케이시 정리 문서 원본 보기

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[[파일:Casey new1a.svg|thumb|300px|<math>t_{12} \cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0 </math>]]

'''케이시 정리'''(Casey's theorem, -定理)는 [[기하학]]의 [[정리]]로, [[아일랜드]] [[수학자]] [[존 케이시]](John Casey)의 이름이 붙어 있다. [[프톨레마이오스 정리]]를 일반화한 정리이다.

== 공식화 ==
<math>\,O</math> 을 [[원 (기하학)|원]]이라 하자. 또 <math>\,O_1, O_2, O_3, O_4</math> 을 <math>\,O</math> 의 한 점에 접하는<ref>안쪽이든 바깥쪽이든 상관없다.</ref> 네 개의 겹치지 않는 원<ref>반지름은 0일 수 있다.</ref>이라 하자. 이제 <math>\,t_{ij}</math> 을 두 원 <math>\,O_i, O_j</math> 의 공통 [[접선]]의 길이라 하면<ref>두 원 모두 안쪽 혹은 바깥쪽에서 접할 경우 바깥쪽 공통 접선이고, 한 원은 안쪽, 한 원은 바깥쪽에서 접할 경우 안쪽 공통 접선이 된다.</ref> 다음 식이 성립하는데, 이것이 바로 케이시의 정리이다.<ref name="a">Casey, J. (1866), ''Math. Proc. R. Ir. Acad''. '''9''': 396.</ref>

:<math>\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.</math>

이상의 정리에서 안쪽 네 개 원의 반지름이 모두 0이라면 곧바로 이는 프톨레마이오스 정리가 된다. 이 정리의 역도 성립한다. 즉 이상의 식이 성립하면 각 원 <math>\,O_1, O_2, O_3, O_4</math> 은 큰 원과 한 점에서 접한다.<ref>Johnson, Roger A. (1929), ''Modern Geometry'', Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as ''Advanced Euclidean Geometry'').</ref>

== 응용 ==
이 정리는 [[구점원|포이어바흐의 정리]]를 증명하는 데 이용되는 등<ref name="a"/> [[유클리드 기하학]]의 다방면에 응용될 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[프톨레마이오스 정리]]
* [[구점원]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [https://web.archive.org/web/20111113072943/http://mathworld.wolfram.com/CaseysTheorem.html 케이시의 정리 - 매스월드]

[[분류:원에 대한 정리]]
[[분류:유클리드 기하학]]