켈러 다양체 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''켈러 다양체'''(Kähler多樣體, {{llang|en|Kähler manifold}})는 서로 호환되는 [[리만 계량]] · [[복소구조]] · [[심플렉틱 구조]]를 갖춘 [[매끄러운 다양체]]이다.

== 정의 ==
'''켈러 다양체''' <math>(M,h)</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[에르미트 다양체]]이다.
* 에르미트 계량 <math>h</math>에 대응하는 에르미트 형식 <math>\omega=\tfrac12i(h-\bar h)</math>는 [[닫힌 형식]]이다. 즉, <math>d\omega=0</math>이다.
이에 따라, 켈러 다양체는 <math>\omega</math>를 통하여 [[심플렉틱 다양체]]를 이룬다. 이를 반대로, 켈러 다양체를 적절한 [[복소구조]]를 갖춘 [[심플렉틱 다양체]]로 정의할 수도 있다.

켈러 다양체의 에르미트 계량은 '''켈러 계량'''(Kähler計量, {{llang|en|Kähler metric}})이라고 하고, 켈러 다양체의 에르미트 형식은 '''켈러 형식'''(Kähler形式, {{llang|en|Kähler form}})이라고 한다.

켈러 다양체는 [[리만 다양체]] · [[복소다양체]] · [[심플렉틱 다양체]]의 구조를 동시에 가진다. 이는 행렬군의 경우
:<math>U(n)=\operatorname O(2n;\mathbb R)\cap\operatorname{GL}(n;\mathbb C)=\operatorname{GL}(n;\mathbb C)\cap\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)=\operatorname O(2n;\mathbb R)\cap\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)</math>
가 성립하므로, 서로 호환되는 리만 구조 · 복소구조 · 심플렉틱 구조 가운데 두 개가 존재하면 나머지 하나 역시 존재하기 때문이다.

== 성질 ==
<math>2n</math> 실수 차원의 켈러 다양체의 [[홀로노미군]]은 (주어진 [[복소구조]]에 대한) [[유니터리 군]] <math>\operatorname U(n)</math>의 부분군이다. 만약 홀로노미가 추가로 <math>\operatorname{SU}(n)</math>의 부분군인 경우는 '''[[칼라비-야우 다양체]]'''라고 한다.

=== 켈러 퍼텐셜 ===
켈러 다양체에서는 켈러 형식
:<math>\omega=\frac12ih_{i\bar\jmath}dz^i\wedge d\bar z^{\bar\jmath}</math>
가 [[닫힌 형식|닫혀 있다]]. 따라서 국소적으로 이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\omega=i(\partial_i\partial_{\bar\jmath}\rho)dz^id\wedge\bar z^{\bar\jmath}</math>
이 경우 <math>\rho</math>를 '''켈러 퍼텐셜'''({{llang|en|Kähler potential}})이라고 한다. 일반적으로, 켈러 퍼텐셜은 국소적으로만 정의할 수 있다. 특히, 콤팩트 켈러 다양체의 경우 <math>\omega^n</math>이 [[부피 형식]]이므로 켈러 형식은 [[완전 형식]]일 수 없다. 따라서 콤팩트 켈러 다양체의 켈러 퍼텐셜은 국소적으로만 존재한다.

=== 켈러 항등식 ===
켈러 다양체 <math>M</math> 위에, 다음과 같은 연산자들이 존재한다.
* 돌보 미분 연산자 <math>\partial\colon\Omega^{p,q}(M)\to \Omega^{p+1,q}(M)</math> 및 그 에르미트 수반 <math>\partial^\dagger\colon\Omega^{p,q}(M)\to\Omega^{p-1,q}(M)</math>
* 돌보 미분 연산자 <math>\bar\partial\colon\Omega^{p,q}(M)\to \Omega^{p,q+1}(M)</math> 및 그 에르미트 수반 <math>\bar\partial^\dagger\colon\Omega^{p,q}(M)\to\Omega^{p,q-1}(M)</math>
* 드 람 외미분 <math>d=\partial+\bar\partial\colon\Omega^n(M)\to\Omega^{n+1}(M)</math> 및 그 에르미트 수반 <math>d^\dagger\colon\Omega^n(M)\to\Omega^{n-1}(M)</math>
* 돌보 미분 연산자의 라플라스 연산자 <math>\Delta_\partial=\partial\partial^\dagger+\partial^\dagger\partial\colon\Omega^{p,q}(M)\to\Omega^{p,q}(M)</math>
* 돌보 미분 연산자의 라플라스 연산자 <math>\Delta_{\bar\partial}=\bar\partial\bar\partial^\dagger+\bar\partial^\dagger\bar\partial\colon\Omega^{p,q}(M)\to\Omega^{p,q}(M)</math>
* 드 람 외미분 연산자의 라플라스 연산자 <math>\Delta=dd^\dagger+d^\dagger d\colon\Omega^n(M)\to\Omega^n(M)</math>
이들 사이에는 다음과 같은 항등식들이 존재하며, 이를 '''켈러 항등식'''(Kähler恒等式, {{llang|en|Kähler identities}})이라고 한다.
:<math>0=\{\partial,\bar\partial\}=\{\partial,\bar\partial^\dagger\}=\{\bar\partial,\partial^\dagger\}=\{\partial^\dagger,\bar\partial^\dagger\}</math>
:<math>2\Delta_\partial=2\Delta_{\bar\partial}=\Delta</math>
이에 따라, 켈러 다양체 위에서는 [[돌보 코호몰로지]]와 [[드람 코호몰로지]]가 서로 일치하게 된다. 이 항등식들은 일반적인 [[에르미트 다양체]]에서 성립하지 않는다.

=== 위상수학적 성질 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>이 켈러 다양체의 구조를 가질 수 있다면, 다음이 성립한다.
* <math>M</math>은 (복소구조를 가질 수 있으므로) 짝수 차원의 [[가향 다양체]]이다.

<math>2n</math>차원 콤팩트 매끄러운 다양체 <math>M</math>이 켈러 다양체의 구조를 가질 수 있다면, 다음이 성립한다.
* <math>M</math>은 [[강한 렙셰츠 다양체]]이다. 이에 따라, 다음이 성립한다.
** <math>M</math>의 홀수 차수 [[베티 수]] <math>b_{2k+1}(M)</math>는 항상 짝수이다. 이는 베티 수를 [[호지 수]] <math>b_n=\sum_{p+q=n}h_{p,q}(M)</math>로 분해하였을 때, <math>h_{p,q}=h_{q,p}</math>이기 때문이다.
** <math>M</math>의 홀수 차수 베티 수 <math>b_1,b_3,\dots,b_{2k+1}\;(2k+1<n)</math> 및 짝수 차수 베티 수 <math>b_0,b_2,\dots,b_{2k}\;(2k<n)</math>는 증가수열이다.<ref>{{서적 인용|arxiv=1412.8499|장=An introduction to Hodge structures|이름=Sara Angela|성=Filippini|이름2=Helge|성2=Ruddat|이름3=Alan|성3=Thompson|제목= Calabi-Yau Varieties: Arithmetic, Geometry and Physics|총서=Fields Institute Communications|issn=1069-5265|출판사=Springer|언어=en}}</ref>{{rp|Corollary 3}}
* <math>M</math>의 [[기본군]]은 '''켈러 군'''({{llang|en|Kähler group}})이라는 특수한 형태이다.<ref>{{서적 인용|제목=
Fundamental Groups of Compact Kähler Manifolds|성1=Amorós|이름1=J.|성2=Burger|이름2=M.|성3=Corlette|이름3=K.|성4=Kotschick|이름4=D.|성5=Toledo|이름5=D.|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=SURV-44|isbn=978-0-8218-0498-8|총서=Mathematical Surveys and Monographs|권=44|날짜=1996|출판사=American Mathematical Society|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|url=http://www.pagines.ma1.upc.edu/~amoros/publicacions/amoros_tesi.pdf|제목=The fundamental group of Kähler manifolds|이름=Jaume|성=Amorós|출판사=[[바르셀로나 대학교]]|기타=박사 학위 논문. 지도 교수 Vicente Navarro Aznar|날짜=1997|언어=en|확인날짜=2015-07-24|보존url=https://web.archive.org/web/20150725012108/http://www.pagines.ma1.upc.edu/~amoros/publicacions/amoros_tesi.pdf#|보존날짜=2015-07-25|url-status=dead}}</ref>
* <math>M</math>은 [[형식적 다양체]]이다.<ref>{{저널 인용|성1=Deligne|이름1=Pierre|저자링크1=피에르 들리뉴|성2=Griffiths|이름2=Phillip|저자링크2=필립 오거스터스 그리피스|성3=Morgan|이름3=John|성4=Sullivan|이름4=Dennis|저자링크4=데니스 설리번|제목=Real homotopy theory of Kähler manifolds|저널=Inventiones Mathematicae|권=29|호=3|쪽=245–274|날짜=1975|doi=10.1007/BF01389853|issn=0020-9910|언어=en}}</ref>

또한, <math>2n</math>차원 콤팩트 켈러 다양체 <math>M</math>의 코호몰로지에는 다음과 같은 '''호지-리만 쌍선형 관계'''(Hodge-Riemann雙線型性關係, {{llang|en|Hodge–Riemann bilinear relation}})가 존재한다. 다음과 같은 [[반쌍선형 형식]]을 정의하자.
:<math>h\colon H^{p,q}\times H^{p,q}\to\mathbb C</math>
:<math>h\colon(\alpha,\beta)\mapsto\epsilon_{p+q}(\bar\alpha\smile\beta\smile[\omega]^{n-p-q})([M])\qquad\epsilon_{p+q}=\begin{cases}1&2\mid p+q\\i&2\nmid p+q\end{cases}</math>
이는 항상 [[에르미트 형식]]이며, 항상 [[양의 정부호]] 또는 [[음의 정부호]]이다. 또한, <math>H^{n,0}</math> 위에는 항상 양의 정부호이며, <math>H^{p,q}</math>가 양의 정부호이면 <math>H^{p,q+1}</math>은 음의 정부호이며, 반대로 <math>H^{p,q}</math>가 음의 정부호라면 <math>H^{p,q+1}</math>은 양의 정부호이다.

== 예 ==
[[복소수 사영 공간]] 위에는 [[푸비니-슈투디 계량]]이라는 켈러 구조가 항상 존재한다. 켈러 다양체의 부분 복소다양체 역시 켈러 다양체이므로, 모든 비특이 사영 복소다양체는 켈러 다양체를 이룬다.

유한 차원 복소수 벡터 공간 <math>\mathbb C^n</math>은 켈러 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 복소수 [[원환면]] <math>\mathbb C^n/\Lambda</math> 역시 켈러 다양체이다 (<math>\Lambda\subset\mathbb C^n</math>은 격자).

[[리만 곡면]] 위의 모든 [[리만 계량]]은 [[켈러 계량]]을 정의한다. 이는 2차원에서는 켈러 형식이 [[닫힌 형식]]이어야 하는 조건이 자명하기 때문이다.

[[비특이 대수다양체|비특이]] [[K3 곡면]]은 켈러 다양체이자 [[초켈러 다양체]]이다. 보다 일반적으로, 1차 베티 수가 짝수인 모든 2차원 콤팩트 곡면은 켈러 구조를 가질 수 있다.

=== 켈러 다양체가 아닌 다양체 ===
켈러 구조를 가질 수 없는 다양체의 예로는 다음이 있다.
* <math>S^3\times S^1</math>의 경우, <math>b_1=1</math>이므로 켈러 구조를 가질 수 없다.
* [[초구]] <math>S^n</math> 가운데 켈러 구조를 가질 수 있는 것은 <math>n=2</math>인 경우밖에 없다. <math>n\ne2</math>라면 2차 베티 수가 0이기 때문이다. (<math>n=2</math>일 경우 <math>S^2\cong\mathbb {CP}^1</math>에는 [[푸비니-슈투디 계량]]을 줄 수 있다.)
* [[실수 사영 공간]] <math>\mathbb {RP}^n</math>의 경우, <math>n\ge2</math>일 경우 [[가향 다양체]]가 아니므로 켈러 구조를 가질 수 없다.

== 역사 ==
켈러 다양체의 개념은 [[독일]]의 수학자인 [[에리히 켈러]]가 1932년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용
|이름=Erich|성=Kähler|저자링크=에리히 켈러
|저널={{lang|de|Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg}}
|issn=0025-5858
|날짜=1933-12|권=9|호=1|쪽=173–186
|제목={{lang|de|Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik}}
|doi=10.1007/BF02940642
|zbl=0005.41301|jfm=58.0780.02
}}</ref><ref>{{MacTutor|id=Kahler|title=Erich Kähler|date=2006-11}}</ref>

이후 [[윌리엄 밸런스 더글러스 호지]]가 켈러 다양체 위의 [[호지 이론]]을 정의하였고, 켈러 항등식들을 발견하였다.<ref>{{저널 인용|이름=W. V. D.|성=Hodge|저널=Proceedings of the London Mathematical Society (Second Series)|제목=Harmonic integrals associated with algebraic varieties|날짜=1935|권=39|호=1|쪽=249–271|doi=10.1112/plms/s2-39.1.249|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=W. V. D. |성=Hodge|저자링크=윌리엄 밸런스 더글러스 호지|제목=Theory and applications of harmonic integrals|출판사=Cambridge University Press|날짜=1941|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Andrei|성=Moroianu|제목=Lectures on Kähler geometry|총서=London Mathematical Society Student Texts|권=69|출판사=Cambridge Unviersity Press|isbn=9780521868914|url=http://www.math.polytechnique.fr/~moroianu/tex/kg.pdf|날짜=2007-03|doi=10.1017/CBO9780511618666|mr=2325093|언어=en|확인날짜=2013년 3월 16일|보존url=https://web.archive.org/web/20100326192045/http://www.math.polytechnique.fr/~moroianu/tex/kg.pdf|보존날짜=2010년 3월 26일|url-status=dead}}
* {{서적 인용 | 제목=Complex geometry: an introduction | 이름=Daniel | 성= Huybrechts | 출판사=Springer | 총서 = Universitext | issn=0172-5939 | 날짜=2005 | doi=10.1007/b137952 | isbn = 978-3-540-21290-4 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Kähler manifold|first= A.L.|last=Onishchik}}
* {{eom|title=Kähler metric|first= A.L.|last=Onishchik}}
* {{eom|title=Kähler form|first= A.L.|last=Onishchik}}
* {{매스월드|id=KaehlerManifold|title=Kähler manifold}}
* {{매스월드|id=KaehlerStructure|title=Kähler structure}}
* {{매스월드|id=KaehlerPotential|title=Kähler potential}}
* {{매스월드|id=KaehlerMetric|title=Kähler metric}}
* {{매스월드|id=KaehlerForm|title=Kähler form}}
* {{매스월드|id=KaehlerIdentities|title=Kähler identities}}
* {{nlab|id=Kähler manifold}}
* {{nlab|id=Kähler potential}}
* {{nlab|id=Kähler polarization}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/136049/three-dimensional-compact-k%C3%A4hler-manifolds|제목=Three-dimensional compact Kähler manifolds|출판사=Math Oveflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.mat.ucm.es/~vmunozve/coloquium-UCLA.pdf#7|제목=Formality and Symplectic Geometry|이름=Vincente|성=Muñoz|날짜=2007-03|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.columbia.edu/~thaddeus/seattle/voisin.pdf|제목=Hodge theory and the topology of compact Kähler and compact projective manifolds|이름=Claire|성=Voisin|저자링크=클레르 부아쟁|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[호지 이론]]
* [[에르미트 다양체]]
* [[일반화 켈러 다양체]]
* [[초켈러 다양체]]
* [[사원수 켈러 다양체]]
* [[칼라비-야우 다양체]]
{{전거 통제}}

[[분류:리만 다양체]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]
[[분류:복소다양체]]
[[분류:다양체 상의 구조]]
[[분류:대수기하학]]