케플러의 행성운동법칙 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Kepler laws diagram.svg|섬네일|400px|두 [[행성]]의 [[공전궤도]]를 통한 케플러의 세가지 법칙들에 대한 설명. (1) 첫 번째 행성의 공전궤도는 ''f1''과 ''f2''를 [[초점]]으로 갖는 타원궤도이고, 두 번째 행성의 공전궤도는 ''f1''과 ''f3''을 초점으로 갖는 타원궤도이다. 태양은 여기서 초점 ''f1''에 있다. (2) 행성이 같은 시간 동안 휩쓸고 지나가는 음영으로 표시된 두 영역 ''A1''과 ''A2''는 같은 면적을 가지고 있다. (3) 두 행성의 공전주기의 비는 <math>{a _{1}}^{{3} \over {2}}:{a _{2}}^{{3} \over {2}}</math>이다.]]
{{천체동역학|방정식}}
'''케플러의 행성운동법칙'''(行星運動法則, {{llang|en|Kepler's laws of planetary motion}})은 [[독일]]의 [[천문학자]] [[요하네스 케플러]]가 발표한 [[행성]]의 운동에 대한 세 개의 [[물리학]] 법칙이다.

[[아이작 뉴턴]]이 [[만유인력의 법칙]]을 발견하기 약 반세기 전, 케플러는 [[티코 브라헤]]가 평생 동안 천체를 관측하면서 축적한 자료들을 분석하여 다음과 같은 케플러의 행성운동법칙을 발표하였다.
# 행성은 [[모항성]]을 한 [[초점]]으로 하는 [[타원궤도]]를 그리면서 공전한다. (타원궤도 법칙)
# 행성과 태양을 연결하는 가상적인 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다.
# 행성의 공전주기의 제곱은 궤도의 [[긴반지름]]의 세제곱에 비례한다.<ref>한국교원대학교 과학교육연구소, 교육인적자원부(2006), 『고등학교 고급물리』, 서울 : 지학사, 71쪽.</ref>

[[아이작 뉴턴]]은 자신이 발견한 [[뉴턴 운동 법칙|운동 법칙]]과 케플러 법칙 등을 기반으로 [[만유인력의 법칙]]을 유도해냈다. 즉, 케플러가 기술한 [[태양계]]의 [[행성]]의 운동은 뉴턴의 법칙에 따르는 두 개의 질점간의 상호작용에 해당한다는 것을 밝혀낸 것이다.

따라서 [[케플러]]의 행성 운동 법칙은 태양과 행성 사이에만 성립하는 것이 아니라, 행성과 그 [[위성]]([[인공위성]]을 포함하여), 위성과 위성이 갖는 [[손자위성]] 사이에도 성립한다.

== 수학적 설명 ==
[[파일:kepler-first-law.svg|섬네일|오른쪽|케플러의 제1법칙]]

행성의 궤도를 태양이 중심에 있는 [[극좌표계]] <math>(r,\; \theta)</math>를 이용하면 아래와 같이 케플러의 행성운동법칙을 간단하게 수학적으로 기술하고, 뉴턴의 [[만유인력의 법칙]]과 같은 여러 물리학 법칙을 이용하여 증명할 수 있다.

: <math>\epsilon \equiv \sqrt{1+\left( {2EL^2 \over m\alpha}\right)} </math>, [[이심률]]
: <math>\alpha \equiv GMm</math>
: <math>L</math> : 행성의 [[각운동량]]
: <math>M</math> : 초점에 위치한 별의 질량
: <math>m</math> : 행성의 질량
: <math>E</math> : 행성의 [[역학적 에너지]]
: <math>G</math> : [[중력 상수]]
이다.

=== 제1법칙 타원 궤도의 법칙 ===
케플러의 제1법칙은 '''궤도의 법칙'''이라고도 불린다.
* 행성의 공전 궤도는 [[타원]] 모양이다. [[태양]]은 타원의 두 [[초점]] 중 하나에 위치한다.
=== 제2법칙 면적속도 일정의 법칙 ===
[[파일:kepler-second-law.svg|오른쪽|섬네일|케플러의 제2법칙]]
케플러의 제2법칙은 '''케플러 넓이 법칙'''({{lang|en|Kepler's law of areas}})이라고도 불린다.
* 행성과 태양을 연결하는 가상적인 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다.
면적속도는 수학적으로 다음과 같이 정의된다.
:<math>\dot{S} = {1 \over 2} r^2 \dot{\theta}</math>

케플러의 제2법칙이 행성 운동의 [[운동 상수]]임을 의미한다. 혹은, 행성의 [[공전 속도]]를 사용하여
:<math>\mathbf{r} \times \mathbf{v} = \textrm{const}</math>
가 일정하다고 말하기도 한다. 위 값은 행성의 [[각운동량]]에 비례하므로, 이 법칙은 [[만유인력의 법칙]]과 관계없이 [[각운동량]] 보존 법칙으로부터 유도할 수 있다.

=== 제3법칙 조화의 법칙 ===
케플러의 제3법칙은 '''주기의 법칙'''이라고도 불린다.
* 행성의 공전 주기의 제곱은 궤도의 [[긴반지름]]의 세제곱에 비례한다.
이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.
:<math>T^2 \propto a^3</math>
여기서
:<math>T</math> : [[공전 주기]]
:<math>a</math> : 공전 궤도의 [[긴반지름]]
이다. 좀 더 비례 관계를 명확히 하면,
:<math>T^2 = {4\pi^2 \over G (M+m)} a^3</math>
이다. 여기서
:<math>G</math> : [[중력 상수]]
:<math>M</math> : [[초점]]에 위치한 별의 질량
:<math>m</math> : 행성의 질량
이다. [[태양계]]에서 행성은 태양에 비해 훨씬 더 가벼우므로 (<math>M>>m</math>), 다음과 같이 근사할 수 있다.
:<math>T^2 \simeq {4\pi^2 \over G M} a^3</math>
따라서, 태양을 중심으로 하는 태양계 안의 모든 행성에 대해선 <math>T^2 a^{-3}</math>의 값이 모두 같다.

케플러의 제3법칙은 [[비리얼 정리]]의 특수한 경우이다.

== 같이 보기 ==
* [[원운동]]
* [[자유낙하 시간]]
* [[중력]]
* [[케플러 궤도]]
* [[케플러 방정식]]
* [[라플라스-룽게-렌츠 벡터]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{네이버캐스트|2362|케플러의 법칙}}

{{중력이론}}
{{궤도}}

{{전거 통제}}

[[분류:요하네스 케플러|행성운동법칙]]
[[분류:천체역학]]
[[분류:중력]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]
[[분류:코페르니쿠스 혁명]]
[[분류:1609년 과학]]
[[분류:1619년 과학]]