커누스 윗화살표 표기법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''커누스 윗화살표 표기법'''(Knuth's up-arrow notation)은 [[도널드 커누스]]가 [[1976년]]에 개발한 아주 [[대수 (수학)|큰 수]]를 표기하는 방법이다. 이 표기법은 [[아커만 함수]]와 특히 [[하이퍼 연산]] 수열과 매우 밀접한 관련이 있으며, [[곱셈]]은 반복되는 [[덧셈]]으로 볼 수 있고, [[거듭제곱]]도 반복되는 [[곱셈]]으로 볼 수 있다는 사실에 기반해서 아이디어를 얻었다. 이런 방식으로 계속하면 [[테트레이션]](반복된 거듭제곱)과 보통 커누스 윗화살표 표기법으로 표시되는 [[하이퍼 연산]] 수열의 나머지로 이어진다. 이 표기법은 명시적으로 쓸 수 있는 수보다 훨씬 더 큰 수를 간단하게 표기할 수 있다.

윗화살표 한 개는 [[거듭제곱]](반복되는 곱셈)을 의미하고, 한 개 이상의 윗화살표는 한 개 적은 화살표를 반복하는 것을 의미한다.

예를 들어,
* 윗화살표 한 개는 곱셈의 반복([[거듭제곱]])이다 <math>2 \uparrow 4 = 2*(2*(2*2)) = 2^4 = 16</math>
* 윗화살표 두 개는 거듭제곱의 반복([[테트레이션]])이다 <math>2 \uparrow\uparrow 4 = 2 \uparrow (2 \uparrow (2 \uparrow 2) ) = 2^{2^{2^{2}}} = 65536</math>
* 윗화살표 세 개는 테트레이션의 반복([[펜테이션]])이다 <math display="block">\begin{align}
2 \uparrow\uparrow\uparrow 3
&= 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow\uparrow 2 )\\
&= 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow 2)\\
&= 2 \uparrow\uparrow 2^2\\
&= 2 \uparrow\uparrow 4\\
&= 2 \uparrow 2 \uparrow 2 \uparrow 2\\
&= 2^{2^{2^{2}}}\\
&=65536
\end{align}</math>
이 표기법의 일반적인 정의는 다음과 같다(정수 ''a''와 음이 아닌 정수 ''b'',''n''에 대해서):
: <math>
  a\uparrow^n b=
  \left\{
   \begin{matrix}
    a^b, & \mbox{if }n=1; \\
    1, & \mbox{if }n\ge1\mbox{ and }b=0; \\
    a\uparrow^{n-1}(a\uparrow^{n}(b-1)), & \mbox{otherwise }
   \end{matrix}
  \right.
 </math>

==소개==

[[덧셈]], [[곱셈]], 그리고 [[거듭제곱]]의 일반 산술 연산은 자연적으로 다음과 같이 [[하이퍼 연산]]의 수열로 확장된다.

[[자연수]]에 의한 [[곱셈]]은 [[덧셈]]의 반복으로 정의된다:

:<math>
  \begin{matrix}
   a\times b & = & \underbrace{a+a+\dots+a} \\
   & & b\mbox{ copies of }a
  \end{matrix}
 </math>

예를 들면,

:<math>
  \begin{matrix}   3\times 4 & = & \underbrace{4+4+4} & = & 12\\
   & & 3\mbox{ copies of }4
  \end{matrix}
 </math>

자연수 지수 <math>b</math>에 의한 [[거듭제곱]]은 곱셈의 반복으로 정의되며, 커누스는 윗화살표 한 개로 표기했다:

:<math>
  \begin{matrix}
   a\uparrow b= a^b = & \underbrace{a\times a\times\dots\times a}\\
   & b\mbox{ copies of }a
  \end{matrix}
 </math>

예를 들면,

:<math>
  \begin{matrix}
   4\uparrow 3= 4^3 = & \underbrace{4\times 4\times 4} & = & 64\\
   & 3\mbox{ copies of }4
  \end{matrix}
 </math>

연산의 수열을 거듭제곱을 넘어서 확장하기 위해서 커누스는 거듭제곱의 반복([[테트레이션]])을 의미하는 “이중 윗화살표” [[연산]]을 정의했다:

:<math>
  \begin{matrix}
   a\uparrow\uparrow b & = {\ ^{b}a}  = & \underbrace{a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^a}}}}}} &
   = & \underbrace{a\uparrow (a\uparrow(\dots\uparrow a))}
\\
    & & b\mbox{ copies of }a
    & & b\mbox{ copies of }a
  \end{matrix}
 </math>

예를 들면,

:<math>
  \begin{matrix}
   4\uparrow\uparrow 3 & = {\ ^{3}4}  = & \underbrace{4^{4^4}} &
   = & \underbrace{4\uparrow (4\uparrow 4)} & = & 4^{256} & \approx & 1.34078079\times 10^{154}&
\\
    & & 3\mbox{ copies of }4
    & & 3\mbox{ copies of }4
  \end{matrix}
 </math>

여기와 아래의 계산은 오른쪽에서 왼쪽으로 일어난다, 왜냐하면 커누스 윗화살표 연산(거듭제곱과 같은)은 Right associative 연산으로 정의했기 때문이다.

이 정의에 의해서,
:<math>3\uparrow\uparrow 2=3^3=27 </math>
:<math>3\uparrow\uparrow 3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987 </math>
:<math>3\uparrow\uparrow 4=3^{3^{3^3}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}</math>
:<math>3\uparrow\uparrow 5=3^{3^{3^{3^3}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987}} </math>
:etc.

이것만 해도 상당히 큰 수가 나오지만 커누스는 이 표기법을 확장했다. 커누스는 테트레이션의 반복([[펜테이션]])을 의미하는 “삼중 윗화살표” 연산을 정의했다:

:<math>
  \begin{matrix}
   a\uparrow\uparrow\uparrow b= &
    \underbrace{a_{}\uparrow\uparrow (a\uparrow\uparrow(\dots\uparrow\uparrow a))}\\
    & b\mbox{ copies of }a
  \end{matrix}
 </math>

잇따라 “사중 윗화살표“ 연산은 펜테이션의 반복([[하이퍼 연산|헥세이션]])을 의미한다:

:<math>
  \begin{matrix}
   a\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b= &
    \underbrace{a_{}\uparrow\uparrow\uparrow (a\uparrow\uparrow\uparrow(\dots\uparrow\uparrow\uparrow a))}\\
    & b\mbox{ copies of }a
  \end{matrix}
 </math>

그리고 계속된다. 일반적인 규칙은 <math>n</math>중 윗화살표 연산은 right-associative (<math>n - 1</math>)중 윗화살표 연산으로 확장할 수 있다는 것이다. 기호적으로는

:<math>
  \begin{matrix}
   a\ \underbrace{\uparrow_{}\uparrow\!\!\dots\!\!\uparrow}_{n}\ b=
    \underbrace{a\ \underbrace{\uparrow\!\!\dots\!\!\uparrow}_{n-1}
    \ (a\ \underbrace{\uparrow_{}\!\!\dots\!\!\uparrow}_{n-1}
    \ (\dots
    \ \underbrace{\uparrow_{}\!\!\dots\!\!\uparrow}_{n-1}
    \ a))}_{b\text{ copies of }a}
  \end{matrix}
 </math>

예시:

:<math>3\uparrow\uparrow\uparrow2 = 3\uparrow\uparrow3 = 3^{3^3} = 3^{27}=7,625,597,484,987</math>

:<math>
  \begin{matrix}
    3\uparrow\uparrow\uparrow3 = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow3) = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow3\uparrow3) = &
    \underbrace{3_{}\uparrow 3\uparrow\dots\uparrow 3} \\
   & 3\uparrow3\uparrow3\mbox{ copies of }3
  \end{matrix}
  \begin{matrix}
   = & \underbrace{3_{}\uparrow 3\uparrow\dots\uparrow 3} \\
   & \mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}
  \end{matrix}
  \begin{matrix}
   = & \underbrace{3^{3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}}}}} \\
   & \mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}
  \end{matrix}
 </math>

<math>a \uparrow^n b</math>의 표기는 일반적으로 <math>a \uparrow\uparrow \dots \uparrow b</math>에서 윗화살표가 ''n''개인 것을 나타낸다. 사실 <math>a \uparrow^n b</math>는 [[하이퍼 연산]]으로 ''a'' [''n''+2] ''b''이다. 예를 들어, <math>39\uparrow\uparrow14</math>는 39 [4] 14 ("[4]"는 [[테트레이션]]을 의미한다)로 쓸 수 있지만 39 [2] 14 = 39 × 14 = 546인 것은 아니다. 비슷하게, <math>77 \uparrow^{77} 77</math>은 77 [79] 77이지 77 [77] 77이 아니다.

<!--적절하게 중복을 피해서 넣어 주세요

커누스 윗화살표 표기법은 [[덧셈]], [[곱셈]], [[거듭제곱]] 표기로 이어지는 반복 계산 표기법을 일반화한 의미가 있다. 덧셈이란 1을 반복하여 증가시키는 연산이고, 곱셈이란 덧셈을 반복하는 연산이고, 거듭제곱은 곱셈을 반복하는 연산이다. 이러한 반복 연산을 무한히 확장할 수 있는 표기법으로 윗화살표(<math>\uparrow</math>)를 사용할 수 있다. 윗화살표 1개는 곱셈을 반복하는 거듭제곱 연산이고, 2개는 거듭제곱을 반복하는 연산, 즉 [[테트레이션]](tetration)이다. 윗화살표 3개는 테트레이션을 반복하는 [[펜테이션]](pentation)이고, 윗화살표 4개는 펜테이션을 반복하는 [[헥세이션]](hexation)이다. 이처럼 윗화살표의 개수는 무한히 증가할 수 있는데, 이것을 일반화하여 <math>\uparrow^m</math>과 같이 표기할 수 있다. 여기서 m은 윗화살표의 개수를 나타낸다.-->

== 표기법 ==
<math>a^b</math>와 같은 표현에서, 거듭제곱의 표기법은 보통 지수 <math>b</math>를 밑 <math>a</math>의 윗 첨자로 쓴다. 하지만 많은 [[프로그래밍 언어]]나 [[이메일]]같은 환경은 [[윗첨자]] 조판을 지원하지 않는다. 이런 환경에서 선형 표기법인 <math>a \uparrow b</math>를 적용했다. 윗화살표는 '다음을 지수로 올린다'는 것을 제시한다. [[문자 인코딩]]에서는 윗화살표를 포함하지 않기 때문에 [[캐럿 (기호)|캐럿]](^)을 대신해서 쓴다.

윗첨자 표기법 <math>a^b</math>는 일반화에 도움이 되지 않는다, 이것이 커누스가 인라인 표기법 <math>a \uparrow b</math>를 대신에 쓴 이유이다.

<math>a \uparrow^n b</math>는 윗화살표 n개의 더 짧은 표기법이다. 따라서 <math>a \uparrow^4 b = a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b</math>이다.

===윗화살표 표기법을 거듭제곱으로 쓰기===
<math>a \uparrow \uparrow b</math>를 익숙한 윗첨자 표기법으로 쓰려고 하면 거듭제곱의 탑을 얻게 된다.

:예: <math>a \uparrow \uparrow 4 = a \uparrow (a \uparrow (a \uparrow a)) = a^{a^{a^a}}</math>

''b''가 변수면 (또는 너무 크면), 거듭제곱의 탑은 점들과 탑의 높이를 나타내는 표시로 써야 할 수 있다.

:<math>a \uparrow \uparrow b = \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{b}</math>

이 표기법으로 계속하면, <math>a \uparrow \uparrow \uparrow b</math>는 각각이 위의 탑의 높이를 나타내는 거듭제곱의 탑의 스택으로 쓸 수 있다.

:<math>a \uparrow \uparrow \uparrow 4 = a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow a)) = 
  \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{a} }}</math>

또 ''b''가 변수거나 너무 클 경우에는 스택도 점들과 스택의 높이를 나타내는 표시로 써야 할 수 있다.

:<math>a \uparrow \uparrow \uparrow b = 
  \left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\} b</math>

더 나아가서, <math>a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b</math>는 각각이 왼쪽의 스택의 개수를 나타내는 거듭제곱의 탑의 스택의 열로 쓸 수 있다:

:<math>a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4 = a \uparrow \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow \uparrow a)) = 
  \left.\left.\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     a</math>

또다시 일반적으로:

:<math>a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b = 
  \underbrace{
    \left.\left.\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                       \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                       \cdots \right\}
                       a
  }_{b}</math>

이것은 <math>a \uparrow^n b</math>을 어떤 ''a'', ''n''과 ''b''에 대해서든지 (비록 이것이 분명히 더 번거롭지만) 반복되는 거듭제곱의 반복외는 거듭제곱으로 부정적으로 나타낼 수 있다는 것을 나타낸다.

====테트레이션을 사용====

[[테트레이션]] 표기법 <math>^{b}a</math>는 여전히 기하학적 표현 (이것을 ''테트레이션의 탑''이라고 부른다)을 사용하지만 이 다이어그램을 약간 간단하게 만든다.

: <math> a \uparrow \uparrow b = { }^{b}a</math>

: <math> a \uparrow \uparrow \uparrow b = \underbrace{^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a}_{b}</math>

: <math> a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b = 
   \left. \underbrace{^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a}_{ \underbrace{^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\} b</math>

결국, 한 예로 네 번째 아커만 수 <math>4 \uparrow^4 4</math>는 다음과 같이 나타낼 수 있다:
: <math>\underbrace{^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4}_{ \underbrace{^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4}_{ \underbrace{^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4}_{4} }} = 
        \underbrace{^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4}_{ \underbrace{^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4}_{ ^{^{^{4}4}4}4 }}</math>

==일반화==
어떤 수는 너무 커서 커누스 윗화살표 표기법으로 쓰기에도 버거울 수 있다. 그러면 ''n''중 화살표 연산 <math>\uparrow^n</math>이나 동동한 [[하이퍼 연산]]이 유용하다 (그리고 화살표의 개수가 변수일 때를 나타낼 때도 유용하다).

어떤 수는 너무 커서 이 표기법도 충분하지 않을 수 있다. 그러면 [[콘웨이 연쇄 화살표 표기법]]을 쓸 수 있다: 세 원소들의 연쇄 화살표는 다른 표기법과 동일하지만, 길이가 4 이상이면 더 강력하다.

:<math>
  \begin{matrix}
   a\uparrow^n b & = & a [n+2] b & = & a\to b\to n \\
   \mbox{(커 누 스 )} & & \mbox{(하 이 퍼   연 산 )} & & \mbox{(콘 웨 이 )}
  \end{matrix}
 </math>

보통 커누스 윗화살표는 비교적 작은 수에, 연쇄 화살표나 하이퍼 연산은 더 큰 수에 써야 한다고 주장한다.{{누가|날짜=2018-1-17}}

== 정의 ==

윗화살표 표기법은 공식적으로 <math>b \ge 0, n \ge 0</math>인 모든 정수 <math>a, b, n</math>에 대해서 다음과 같이 정의된다.

:<math>
  a\uparrow^n b=
  \left\{
   \begin{matrix}
    a b, & \mbox{if }n=0; \\
    1, & \mbox{if }n\ge1\mbox{ and }b=0; \\
    a\uparrow^{n-1}(a\uparrow^n(b-1)), & \mbox{otherwise }
   \end{matrix}
  \right.
 </math>

이 정의는 [[곱셈]]을 기본 연산으로 두고<math>(a\uparrow^0 b = a b)</math>, [[거듭제곱]] <math>(a\uparrow^1 b = a\uparrow b = a^b)</math>을 곱셈의 반복으로, [[테트레이션]] <math>(a\uparrow^2 b = a\uparrow\uparrow b)</math>을 거듭제곱의 반복으로, 등등을 얻는다. (이 정의는 더 기본적인 두 함수가 없는것을 제외하고 [[하이퍼 연산#정의|하이퍼 연산 수열]]과 동등핟다. 여기서 없는 함수는 [[다음수 함수|다음수]]와 [[덧셈]]으로, 이 함수를 포함하려면 정의를 더 복잡하게 하는 추가 시작값을 필요로 한다.)

모든 윗화살표 연산(평범한 거듭제곱 <math>a \uparrow b</math>를 포함해서)은 right associative이다. 즉, 수식의 오른쪽에서 왼쪽으로 계산한다.
<br/><math>a \uparrow b \uparrow c = a \uparrow (b \uparrow c)</math> &mdash;&mdash; not <math>(a \uparrow b) \uparrow c</math>.
<br/><math>3\uparrow\uparrow 3=3^{3^3}</math> is <math>3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987</math> &mdash;&mdash; not <math>\left(3^3\right)^3=27^3=19683.</math>

right-associativity 때문에 <math>b \ge 1, n\ge 1</math>일 때 다음과 같다

<math>\begin{array}{lcl}
a \uparrow^{n}b & = & a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}\cdots a\uparrow^{n-1}a \ \ (\text{with }b \ a\text{'s}) \\
                & = & a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}\cdots a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}1 \ \ (\text{with }b \ a\text{'s}) \\
                & = & (a\uparrow^{n-1})^{b}1
\end{array}
</math>

각 <math>a</math>는 화살표 연산의 왼쪽 항으로 나타나고 (화살표 연산은 [[가환]]이 아니기 때문에 이 점은 중요하다), <math>(a\uparrow ^m)^b</math>는 함수 <math>f(x)=a\uparrow ^m x</math>를 ''b''번 [[함수의 합성|합성]]한 것으로 썼다. <math>(a\uparrow ^m)^0 n = n</math>이기 때문에, 원래 정의를 <math>b \ge 0, n \ge 0</math>인 모든 정수 <math>a, b, n</math>에 대해 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있다:
:<math>
  a\uparrow^n b=
  \left\{
   \begin{matrix}
    a b, & \mbox{if }n=0; \\
    (a\uparrow^{n-1})^b 1 & \mbox{if }n\ge 1
   \end{matrix}
  \right.
 </math>
==값들의 표==
===2↑<sup>''m''</sup>&nbsp;''n'' 계산===

<math>2\uparrow^m n</math>을 계산하는 것은 무한한 표에서 재기술 할 수 있다. <math>2^n</math>을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 2로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.

{| class="wikitable"
|+ <math>2\uparrow^m n</math> = [[하이퍼 연산|hyper]](2,&nbsp;''m''&nbsp;+&nbsp;2,&nbsp;''n'') = [[콘웨이 연쇄 화살표 표기법|2 → n → m]]의 값
|-
! ''m''\''n''
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 6
! 공식
|-
! 1
| 2 || 4 || 8 || 16 || 32 || 64 || <math>2^n</math>
|-
! 2
| 2 || 4 || 16 || 65536 || <math>2^{65\,536}\approx 2.0 \times 10^{19\,728}</math> || <math>2^{2^{65\,536}}\approx 10^{6.0 \times 10^{19\,727}}</math> || <math>2\uparrow\uparrow n</math>
|-
! 3
| 2 || 4 || 65536 || <math>
  \begin{matrix}
   \underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^2}}}}}} \\
   65536\mbox{ copies of }2  \end{matrix}
</math> || <math>
  \begin{matrix}
   \underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
   \underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
   65536\mbox{ copies of }2
  \end{matrix}</math> || <math>
  \begin{matrix}
   \underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
   \underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
   \underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
   65536\mbox{ copies of }2
  \end{matrix}</math> || <math>2\uparrow\uparrow\uparrow n</math>
|-
! 4
| 2 || 4 || <math>
  \begin{matrix}
   \underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^2}}}}}}\\
   65536\mbox{ copies of }2
  \end{matrix}</math> || &nbsp; || &nbsp; || &nbsp;
| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n</math>
|}

이 표는 <math>m</math>과 <math>n</math>이 약간 밀린 것과 모든 값에 3이 더해진 것을 제외하고는 [[아커만 함수#값들의 표|아커만 함수의 표]]와 같다.

===3↑<sup>''m''</sup>&nbsp;''n'' 계산===

<math>3^n</math>을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 3으로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.

{| class="wikitable"
|+ <math>3\uparrow^m n</math> = [[하이퍼 연산|hyper]](3,&nbsp;''m''&nbsp;+&nbsp;2,&nbsp;''n'') = [[콘웨이 연쇄 화살표 표기법|3 → n → m]]의 값
|-
! ''m''\''n''
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 공식
|-
! 1
| 3 || 9 || 27 || 81 || 243 || <math>3^n</math>
|-
! 2
| 3 || 27 || 7,625,597,484,987  || <math>3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}</math>  ||  <math>3^{3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}}</math> || <math>3\uparrow\uparrow n</math>
|-
! 3
| 3 || 7,625,597,484,987 || <math>
  \begin{matrix}
   \underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^3}}}}}}\\
   7{,}625{,}597{,}484{,}987\mbox{ copies of }3
  \end{matrix}</math> || &nbsp; || &nbsp; || <math>3\uparrow\uparrow\uparrow n</math>
|-
! 4
| 3 || <math>\begin{matrix}
   \underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^3}}}}}}\\
   7{,}625{,}597{,}484{,}987\mbox{ copies of }3
  \end{matrix}</math> || &nbsp; || &nbsp; || &nbsp;
| <math>3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n</math>
|}

===4↑<sup>''m''</sup>&nbsp;''n''의 계산===

<math>4^n</math>을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 4로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.

{| class="wikitable"
|+ <math>4\uparrow^m n</math> = [[하이퍼 연산|hyper]](4,&nbsp;''m''&nbsp;+&nbsp;2,&nbsp;''n'') = [[콘웨이 연쇄 화살표 표기법|4 → n → m]]의 값
|-
! ''m''\''n''
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 공식
|-
! 1
| 4 || 16 || 64 || 256 || 1024 || <math>4^n</math>
|-
! 2
| 4 || 256 ||  <math>1.3407807930 \times 10^{154}</math>  || <math>4^{ 1.3407807930 \times 10^{154}}</math>  ||  <math>4^{4^{ 1.3407807930 \times 10^{154}}}</math> || <math>4\uparrow\uparrow n</math>
|-
! 3
| 4 || <math> 4^{1.3407807930 \times 10^{154}} </math> || <math>
  \begin{matrix}
   \underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^4}}}}}}\\
   4^{1.3407807930 \times 10^{154}}\mbox{ copies of }4
  \end{matrix}</math> || &nbsp; || &nbsp; || <math>4\uparrow\uparrow\uparrow n</math>
|-
! 4
| 4 || <math>
  \begin{matrix}
   \underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}}\\
   \underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}}\\
   4^{1.3407807930 \times 10^{154}}\mbox{ copies of }4
  \end{matrix}</math> || &nbsp; || &nbsp; || &nbsp;
| <math>4\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n</math>
|}

===10↑<sup>''m''</sup>&nbsp;''n''의 계산===

<math>10^n</math>을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 10으로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.

{| class="wikitable"
|+ <math>10\uparrow^m n</math> = [[하이퍼 연산|hyper]](10,&nbsp;''m''&nbsp;+&nbsp;2,&nbsp;''n'') = [[콘웨이 연쇄 화살표 표기법|10 → n → m]]의 값
|-
! ''m''\''n''
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 공식
|-
! 1
| 10 || 100 || 1,000 || 10,000 || 100,000 || <math>10^n</math>
|-
! 2
| 10 || 10,000,000,000 || <math>10^{10,000,000,000}</math>  || <math>10^{10^{10,000,000,000}}</math>  || <math>10^{10^{10^{10,000,000,000}}}</math> || <math>10\uparrow\uparrow n</math>
|-
! 3
| 10 || <math>
  \begin{matrix}
   \underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
   10\mbox{ copies of }10
  \end{matrix}</math> || <math>
  \begin{matrix}
   \underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
   \underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
   10\mbox{ copies of }10
  \end{matrix}</math> || <math>
  \begin{matrix}
   \underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
   \underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
   \underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
   10\mbox{ copies of }10
  \end{matrix}</math> || &nbsp; || <math>10\uparrow\uparrow\uparrow n</math>
|-
! 4
| 10 || <math>
  \begin{matrix}
   \underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
   10\mbox{ copies of }10
  \end{matrix}</math> || <math>
  \begin{matrix}
   \underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
   \underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
   10\mbox{ copies of }10
  \end{matrix}</math> || &nbsp; || &nbsp;
| <math>10\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n</math>
|}

2 ≤ ''n'' ≤ 9일 때 <math>10\uparrow^m n</math>의 수치적인 순서는 ''m''이 가장 우선적인 [[사전식 순서]]여서 이 8열에서 수치적인 순서는 단순히 행의 순서대로인 것을 보라. 3 ≤ ''n'' ≤ 99인 97열에도 마찬가지로 적용이 되고, ''m'' = 1에서 시작하면 3 ≤ ''n'' ≤ 9,999,999,999까지 가능하다.

==하이퍼 연산 수열에 기반한 기수법==

[[루벤 루이스 굿스타인]]은 커누스 화살표와 다른 표기법 시스템을 가지고 <math>( +, \ \times, \ \uparrow, \ \uparrow\uparrow, \ \dots)</math>으로 표기한 [[하이퍼 연산]] 수열을 이용해서 음이 아닌 정수에 대한 기수법을 만들었다.<ref>{{저널 인용|author=Goodstein, R. L.|title=Transfinite ordinals in recursive number theory |jstor=2266486 |journal=Journal of Symbolic Logic |volume=12 |year=1947 |issue=4 |doi=10.2307/2266486 |pages=123–129}}</ref> 대괄호 ([1], [2], [3], [4], ... )를 각각의 하이퍼 연산<math>( +, \ \times, \ \uparrow, \ \uparrow\uparrow, \ \dots)</math>을 나타낸다고 하면 소위 ''b''를 밑으로 하는 정수 ''n''의 ''k''단계 ''완전 hereditary 표현''은 처음 ''k'' 하이퍼 연산과 0, 1, ..., ''b'' − 1의 자릿수와 밑인 ''b'' 자신을 포함하는 숫자들만을 이용해서 다음과 같이 나타낼 수 있다:

* 0 ≤ ''n'' ≤ ''b''-1일 때는, ''n''은 단순히 대응하는 숫자로 표현한다.
* ''n'' > ''b''-1일 때는, ''n''의 표현은 재귀적으로 찾는다. 먼저 ''n''은 다음의 형태로 나타난다:
:''b'' [''k''] ''x''<sub>''k''</sub> [''k'' - 1] ''x''<sub>''k''-1</sub> [''k'' - 2] ... [2] ''x''<sub>2</sub> [1] ''x''<sub>1</sub>
:이 때 ''x''<sub>''k''</sub>, ..., ''x''<sub>1</sub>는 다음을 (차례로)만족하는 가장 큰 정수이다.

:''b'' [''k''] ''x''<sub>''k''</sub> ≤ ''n''

:''b'' [''k''] ''x''<sub>''k''</sub> [''k'' - 1] ''x''<sub>''k'' - 1</sub> ≤ ''n''

:...

:''b'' [''k''] ''x''<sub>''k''</sub> [''k'' - 1] ''x''<sub>''k'' - 1</sub> [''k'' - 2] ... [2] ''x''<sub>2</sub> [1] ''x''<sub>1</sub> ≤ ''n''

:''b''-1을 넘는 ''x''<sub>''i''</sub>는 같은 방법으로 다시 표현하고 0, 1, ..., ''b''-1과 밑인 ''b''만 남을 때까지 계속한다.

이 부분의 나머지는 하이퍼 연산을 표현하기 위해 윗첨자로 사용한다.

계산할 때 고차 연산에 높은 우선도를 부여해서 불필요한 괄호를 피할 수 있다; 따라서,

1단계 표현은 b [1] X의 형태를 하고, ''X''도 이 형태이다.

2단계 표현은 b [2] X [1] Y의 형태를 하고, ''X'',''Y''도 이 형태이다.

3단계 표현은 b [3] X [2] Y [1] Z의 형태를 하고, ''X'',''Y'',''Z''도 이 형태이다.

4단계 표현은 b [4] X [3] Y [2] Z [1] W의 형태를 하고, ''X'',''Y'',''Z'',''W''도 이 형태이다.

그리고 계속된다.

밑이 ''b''인 ''hereditary'' 표현의 종류에서, 밑 자신이 {0, 1, ..., ''b''-1}의  "자릿수"처럼 표현에서 나타난다는 점을 주목하라. 이 표현은 문자가 밑을 ''b''로 표시했을  때 ''일반적인'' 이진법과 비교된다. 예를 들어, 일반적인 이진법에서는 6 = (110)<sub>2</sub> = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0이고 밑이 2인 3단계 hereditary 표현은 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0)이다. hereditary 표현은 [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1, 등등의 요소를 제거해서 간략하게 만들 수 있다. 예를 들어, 위의 밑이 2인 6의 3단계 표현은 2 [3] 2 [1] 2로 간단히 할 수 있다.

예:
[[266]]의 밑이 2인 유일한 1, 2, 3, 4, 그리고 5단계 표현은 다음과 같다:

:1단계: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (2가 133개)
:2단계: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1)) [1] 1)
:3단계: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2
:4단계: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2
:5단계: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2

== 그레이엄 수 표기 ==
커누스 윗화살표는 [[그레이엄 수]] G<sup>64</sup>(4)를 표기할 때 사용되고 있다. 그레이엄 수는 이름이 붙은 자연수 중에서 수학적 의미를 갖고 있는 가장 큰 수이다.

<math>G^{64}(4) = 3 \uparrow ... \uparrow 3 </math> (여기서 윗화살표의 개수는 G<sup>63</sup>(4)개이다.)


== 같이 보기 ==
* [[원시 재귀 함수]]
* [[하이퍼 연산]]
* [[커틀러 묶음부호 표기법]]
* [[테트레이션]]
* [[펜테이션]]
* [[콘웨이 화살표 사슬 표기법]]
* [[아커만 함수]]
* [[그레이엄 수]]
* [[스테인하우스-모서 표기법]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|urlname=ArrowNotation|title=Arrow Notation}}
* Robert Munafo, ''[http://www.mrob.com/pub/math/largenum.html Large Numbers]''

{{큰 수}}

[[분류:큰 수]]
[[분류:수학 표기법]]
[[분류:도널드 커누스]]