켈렌-레만 스펙트럼 표현 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{양자장론}}
[[양자장론]]에서 '''켈렌-레만 스펙트럼 표현'''({{lang|en|Källén–Lehmann spectral representation}})은 상호작용하는 [[양자장론]]의 [[상관 함수 (양자장론)|2점 함수]]의 특이점들을 이론에 존재하는 상태들의 [[정지 질량]]들의 스펙트럼으로 표현하는 공식이다.

== 역사 ==
스웨덴의 군나르 켈렌({{llang|sv|Gunnar Källén}})이 1952년에 도입하고,<ref>{{저널 인용|doi=10.5169/seals-112316|성=Källén|이름=Gunnar|저널={{lang|la|Helvetica Physica Acta}}|권=25|호=4|쪽=417–434|연도=1952|출판사=Birkhäuser|제목=On the definition of the renormalization constants in quantum electrodynamics|언어=en}}</ref> 독일의 해리 레만({{llang|de|Harry Lehmann}})이 1954년에 개량하였다.<ref>{{저널 인용|저널={{lang|it|Il Nuovo Cimento}}|날짜=1954-04-01|권=11|호=4|쪽=342–357|제목=Über Eigenschaften von Ausbreitungsfunktionen und Renormierungskonstanten quantisierter Felder|언어=de|이름=Harry|성=Lehmann|doi=10.1007/BF02783624}}</ref>

== 정의 ==
[[푸앵카레 대칭]]을 깨지 않는 [[양자장론]]에서 에르미트 스칼라장 <math>\phi(x)</math>를 생각하자. 이 스칼라장은 자유장이 아니고 상호작용하는 이론의 [[하이젠베르크 묘사]]로 나타난나고 하자. 그렇다면 이 입자의 [[상관 함수 (양자장론)|2점 함수]]의 '''켈렌-레만 스펙트럼 표현'''은 다음과 같다.
:<math>\langle0|\mathcal T[\phi(x)\phi(y)]|0\rangle
=\int_0^\infty\frac{dM^2}{2\pi}\rho(M^2)\Delta_{\text{F}}(x-y;M)</math>.
여기서 <math>|0\rangle</math>는 상호작용하는 장의 진공이고, <math>\Delta_{\text{F}}(x-y;M)</math>은 질량 <math>M</math>을 갖는 스칼라 입자의 [[전파 인자|파인먼 전파 인자]]다. <math>\rho(M^2)</math>는 이론에 따라 다른 함수로, '''스펙트럼 밀도'''({{lang|en|spectral density}})라고 한다. 스펙트럼 함수 <math>\rho(M^2)</math>의 [[디랙 델타 함수]] 꼴의 특이점은 하나의 입자를 포함하는 상태들이다. 스펙트럼 함수가 0이 아니고 연속적인 부분들은 다입자 상태들을 나타낸다. [[스핀]]을 가지는 장의 경우에도 유사한 스펙트럼 표현이 존재한다.

== 전개 ==
[[푸앵카레 대칭]]을 따르고 (푸앵카레 [[자발 대칭 깨짐]]이 일어나지 않고), 진공 <math>|0\rangle</math>을 가진 [[양자장론]]을 생각하자. <math>\phi(x)</math>가 국소 [[에르미트 행렬|에르미트]] 로런츠 스칼라 연산자라고 하자. 이 연산자는 병진 변환을 사용하여
:<math>\phi(x)=\exp(i\hat P\cdot x)\phi(0)\exp(-i\hat P\cdot x)</math>
로 나타낼 수 있다. 여기서 <math>\hat P^\mu</math>는 [[사차원 운동량]] 연산자이다. <math>U(\Lambda)</math>가 [[로런츠 변환]]이라고 하자. <math>\phi</math>는 로런츠 스칼라라고 가정하였으므로,
:<math>U(\Lambda)\phi(x)U^{-1}(\Lambda)=\phi(\Lambda^\mu_\nu x^\nu)</math>
이다. 여기서 <math>\Lambda^\mu_\nu</math>는 <math>x^\nu</math>에 대한 로런츠 변환 행렬이다.

<math>|\lambda_{\mathbf p}\rangle</math>가, 총 [[사차원 운동량]]이 <math>p^\mu=(E_{\mathbf p},\mathbf p)=(\sqrt{m^2+\mathbf p^2},\mathbf p)</math>인 상태라고 하자. 그렇다면
:<math>\hat P|\lambda_{\mathbf p}\rangle=p^\mu|\lambda_{\mathbf p}\rangle</math>
이다. <math>U_p</math>가 <math>p^\mu</math>의 [[질량 중심]] 관성계로 변환시키는 [[로런츠 변환]] 연산자라고 하자. 즉,
:<math>U_p|\lambda_{\mathbf p}\rangle=|\lambda_{\mathbf 0}\rangle</math>
이다. 진공은 푸앵카레 대칭에 대하여 불변이므로,
:<math>\hat P|0\rangle=0</math>
:<math>U_p|0\rangle=|0\rangle</math>
이다. 따라서
:<math>\langle0|\phi(x)|\lambda_{\mathbf p}\rangle</math>
::<math>=\langle0|\exp(i\hat P\cdot x)\phi(0)\exp(-i\hat P\cdot x)|\lambda_{\mathbf p}\rangle</math>
::<math>=\exp(-ip\cdot x)\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf p}\rangle</math>
::<math>=\exp(-ip\cdot x)\langle0|U_p^{-1}\phi(0)U_p|\lambda_{\mathbf p}\rangle</math>
::<math>=\exp(-ip\cdot x)\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf 0}\rangle</math>
이다. 또한, <math>\phi(x)</math>의 [[진공 기댓값]]이 <math>\langle0|\phi(x)|0\rangle=\langle0|\phi(0)|0\rangle=0</math>이라고 가정하자. (그렇지 않는 경우, <math>\tilde\phi(x)=\phi(x)-\langle\phi\rangle</math>로 장을 재정의할 수 있다.)

<math>\phi</math>의 [[상관 함수 (양자장론)|2점 함수]]는 다음과 같다.
:<math>\langle0|\mathcal T[\phi(x)\phi(y)]|0\rangle</math>.
여기에 다음과 같은 [[단위행렬|단위 연산자]]
:<math>\hat{1}=|0\rangle\langle0|+\sum_\lambda\int\frac{d^3\mathbf p}{(2\pi)^32E_{\mathbf p}}|\lambda_{\mathbf p}\rangle\langle\lambda_{\mathbf p}|</math>
를 삽입하고, 병진 변환을 사용하면 다음과 같다.
:<math>\langle0|\mathcal T[\phi(x)\phi(y)]|0\rangle</math>
::<math>=\sum_\lambda\mathcal T\left[\int\frac{d^3\mathbf p}{(2\pi)^32E_{\mathbf p}}\langle0|\phi(x)|\lambda_{\mathbf p}\rangle\langle\lambda_{\mathbf p}|\phi(y)|0\rangle
\right]</math>
::<math>=\sum_\lambda\left|\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf0}\rangle\right|^2\int\frac{d^3\mathbf p}{(2\pi)^32E_{\mathbf p}}\exp\left(ip\cdot(y-x)\operatorname{sgn}(x_0-y_0)\right)
</math>
여기에 [[경로적분법]]을 역으로 사용하여 <math>\int dp^0/2\pi</math>를 추가하자.
::<math>=\sum_\lambda\left|\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf0}\rangle\right|^2\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac i{p^2-m_\lambda^2+i\epsilon}\exp\left(ip\cdot(y-x)\right)</math>
::<math>=\sum_\lambda\left|\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf0}\rangle\right|^2\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac i{p^2-m_\lambda^2+i\epsilon}\exp\left(ip\cdot(y-x)\right)</math>
::<math>=\sum_\lambda\left|\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf0}\rangle\right|^2\Delta_{\text{F}}(x-y;m_\lambda)</math>.
여기서 <math>\Delta_{\text{F}}(x-y;m_\lambda)</math>는 [[정지 질량]]이 <math>m_\lambda</math>인 스칼라 입자의 [[전파 인자|파인먼 전파 인자]]이다.

이제 '''스펙트럼 밀도'''({{lang|en|spectral density}}) <math>\rho(M^2)</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\rho(M^2)\equiv2\pi\sum_\lambda\left|\langle0|\phi(0)|\lambda_{\mathbf0}\rangle\right|^2\delta(M^2-m_\lambda^2)</math>.
여기서 <math>\delta()</math>는 [[디랙 델타 함수]]이다. 그렇다면
:<math>\langle0|\mathcal T[\phi(x)\phi(y)]|0\rangle
=\int_0^\infty\frac{dM^2}{2\pi}\rho(M^2)\Delta_{\text{F}}(x-y;M)</math>
이다. 이를 '''켈렌-레만 스펙트럼 표현'''이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[LSZ 축약 공식]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름1=Michael E.|성1=Peskin|이름2=Daniel V.|성2=Schroeder|제목=An introduction to quantum field theory|출판사=Westview Press|날짜=1995-10|url=http://physics.weber.edu/schroeder/qftbook.html|ISBN=9780201503975|쪽=211|언어=en|확인날짜=2013-01-03|보존url=https://web.archive.org/web/20140902045539/http://physics.weber.edu/schroeder/qftbook.html|보존날짜=2014-09-02|url-status=dead}}

[[분류:양자장론]]