케플러-푸앵소 다면체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{| class=wikitable align=right width=520
|[[파일:Kepler-Poinsot solids.svg|520px]]<BR>케플러-푸앵소 다면체 네 개를 위에 나타냈다. 각각은 {p, q}의 형태를 띄는 [[슐레플리 기호]]와 그 이름으로 구분된다. 각 도형의 한 면은 노란색으로 나타냈고 빨간색으로 윤곽선을 그렸다.
|}
[[기하학]]에서 '''케플러-푸앵소 다면체'''(-多面體, {{llang|en|Kepler–Poinsot polyhedron}})는 '''[[별 다면체|별]] [[넓은 뜻의 정다면체|정다면체]]''' 넷 중 하나이다.<ref>Coxeter, ''Star polytopes and the Schläfli function f(&alpha;,&beta;,&gamma;)'' p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra</ref>

이것은 [[볼록 다면체|볼록]] [[정십이면체]]와 [[정이십면체]]의 [[별모양화]]를 포함할 수 있고 정[[오각성]] [[면 (기하학)|면]]이나 [[꼭짓점 도형]]을 가지는 것과는 다르다.

== 특성 ==

=== 비-볼록성 ===
이 모양들은 [[오각성]] (오각형 별)을 면이나 꼭짓점 도형으로 가진다. [[작은 별모양 십이면체|작은]] 그리고 [[큰 별모양 십이면체]]는 [[별 다각형|비볼록 정]] [[오각성]] 면들을 가진다. [[큰 십이면체]]와 [[큰 이십면체]]는 [[볼록 다각형]] 면을 가지지만 오각성 [[꼭짓점 도형]]을 가진다.

모든 경우에, 두 면은 양쪽 면의 변이 아닌 선을 지날 수 있어서, 각 면의 부분은 도형의 내부를 지나간다. 이런 교차하는 선은 다면체 구조의 일부가 아니고 종종 가짜 모서리라고도 불린다. 유사하게 이런 선 셋이 교차하는 점 중에서 면의 모퉁이가 아닌 점은 가짜 꼭짓점이다. 아래의 그림들은 진짜 꼭짓점에 금색 공을 두고 진짜 모서리에 은색 막대를 두었다.

예를 들어, [[작은 별모양 십이면체]]는 중심의 [[오각형]] 부분이 다면체 안에 숨겨진 [[오각성]] 면을 12개 가지고 있다. 각 면의 보이는 부분은 오각형의 꼭짓점 다섯 개를 건드리는 [[이등변삼각형]] 다섯 개를 이룬다. 이 삼각형들을 보기에는 동일하게 생긴 새로운 비-정다면체를 얻기 위해 60개의 분리된 면으로 다룰 수 있다. 각 모서리는 이제 (두 다른 종류의) 세 개의 짧은 모서리로 나눠졌고, 20개의 가짜 꼭짓점이 이제는 진짜가 되어서 총 32개의 꼭짓점이 있다(이것도 두 종류가 있다). 숨겨진 안쪽의 오각형은 이제 더 이상 다면체의 표면의 일부가 아니므로 없앨 수 있다. 이제 [[평면 그래프#오일러의 공식|오일러의 공식]]이 적용된다: 60&nbsp;&minus;&nbsp;90&nbsp;+&nbsp;32&nbsp;=&nbsp;2. 하지만 이 다면체는 더 이상 [[슐레플리 기호]] {5/2,&nbsp;5}로 설명될 수 없고, 따라서 보기에는 그렇지만 더 이상 케플러-푸앵소 다면체가 아니다.

=== 오일러 지표 χ ===
케플러-푸앵소 다면체는 중심의 면이 오각성 면과 다른 꼭짓점들을 가지는 도형에서 굴곡이 있는 점을 가지는 것처럼 행동하여 그 외접하는 구를 한 번 이상 덮는다. 이 때문에, 이것들은 플라톤의 다면체처럼 위상적으로 구와 동일할 필요는 없고, 특히 [[오일러 지표|오일러 관계]]가 항상 성립할 필요는 없다:

:<math>\chi=V-E+F=2\ </math>

슐레플리는 모든 다면체는 χ = 2를 가져야만 한다는 견해를 가져서, 작은 별모양 십이면체와 큰 십이면체를 적절한 다면체로 보는 것을 거부했다. 이 견해는 넓게 퍼지지는 않았다.

[[꼭짓점 도형]](<math>d_v</math>)의 [[밀도 (다포체)|밀도]](''D'')와 면 (<math>d_f</math>)를 사용하는 오일러의 공식의 수정된 형태는 [[아서 케일리]]에 의해서 제공되었고, (수정 인자 모두 1인) 볼록 다면체와 케플러-푸앵소 다면체 모두에 적용된다:
:<math>d_v V - E + d_f F = 2D.</math>

=== 쌍대성 ===
케플러-푸앵소 다면체는 [[쌍대다면체|쌍대]] 쌍으로 존재한다:
* [[작은 별모양 십이면체]]와 [[큰 십이면체]], 그리고
* [[큰 별모양 십이면체]]와 [[큰 이십면체]]이다.

=== 요약표 ===

{| class="wikitable"
|-
!이름
!그림
!구면<BR>타일링
![[별모양화]]<BR>다이어그램
![[슐레플리 기호|슐레플리]]<br />{p,q}와 <br />[[콕서터 다이어그램|콕서터]]
!면<br />{p}
!모서리
!꼭짓점<br />{q}
![[꼭짓점 도형|꼭짓점<BR>도형]]<BR>[[꼭짓점 배치|(배치)]]
![[오일러 지표|χ]]
![[밀도 (다포체)|밀도]]
![[대칭군 (기하학)|대칭]]
![[쌍대다면체|쌍대]]
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[작은 별모양 십이면체]]
|[[파일:Small stellated dodecahedron.png|80px]]
|[[파일:Small stellated dodecahedron tiling.png|80px]]
|[[파일:First stellation of dodecahedron facets.svg|80px]]
|{5/2,5}<br />{{CDD|node|5|node|5|rat|d2|node_1}}
|12<br />{5/2}
|30||12<br />{5}||[[파일:Small stellated dodecahedron vertfig.png|80px]]<BR>(5/2)<sup>5</sup>
| −6||3||I<sub>h</sub>||큰 십이면체
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[큰 별모양 십이면체]]
|[[파일:Great stellated dodecahedron.png|80px]]
|[[파일:Great stellated dodecahedron tiling.svg|80px]]
|[[파일:Third stellation of dodecahedron facets.svg|80px]]
|{5/2,3}<br />{{CDD|node|3|node|5|rat|d2|node_1}}
|12<br />{5/2}
|30||20<br />{3}||[[파일:Great stellated dodecahedron vertfig.png|80px]]<BR>(5/2)<sup>3</sup>
|2||7||I<sub>h</sub>||큰 이십면체
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|[[큰 십이면체]]
|[[파일:Great dodecahedron.png|80px]]
|[[파일:Great dodecahedron tiling.svg|80px]]
|[[파일:Second stellation of dodecahedron facets.svg|80px]]
|{5,5/2}<br />{{CDD|node_1|5|node|5|rat|d2|node}}
|12<br />{5}
|30||12<br />{5/2}||[[파일:Great dodecahedron vertfig.png|80px]]<BR>(5<sup>5</sup>)/2
| −6||3||I<sub>h</sub>||작은 별모양 십이면체
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|[[큰 이십면체]]
|[[파일:Great icosahedron.png|80px]]
|[[파일:Great icosahedron tiling.svg|80px]]
|[[파일:Sixteenth stellation of icosahedron facets.png|80px]]
|{3,5/2}<br />{{CDD|node_1|3|node|5|rat|d2|node}}
|20<br />{3}
|30||12<br />{5/2}||[[파일:Great icosahedron vertfig.png|80px]]<BR>(3<sup>5</sup>)/2
|2||7||I<sub>h</sub>||큰 별모양 십이면체
|}

== 정다면체들 간의 관계==
{| class=wikitable style="text-align:center;"
!이것은 같은 [[꼭짓점 배열]]을 가진다:
!이것은 같은 [[꼭짓점 배열|꼭짓점]]과<br />[[모서리 배열]]을 가진다:
|-
|[[파일:Icosahedron.png|120px]][[파일:Small stellated dodecahedron.png|120px]][[파일:Great icosahedron.png|120px]][[파일:Great dodecahedron.png|120px]]<br />[[정이십면체]], [[작은 별모양 십이면체]], [[큰 이십면체]], 그리고 [[큰 십이면체]].
|[[파일:Small stellated dodecahedron.png|120px]][[파일:Great icosahedron.png|120px]]<br /> [[작은 별모양 십이면체]]와 [[큰 이십면체]].
|-
|[[파일:Dodecahedron.png|120px]][[파일:Great stellated dodecahedron.png|120px]]<br /> [[정십이면체]]와 [[큰 별모양 십이면체]].
|[[파일:Icosahedron.png|120px]][[파일:Great dodecahedron.png|120px]]<br /> [[정이십면체]]와 [[큰 십이면체]].
|}

''작은 별모양 십이면체''와 ''큰 이십면체''는 같은 꼭짓점과 모서리를 공유한다. ''정이십면체''와 ''큰 십이면체''도 같은 꼭짓점과 모서리를 공유한다.

세 십이면체는 모두 볼록 정십이면체의 [[별모양화]]이고, 큰 이십면체는 볼록 정이십면체의 [[별모양화]]이다. 작은 별모양 십이면체와 큰 이십면체는 볼록 정십이면체의 [[facetting]]을 가지고, 두 큰 십이면체들은 볼록 정이십면체의 [[facetting]]을 가진다.

교차점을 새로운 모서리와 꼭짓점으로 다룬다면, 포함되는 도형은 [[정다면체]]가 아닐 것이나 여전히 [[별모양화]]로 볼 수는 있다. ([[웨닝거 다면체 모델의 목록#정십이면체의 별모양화|웨닝거 다면체의 모델의 목록]]을 보라)

== 역사 ==
[[파일:Marble floor mosaic Basilica of St Mark Vencice.jpg|섬네일|[[파올로 우첼로]]가 기여한 [[베니스]]의 [[산마르코 대성당]]의 바닥 [[모자이크]]이다]]

케플러-푸앵소 다면체의 전부는 아니지만 대부분은 케플러 이전에 어떤 형태로든 알려져 있었다. 작은 별모양 십이면체는 이탈리아 [[베니스]]의 [[산마르코 대성당]]의 바닥의 대리석 쪽 나무판자에서 나타났다. 이것은 15세기에 만들어졌으며 [[파올로 우첼로]]에 의해서 만들어졌다. 16세기에 출간된 판목에 관한 그의 책 ''Perspectiva corporum regularium'' (정다면체의 관점, Perspectives of the regular solids)에서 [[벤첼 얌니처]](Wenzel Jamnitzer)는 큰 십이면체와 큰 별모양 십이면체를 묘사했다.<ref>{{웹 인용 |url=http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/jamnitzer/galerie7a.html |제목=''Perspectiva corporum regularium'' |확인날짜=2017-11-24 |archive-date=2016-10-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161013171608/http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/jamnitzer/galerie7a.html |url-status= }}</ref> 그는 다섯개의 플라톤의 다면체만을 정다면체로 간주하는 것은 이 책에서 일반적인 배열을 이루는 것이 분명하다.

'''케플러 다면체'''라고도 불리는 두 별모양 십이면체는 1619년에 [[요하네스 케플러]]에 의해서 처음으로 인정되었다. 그는 볼록 정십이면체의 [[별모양화]]를 통해서 이를 얻었으며, 처음에는 입체라고 보기보다는 표면으로 다뤘었다. 그는 볼록 정십이면체의 모서리나 면을 다시 만날 때까지 확장시키면 별 오각형을 얻을 수 있다는 것을 알았다. 더 나아가서, 그는 별오각형도 역시 정다각형이라는 것을 알았다. 그는 이렇게 별모양 십이면체 둘을 만들었다. 각각은 각 면이 내부에 "숨겨진" 중심의 볼록한 영역을가져서 삼각형 모영의 팔만이 보인다. 이것을 인정하기 위한 케플러의 마지막 단계는 이 다면체가 전통적인 [[플라톤의 다면체]]처럼 [[볼록 다면체|볼록]]하지 않더라도 이것에 정다면체의 정의를 맞추는 것이였다.

1809년에, [[루이 푸앵소]]는 각 꼭짓점 주변에 별 오각형을 결합하여 케플러의 도형을 재발견했다. 그는 볼록 다각형을 별 꼭짓점에 별합하여 별 정다면체 둘을 더 발견했다; 큰이십면체와 큰 십이면체이다. 일부 사람들은 이 둘을 '''푸앵소 다면체'''라고 부른다. 푸앵소는 그가 모든 별 정다면체를 찾았다는 사실을 알지 못했다.

삼 년 뒤, [[오귀스탱 루이 코시]]는 [[플라톤의 다면체]]의 [[별모양화]]에 의한 목록이 완전하다는 것을 증명하였고, 거의 반 세기 이후, 1858년에 [[조셉 베르트랑]]은 그들을 [[faceting]]해서 더 우아한 증명을 하였다.

다음 해에, [[아서 케일리]]는 케플러-푸앵소 다면체에 지금까지 일반적으로 알려진 이름을 붙였다.
[[파일:Relationship among regular star polyhedra (direction colors).png|섬네일|[[존 호턴 콘웨이|콘웨이]]의 연산적 용어는 4개의 별 정다면체와 볼록 정다면체 2개의 관계에 관한 [[육각형]] 모양의 다이어그램을 준다.<ref>The Symmetries of Things, p.405 Figure 26.1 Relationships among the three-dimensional star-polytopes</ref> 별모양화(Stellation)는 오각형 면을 오각성으로 바꾼다. 크게 만들기(Greatening)는 면의 종류를 유지하면서 평행한 평면으로 옮기고 크기를 재조정한다.]]
백 년 뒤, [[존 호턴 콘웨이]]는 [[별모양화#별모양화의 이름 짓기|별모양화의 체계적인 용어]]를 사차원까지 발전시켰다. 이 체계 안에서, 그는 별 정다면체의 약간 수정된 이름을 체안했다; 형용사 ''작은''을 빼는 것이다. 콘웨이의 이름은 일부 사용에서 보이지만 넓게 적용되지는 않았다.

{| class="wikitable"
!케일리의 이름||콘웨이의 이름과 (약자)
|- align=center
|작은 별모양 십이면체
|별모양 십이면체 (sD)
|- align=center
|colspan=2|큰 십이면체 (gD)
|- align=center
|colspan=2|큰 별모양 십이면체 (gsD)
|- align=center
|colspan=2|큰 이십면체 (gI)
|}

== 예술과 문화에서 별 정다면체 ==

[[파일:Alexander's Star.jpg|섬네일|100px|right|알렉산더의 별]]

별 정다면체는 르네상스 예술에서 처음으로 나타났다. 작은 별모양 십이면체는 1430년에 파올로 우첼로가 기여한 베니스의 산마르코 대성당의 바닥 모자이크에 묘사되어 있다. 벤첼 얌니처는 1568년에 출간된 판목에 관한 그의 책 ''Perspectiva corporum regularium'' (정다면체의 관점, Perspectives of the regular solids)을 출판하였다. 그는 큰 십이면체와 큰 별모양 십이면체에 관해서 묘사했다 - 두번째는 아마 형태에 대한 무지라기 보다는 방법의 오류 때문에 살짝 왜곡되어 있다.

20세기에, 미술가 [[M. C. 에셔]]의 기하학적 형태의 관심은 종종 작업의 기반으로 이끌었거나 정다면체를 포함했다; ''[[중력 (M. C. 에셔)|중력]]''은 작은 별모양 십이면체에 기반한다.

큰 이십면체의 [[해부 (기하학)|해부]]는 1980년대 퍼즐 [[알렉산더의 별]]에 이용되었다.

노르웨이 예술가 [[Vebjørn Sand]]의 조각 ''케플러 별(The Kepler Star)''은 [[오슬로 가르데르모엔 국제공항]] 근처에 전시되어있다. 별의 폭은 14m이고 [[정이십면체]]와 [[정십이면체]]가 큰 별모양 십이면체 안에 있는 형태이다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류-줄}}
* [[정다포체]]
* [[정다면체]]
* [[정다포체의 목록#유한 비볼록 다포체 - 별다포체|정다포체의 목록]]
* [[고른 다면체]]
* [[고른 별 다면체]]
* [[다면체 복합체]]
* [[슐레플리-헤스 다포체]] – 별 [[4차원 정다포체]] 열 개이다, 케플러-푸앵소 다면체의 4차원 해석이다

== 각주 ==
{{각주}}
* [[조셉 베르트랑|J. 베르트랑]], Note sur la théorie des polyèdres réguliers, ''Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences'', '''46''' (1858), pp.&nbsp;79–82, 117.
* [[오귀스탱 루이 코시]], ''Recherches sur les polyèdres.'' J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
* [[아서 케일리]], On Poinsot's Four New Regular Solids. ''Phil. Mag.'' '''17''', pp.&nbsp;123–127 and 209, 1859.
* [[존 호턴 콘웨이|존 H. 콘웨이]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ''The Symmetry of Things'' 2008, {{isbn|978-1-56881-220-5}} (Chapter 24, Regular Star-polytopes, pp.&nbsp;404–408)
* ''Kaleidoscopes: Selected Writings of [[해럴드 스콧 맥도널드 콕서터|H. S. M. Coxeter]]'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{isbn|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
** (Paper 1) H.S.M. Coxeter, ''The Nine Regular Solids'' [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
** (Paper 10) H.S.M. Coxeter, ''Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ)'' [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
* P. Cromwell, ''Polyhedra'', Cabridgre University Press, Hbk. 1997, Ppk. 1999.
* [[테오니 파파스]], (The Kepler–Poinsot Solids) ''The Joy of Mathematics''. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p.&nbsp;113, 1989.
* [[루이 푸앵소]], Memoire sur les polygones et polyèdres. ''J. de l'École Polytechnique'' '''9''', pp.&nbsp;16–48, 1810.
* Lakatos, Imre; ''Proofs and Refutations'', Cambridge University Press (1976) - discussion of proof of Euler characteristic
* {{서적 인용| first=Magnus | last=Wenninger | authorlink=Magnus Wenninger  | title=Dual Models | publisher=Cambridge University Press | date=1983 | isbn=0-521-54325-8 }}, pp.&nbsp;39–41.
* [[존 호턴 콘웨이|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ''The Symmetries of Things'' 2008, {{isbn|978-1-56881-220-5}} (Chapter 26. pp.&nbsp;404: Regular star-polytopes Dimension 3)
* {{서적 인용| author= Anthony Pugh | date= 1976 | title= Polyhedra: A Visual Approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7  }} Chapter 8: Kepler Poisot polyhedra

== 외부 링크 ==
*{{매스월드 | urlname=Kepler-PoinsotSolid | title=Kepler–Poinsot solid }}
* [http://www.software3d.com/Kepler.php Paper models of Kepler–Poinsot polyhedra]
* [http://www.korthalsaltes.com/cuadros.php?type=k Free paper models (nets) of Kepler–Poinsot polyhedra]
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/kepler-poinsot-info.html VRML models of the Kepler–Poinsot polyhedra]
* [http://www.steelpillow.com/polyhedra/StelFacet/history.html Stellation and facetting - a brief history]
* [http://www.software3d.com/Stella.php Stella: Polyhedron Navigator]: Software used to create many of the images on this page.

{{비볼록 다면체 탐색기}}

[[분류:케플러-푸앵소 다면체| ]]
[[분류:요하네스 케플러]]
[[분류:비볼록 다면체]]