궤도-안정자군 정리]]에 따라 다음과 같다.
:<math>|{\operatorname{Cl}}(g)|=\frac{|G|}{|{\operatorname C}_G(g)|}</math>
여기서 <math>\operatorname C_G(-)</math>는 [[중심화 부분군]]이다.

=== 켤레류의 수 ===
유한군 <math>G</math>의 켤레류의 수는 [[번사이드 보조정리]]에 따라 다음과 같다.
:<math>|{\operatorname{Cl}}(G)|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|{\operatorname C}_G(g)|</math>
여기서 <math>\operatorname C_G(-)</math>는 [[중심화 부분군]]이다.

=== 켤레류 방정식 ===
유한군 <math>G</math>의 켤레류들은 <math>G</math>의 [[집합의 분할|분할]]을 이룬다. 따라서, 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 '''켤레류 방정식'''(-類方程式, {{llang|en|class equation}})이라고 한다.
:<math>|G| = \sum_{\operatorname{Cl}(g)\in\operatorname{Cl}(G)} |{\operatorname{Cl}}(g)| = |G|\sum_{\operatorname{Cl}(g)\in \operatorname{Cl}(G)} \frac1{|{\operatorname C}_G(g)|}
= |{\operatorname Z}(G)| + |G|\sum_{\operatorname{Cl}(g)\in\operatorname{Cl}(G) \setminus\{\{c\}\colon c\in\operatorname Z(G)\}} \frac1{|{\operatorname C}_G(g)|}
</math>
여기서 <math>\operatorname C_G(-)</math>는 [[중심화 부분군]]이며, <math>\operatorname Z(-)</math>는 [[군의 중심]]이다.

특히,
:<math>1 = \sum_{\operatorname{Cl}(g)\in\operatorname{Cl}(G)} \frac1{|{\operatorname C}_G(g)|}</math>
이므로, 이는 1의 [[이집트 분수]] 분해를 이룬다. 1을 주어진 개수의 이집트 분수들로 분해하는 방법은 유한하므로, 따라서 주어진 수의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 유한하다. 예를 들어, [[아벨 군]]의 경우 이러한 이집트 분수 분해는
:<math>1 = \underbrace{\frac1{|G|}+\frac1{|G|}+\dotsb+\frac1{|G|}}_{|G|}</math>
이다.

=== 콤팩트 리 군 ===
<math>G</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]]이라고 하자. 이 경우, <math>G</math>는 항상 [[극대 원환면]] <math>T \le G</math>을 가지며, 모든 원소 <math>g\in G</math>는 <math>T</math>의 어떤 원소와 켤레 동치이다. 또한, 임의의 <math>g\in G</math>의 켤레류와 <math>T</math>의 [[교집합]]은 <math>T</math>의 어떤 원소 <math>t\in T</math>의 [[바일 군]] [[군의 작용의 궤도|궤도]]와 같다.
:<math>\forall g\in G\exists t\in T\colon \operatorname{Cl}(g) \cap T = \operatorname{Weyl}(T,G) \cdot t</math>
다시 말해, <math>G</math>의 켤레류들의 공간은 [[몫공간]]인 [[오비폴드]]
:<math>\operatorname{Cl}(G) \cong T / \operatorname{Weyl}(T,G)</math>
와 표준적인 [[일대일 대응]]을 갖는다.

특히, 항등원 근처의 ‘무한소 원소’(즉, 그 [[리 대수]]의 원소)의 ‘켤레류’는 [[카르탕 부분 대수]]의 바일 군 궤도, 즉 [[바일 방]]의 원소가 된다.

== 예 ==
=== 아벨 군 ===
[[아벨 군]] <math>G</math>의 경우, 켤레류는 (자명하게) [[한원소 집합]]이며, 따라서
:<math>\operatorname{Cl}(G) \cong G</math>
이다.

=== 대칭군 ===
<math>n</math>차 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math>을 생각하자. 그 원소가 다음과 같은 꼴의 순환 분해를 갖는다고 하자.
:<math>(a_{1,1}\dotsm a_{1,n_1})(a_{2,1}\dotsm a_{2,n_2}) \dotsb (a_{k,1}\dotsm a_{k,n_k})</math>
즉,
* <math>k</math>개의 순환이 존재한다.
* 각 순환의 길이는 <math>n_1,n_2,\dotsc,n_k</math>이다. 편의상 <math>1 \le n_1 \le n_2 \le \dotsc \le n_k</math>이며 <math>\textstyle\sum_{i=1}^kn_i = n</math>이라고 하자. 즉, <math>(n_1,n_2,\dotsc,n_k)</math>는 <math>n</math>의 [[자연수 분할]]을 이룬다.
그렇다면, 대칭군의 두 원소 <math>g</math>, <math>h</math>에 대하여, 만약
:<math>k(g) = k(h)</math>
:<math>n_i(g) = n_i(h) \qquad\forall i\in\{1,\dotsc,k(g)\}</math>
일 경우, 두 원소가 같은 '''순환형'''({{llang|en|cycle type}})이라고 하자.

그렇다면, 대칭군에서, 두 원소가 켤레 동치일 [[필요 충분 조건]]은 같은 순환형을 갖는 것이다. 즉, 그 켤레류의 집합은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cl}(\operatorname{Sym}(n)) \cong \operatorname{Part}(n)</math>
여기서 우변은 <math>n</math>의 [[자연수 분할]]들의 집합이다.

자연수 분할 <math>(n_1,n_2,\dotsc,n_k)</math>이 주어졌을 때,
:<math>a(p) = |\{i\in \{1,\dotsc,k\}\colon p = n_i \}| \in \mathbb N</math>
를 정의하자. 그렇다면, 이 [[자연수 분할]]에 대응하는 켤레류의 크기는
:<math>\frac{n!}{\prod_{p=1}^n a(p)! p^{a(p)}}</math>
이다. 다시 말해, 이 자연수 분할에 대응하는 [[중심화 부분군]]의 크기는
:<math>\prod_{p=1}^n a(p)! p^{a(p)}</math>
이다.

=== SU(2) ===
[[리 군]] <math>\operatorname{SU}(2)</math>를 생각하자. 기하학적으로, 이는 [[3차원 초구]] <math>\mathbb S^3</math>와 [[미분 동형]]이다. 이 경우, [[극대 원환면]]은 (1차원) [[원군]] <math>T=\operatorname U(1)</math>이며, 이는 2×2 대각 행렬의 부분군
:<math>T = \left\{\begin{pmatrix}
\exp(\mathrm i\theta) & 0 \\
0& \exp(-\mathrm i\theta)
\end{pmatrix}\colon \theta \in \mathbb R\right\} \le \left\{
M\in\operatorname{GL}(2;\mathbb C) \colon \det M = 1,\;M^\dagger M = 1_{2\times2}\right\} = \operatorname{SU}(2)</math>
으로 여길 수 있다. 이 경우, [[바일 군]]은 2차 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이며, 그 두 원소 가운데 항등원이 아닌 것은 원군 위에 다음과 같이 작용한다.
:<math>\theta \mapsto -\theta</math>
즉, SU(2)의 켤레류들의 공간은 [[반원]] <math>\theta\in[0,\pi]</math>에 해당한다. 구체적으로, 행렬군 위에서 [[대각합]]과 [[행렬식]]은 [[유함수]]이다. SU(2)의 경우 행렬식은 물론 [[상수 함수]] 1이지만, 그 [[대각합]]은 자명하지 않으며, 사실 켤레류는 대각합으로 완전히 결정된다. 즉,
:<math>
\operatorname{tr}
\begin{pmatrix}
\exp(\mathrm i\theta) & 0 \\
0& \exp(-\mathrm i\theta)
\end{pmatrix}
= 2 \cos\theta
</math>
이므로, 대각합의 값은 <math>[-2,+2]</math>의 원소이다. 이는 3차원 초구의 ‘[[위도]]’로 해석할 수 있다. 켤레류는 같은 ‘위도’에 있지만, 다른 ‘[[경도]]’를 가지는 점들의 집합이며, 이는 (위도가 ‘북극’ 또는 ‘남극’이 아니라면) 2차원 구를 이룬다. ‘북극’과 ‘남극’은 각각 대각합이 <math>\pm2</math>가 되는 경우, 즉 <math>\theta \in \{0,\pi\}</math>인 경우이며, 이 경우 켤레류는 [[한원소 집합]] <math>\{\pm1_{2\times2}\}</math>이다.

=== 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군 ===
켤레류 방정식을 통하여, 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군들의 목록을 계산할 수 있다. 켤레류의 수가 5개 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다.<ref name="LL">{{저널 인용|제목=Classification of finite groups according to the number of conjugacy classes|저널=Israel Journal of Mathematics|이름1=Antonio Vera|성1= López|이름2=Juan Vera|성2=López|doi=10.1007/BF02764723|issn=0021-2172|날짜=1985-12|호=4|쪽=305–338 |언어=en}}</ref>{{rp|Table 1}}
{| class=wikitable
! 켤레류의 수 || 군 || 이집트 분수 분해
|-
| 1 || [[자명군]] <math>1</math> || <math>\tfrac11</math>
|-
| 2 || 2차 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(2)</math> || <math>\tfrac12+\tfrac12</math>
|-
| rowspan=2 | 3 || 3차 [[교대군]] || <math>\tfrac13+\tfrac13+\tfrac13</math>
|-
| 3차 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(3)</math> || <math>\tfrac16+\tfrac13+\tfrac12</math>
|-
| rowspan=4 |  4 || 4차 [[교대군]] <math>\operatorname{Alt}(4)</math> || <math>\tfrac1{12}+\tfrac14+\tfrac13+\tfrac13</math>
|-
| 5차 [[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}(5)</math> || <math>\tfrac1{10}+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac12</math>
|-
| 4차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(4)</math>
| rowspan=2 | <math>\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14</math>
|-
| [[클라인 4원군]] <math>\operatorname{Cyc}(2)^2</math>
|-
|rowspan=8 | 5 || 5차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(5)</math> || <math>\tfrac15+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac15</math>
|-
| 4차 [[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}(4)</math>
| rowspan=2 | <math>\tfrac18+\tfrac18+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14</math>
|-
| [[사원수군]] <math>Q_8</math>
|-
| 5차 [[교대군]] <math>\operatorname{Alt}(5)</math> || <math>\tfrac1{60}+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac14+\tfrac13</math>
|-
| 4차 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(4)</math> || <math>\tfrac1{24}+\tfrac18+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac13</math>
|-
| 7차 [[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}(7)</math> || <math>\tfrac1{14} + \tfrac17+\tfrac17+\tfrac17+\tfrac12</math>
|-
| [[프로베니우스 군]] <math>\operatorname{Cyc}(5) \rtimes \operatorname{Cyc}(4)</math> || <math>\tfrac1{20}+\tfrac15+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14</math>
|-
| [[프로베니우스 군]] <math>\operatorname{Cyc}(7) \rtimes \operatorname{Cyc}(3)</math> || <math>\tfrac1{21}+\tfrac17+\tfrac17+\tfrac13+\tfrac13</math>
|}

정확히 <math>n</math>개의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 다음과 같다. {{OEIS|A73043}}
:1, 1, 2, 4, 8, 8, 12, 21, 26, 38, 35, 32, …

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Conjugate elements}}
* {{매스월드|id=ConjugacyClass|title=Conjugacy class}}
* {{groupprops|제목=Number of conjugacy classes}}

[[분류:군론]]