칼라비 추측 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''칼라비 추측'''({{llang|en|Calabi conjecture}})은 [[에우제니오 칼라비]]가 만든 특정 [[복소다양체]]에 대한 특정 종류의 [[리만 다양체|리만 계량]]의 존재성에 대한 추측이었다. 이 추측은 중국계 미국인 수학자 [[야우싱퉁]]이 이를 해결하였다. 이 업적으로 야우는 [[오즈월드 베블런 기하학상|오스왈드 베블렌상]](부분 수상)과 [[필즈상]]을 수상했다. 주로 복소 Monge-Ampère 방정식으로 알려진 타원 편미분 방정식의 해석인 그의 연구는 기하학적 해석학 분야에서 영향력 있는 초기 결과였다.

보다 정확하게는 칼라비의 추측은 닫힌 복소 다양체에 대한 [[켈러 다양체|켈러 계량]] 설정 내에서 규정된 리치 곡률 문제의 해결을 주장한다. [[천-베유 준동형|천-베유 이론]]에 따르면 이러한 계량의 [[리치 곡률 텐서|리치 형식]]은 [[천 특성류|첫 번째 천 특성류]]를 나타내는 [[미분 형식|닫힌 미분 2-형식]]이다. 칼라비는 이러한 미분 형식 {{수학 변수|R}}에 대해 리치 형식이 {{수학 변수|R}}인 각 [[켈러 다양체|켈러 특성류]]에는 정확히 하나의 켈러 계량이 있다고 추측했다.(일부 콤팩트 복소 다양체는 켈러 특성류를 허용하지 않으며 이 경우 추측은 공허한다)

첫 번째 천 특성류가 사라지는 특수한 경우 이는 각 켈러 특성류에 정확히 하나의 [[리치 평탄 다양체|리치 평탄 계량]]이 포함되어 있음을 의미한다. 이들은 종종 [[칼라비-야우 다양체]]라고 불린다. 그러나 이 용어는 다양한 저자에 의해 약간 다른 방식으로 사용되는 경우가 많다. 예를 들어 일부 용도는 복소 다양체를 참조하는 반면 다른 용도는 특정 리치 평탄 켈러 계량과 함께 복소 다양체를 참조할 수 있다.

이 특별한 경우는 콤팩트 복소 다양체에서 0 [[스칼라 곡률]]을 가진 켈러-아인슈타인 계량에 대한 완전한 존재 및 고유성 이론으로 동등하게 간주될 수 있다. 0이 아닌 스칼라 곡률의 경우는 칼라비 추측의 특별한 경우로 따르지 않다. 켈러-아인슈타인 문제의 '오른쪽'은 '알 수 없는' 계량에 의존하므로 켈러-아인슈타인 문제를 다음 영역 외부에 배치하기 때문이다. 리치 곡률을 처방한다. 그러나 칼라비 추측을 해결하는 데 있어 복소 Monge-Ampère 방정식에 대한 야우의 분석은 음의 스칼라 곡률에 대한 켈러-아인슈타인 계량의 존재도 해결할 만큼 충분히 일반적이었다. 양의 스칼라 곡률의 세 번째이자 마지막 사례는 부분적으로 칼라비 추측을 사용하여 2010년대에 해결됐다.

== 칼라비 추측의 증명 개요 ==
칼라비는 칼라비 추측을 복소 Monge-Ampère 유형의 비선형 편미분 방정식으로 변환하고 이 방정식에 최대 하나의 해가 있음을 보여줌으로써 필요한 켈러 계량의 고유성을 확립했다.

야우는 연속성 방법을 사용하여 이 방정식의 해를 구성함으로써 칼라비 추측을 증명했다. 여기에는 먼저 더 쉬운 방정식을 푼 다음 쉬운 방정식의 해가 어려운 방정식의 해로 연속적으로 변형될 수 있음을 보여주는 것이 포함된다. 야우 해의 가장 어려운 부분은 해의 미분에 대한 특정 선험적 추정치를 증명하는 것이다.

=== 칼라비 추측을 미분방정식으로 변환 ===
<math>M</math>이 켈러 형식 <math>\omega</math>가 주어진 복소 콤팩트 다양체라 하자. [[Ddbar 기본정리|<math>\partial \bar \partial</math> -보조정리]]에 의해, 동일한 [[드람 코호몰로지|드 람 코호몰로지류]]에 있는 다른 켈러 형식은 <math>M</math>에서 정의된 매끄러운 함수 <math>\varphi</math>에 대해 다음 형식이다.

: <math>\omega+dd'\varphi</math>

이는 상수 덧셈을 기준으로 유일하다. 따라서 칼라비 추측은 다음 문제와 동일하다.

: <math>F=e^f</math>를 <math>M</math>에서 정의된 평균값이 1인 양의 매끄러운 함수라 하자. 그러면 다음과 같은 매끄러운 실함수 <math>\varphi</math>가 있다.
:: <math>(\omega+dd'\varphi)^m = e^f\omega^m</math>
: 그리고 <math>\varphi</math>는 상수 덧셈을 기준으로 유일하다.

이것은 단일 함수 <math>\varphi</math>에 대한 복소 Monge-Ampère 유형의 방정식이다. 이는 최고차항 측면에서 비선형이기 때문에 풀기가 특히 어려운 편미분 방정식이다. <math>f=0</math>일 때는 <math>\varphi = 0 </math>가 해가 되어서 풀기 쉽다. 연속성 방법의 아이디어는 풀 수 있는 함수 <math>f</math>들의 집합이 열린 집합이자 닫힌 집합임을 보여줌으로써 모든 문제에 대해 해결될 수 있음을 보여주는 것이다. 풀 수 있는 함수 <math>f</math>들의 집합은 비어 있지 않으며, 연결이다. 이는 모든 <math>f</math>에 대한 문제가 해결될 수 있음을 보여준다.

매끄러운 함수 <math>\varphi</math>에서 매끄러운 함수 <math>F</math>로의 사상

:: <math>F=(\omega+dd'\varphi)^m/\omega^m</math>

는 전사도 단사도 아니다. <math>\varphi</math>에 상수를 더해도 <math>F</math>가 그대로라서 단사가 아니다. 그리고 <math>F</math>가 양수여야 하며 평균값이 1이어야 해서 전사가 아니다. 그래서 우리는 평균값 0을 갖도록 정규화된 함수 <math>\varphi</math>에 제한된 사상을 고려한다.  이 사상이 평균값이 1인 양수 <math>F=e^f</math> 집합에 대한 동형인지 묻는다. 칼라비와 야우는 이것이 동형임을 증명했다. 이 작업은 아래에 설명된 여러 단계로 수행된다.

=== 해의 유일성 ===
해가 유일하다는 것을 증명하려면 다음을 보여주는 것이 포함된다.

: <math>(\omega+dd'\varphi_1)^m = (\omega+dd'\varphi_2)^m</math>

그러면 Φ<sub>1</sub> 과 Φ<sub>2</sub>는 상수 차이이다.(따라서 둘 다 평균값 0을 갖도록 정규화되면 동일해야 한다) 칼라비는

: <math>|d(\varphi_1-\varphi_2)|^2</math>

의 평균값이 최대 0인 표현식으로 제공된을 보여줌으로써 이를 증명했다. 분명히 0 이상이므로 0이어야 한다.

: <math>d(\varphi_1-\varphi_2) = 0</math>

이는 차례로 φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub> 가 상수만큼 달라지도록 한다.

=== ''F''들의 집합이 열린 집합이다. ===
가능한 ''F들의'' 집합이 열려 있다는 것을 증명하는 것은(평균값이 1인 매끄러운 함수 집합에서) 어떤 ''F'' 에 대한 방정식을 풀 수 있다면 충분히 가까운 ''F'' 에 대해서도 방정식을 푸는 것이 가능하다는 것을 보여주는 것이다. 칼라비는 [[바나흐 공간]]에 대한 [[음함수 정리]]를 사용하여 이를 증명했다. 이를 적용하기 위한 주요 단계는 위의 미분 연산자의 ''선형화가'' 가역적임을 보여주는 것이다.

=== ''F'' 집합이 닫힌 집합이다 ===
이것은 증명에서 가장 어려운 부분이며 야우가 수행한 부분이었다. ''F''가 가능한 함수 ψ들의 상의 폐포라고 가정한다. 이는 대응하는 함수 F <sub>1</sub>, F <sub>2</sub> ,...가 ''F'' 로 수렴하는 함수 φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>, ...의 열이 있음을 의미하며, 문제는 φ들의 어떤 부분 열이 해 φ로 수렴함을 보여주는 것이다. 이를 수행하기 위해 야우는 함수 φ<sub>''i''</sub> 와 log(''f''<sub>''i''</sub> )의 고차 도함수 측면에서 고차 도함수에 대한 일부 선험적 경계를 찾는다. 이러한 경계를 찾으려면 일련의 긴 추정이 필요하며 각각은 이전 추정보다 약간 향상된다. 야우가 얻는 범위는 함수 φ<sub>''i''</sub> 가 모두 적절한 바나흐 공간 함수의 콤팩트한 부분 집합에 있음을 보여주기에 충분하므로 수렴 부분 수열을 찾는 것이 가능하다. 이 부분 수열은 이미지 ''F'' 가 포함된 함수 φ로 수렴되며, 이는 가능한 이미지 집합 ''F가'' 닫혀 있음을 보여준다.

== 각주 ==
{{각주}}
{{참고 자료 시작}}
* [[Thierry Aubin]], ''Nonlinear Analysis on Manifolds, Monge&ndash;Ampère Equations'' {{ISBN|0-387-90704-1}} This gives a proof of the Calabi conjecture and of Aubin's results on Kähler–Einstein metrics.
* {{인용|last=Bourguignon|first=Jean-Pierre|title=Séminaire Bourbaki, 30e année (1977/78)|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Lecture Notes in Math.|doi=10.1007/BFb0069970|year=1979|volume=710|chapter=Premières formes de Chern des variétés kählériennes compactes [d'après E. Calabi, T. Aubin et S. T. Yau]|pages=1–21|mr=554212|isbn=978-3-540-09243-8}} This gives a survey of the work of Aubin and Yau.
* {{콘퍼런스 인용|author-link1=Eugenio Calabi|url=https://www.mathunion.org/fileadmin/ICM/Proceedings/ICM1954.2/ICM1954.2.ocr.pdf|last1=Calabi|first1=E.|book-title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954. Volume II|editor1-last=Gerretsen|editor1-first=Johan C. H.|editor2-last=De Groot|editor-link2=Johannes de Groot|editor2-first=Johannes|publisher=[[North-Holland Publishing Company|North-Holland Publishing Co.]]|title=The space of Kähler metrics|location=Amsterdam|year=1954|pages=206–207}}
* {{콘퍼런스 인용|author-link1=Eugenio Calabi|mr=0085583|last1=Calabi|first1=Eugenio|title=On Kähler manifolds with vanishing canonical class|editor1-last=Fox|editor1-first=R. H.|editor-link1=Ralph Fox|editor-last2=Spencer|editor-first2=D. C.|editor-last3=Tucker|editor-first3=A. W.|editor-link2=Donald C. Spencer|editor-link3=Albert W. Tucker|book-title=Algebraic geometry and topology|conference=A symposium in honor of S. Lefschetz|pages=78–89|publisher=[[Princeton University Press]]|location=Princeton, NJ|year=1957|zbl=0080.15002|doi=10.1515/9781400879915-006|isbn=9781400879915|series=Princeton Mathematical Series|volume=12}}
* Dominic D. Joyce ''Compact Manifolds with Special Holonomy'' (Oxford Mathematical Monographs) {{ISBN|0-19-850601-5}} This gives a simplified proof of the Calabi conjecture.
* {{인용|last=Yau|first=Shing Tung|authorlink=Shing-Tung Yau|title=Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry|year=1977|journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]|issn=0027-8424|volume=74|issue=5|pages=1798–1799|mr=0451180|doi=10.1073/pnas.74.5.1798|pmc=431004|pmid=16592394|bibcode=1977PNAS...74.1798Y|doi-access=free}}
* {{인용|last=Yau|first=Shing Tung|authorlink=Shing-Tung Yau|title=On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge–Ampère equation. I|doi=10.1002/cpa.3160310304|mr=480350|year=1978|journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]]|volume=31|issue=3|pages=339–411}}
{{참고 자료 끝}}

== 외부 링크 ==
*  {{인용|last=Yau|first=Shing Tung|authorlink=Shing-Tung Yau|title=Calabi-Yau manifold|doi=10.4249/scholarpedia.6524|bibcode=2009SchpJ...4.6524Y|year=2009|journal=Scholarpedia|volume=4|issue=8|pages=6524|doi-access=free}}

[[분류:미분기하학 정리]]
[[분류:복소다양체]]