칸 확대 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''칸 확대'''(Kan擴大, {{llang|en|Kan extension}})는 어떤 [[함자 (수학)|함자]]의 정의역을 다른 정의역으로 바꾸는 "최적의" 방법이다. 왼쪽 칸 확대와 오른쪽 칸 확대 두 가지가 있다.

== 정의 ==
=== 대역적 칸 확대 ===
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal C'</math> 및 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>F\colon\mathcal C\to\mathcal C'</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>F</math>와의 합성은 임의의 범주 <math>\mathcal D</math>에 대하여,  두 함자 범주 사이의 함자
:<math>F^*\colon[\mathcal C',\mathcal D]\to[\mathcal C,\mathcal D]</math>
:<math>F^*\colon X\mapsto X\circ F</math>
를 정의한다. 만약 <math>F^*</math>가 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>F_!\dashv F^*</math>
를 갖는다면, 임의의 함자 <math>X\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>에 대하여 함자 <math>F_!(X)\colon\mathcal C'\to\mathcal D</math>를 <math>X</math>의 <math>F</math>에 대한 '''왼쪽 칸 확대'''({{llang|en|left Kan extension}})라고 한다. 왼쪽 칸 확대는 <math>\operatorname{Lan}_FX</math>로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 <math>Y\colon \mathcal C'\to\mathcal D</math>에 대하여 [[자연 동형]]
:<math>\hom_{[\mathcal C,\mathcal D]}(X,F^*Y)\cong\hom_{[\mathcal C',\mathcal D]}(\operatorname{Lan}_FX,Y)</math>
이 존재한다.

마찬가지로, 만약 <math>F^*</math>가 [[오른쪽 수반 함자]]
:<math>F^*\dashv F_*</math>
를 갖는다면, 임의의 함자 <math>X\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>에 대하여 함자 <math>F_*(X)\colon\mathcal C'\to\mathcal D</math>를 <math>X</math>의 <math>F</math>에 대한 '''오른쪽 칸 확대'''({{llang|en|right Kan extension}})라고 한다. 오른쪽 칸 확대는 <math>\operatorname{Ran}_FX</math>로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 <math>Y\colon \mathcal C'\to\mathcal D</math>에 대하여 [[자연 동형]]
:<math>\hom_{[\mathcal C,\mathcal D]}(F^*Y,X)\cong\hom_{[\mathcal C',\mathcal D]}(Y,\operatorname{Ran}_FX)</math>
이 존재한다.

=== 국소 칸 확대 ===
위에서 정의된 함자 <math>\operatorname{Lan}_F</math> 및 <math>\operatorname{Ran}_F</math>가 일반적으로 존재하지 않더라도, 특별한 함자 <math>X</math>에 대하여 <math>\operatorname{Lan}_FX</math> 또는 <math>\operatorname{Ran}_FX</math>가 존재할 수 있다.

이러한 '''국소 칸 확대'''({{llang|en|local Kan extension}})의 정의는 대역적 칸 확대의 정의를 국소화한 것이다. 즉, <math>X</math>의 <math>F</math>에 대한 (국소) '''왼쪽 칸 확대'''는 함자
:<math>\operatorname{Lan}_FX\colon\mathcal C'\to\mathcal D</math>
및 [[자연 동형]]
:<math>\hom_{[\mathcal C,\mathcal D]}(X,F^*(-))\cong\hom_{[\mathcal C',\mathcal D]}(\operatorname{Lan}_FX,-)</math>
으로 구성된다. 마찬가지로, <math>X</math>의 <math>F</math>에 대한 (국소) '''오른쪽 칸 확대'''는 함자
:<math>\operatorname{Ran}_FX\colon\mathcal C'\to\mathcal D</math>
및 [[자연 동형]]
:<math>\hom_{[\mathcal C,\mathcal D]}(F^*Y,X)\cong\hom_{[\mathcal C',\mathcal D]}(Y,\operatorname{Ran}_FX)</math>
으로 구성된다.

== 예 ==
=== 극한 ===
<math>1</math>이 하나의 대상 및 그 항등 사상만을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 함자 <math>X\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>에 대하여, <math>X</math>의 <math>\mathcal C\to1</math>에 대한 오른쪽 칸 확대는 <math>X</math>의 [[극한 (범주론)|극한]]이며, 왼쪽 칸 확대는 <math>X</math>의 [[쌍대극한]]이다.

=== 수반 함자 ===
함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>의  [[왼쪽 수반 함자]]는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) [[항등 함자]] <math>\operatorname{Id}_{\mathcal C}</math>의 <math>F</math>에 대한 오른쪽 칸 확대 <math>F_*\operatorname{Id}_{\mathcal C}\colon \mathcal D\to\mathcal C</math>와 같다.
:<math>F_*\operatorname{Id}_{\mathcal C}\dashv F</math>

함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>의  [[오른쪽 수반 함자]]는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) [[항등 함자]] <math>\operatorname{Id}_{\mathcal D}</math>의 <math>F</math>에 대한 왼쪽 칸 확대 <math>F_!\operatorname{Id}_{\mathcal D}\colon \mathcal D\to\mathcal C</math>와 같다.
:<math>F\dashv F_!\operatorname{Id}_{\mathcal D}</math>

== 역사 ==
[[다니얼 칸]]이 1960년에 도입하였다. [[손더스 매클레인]]은 칸 확대의 중요성에 대하여 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|모든 개념은 칸 확대이다. […] 칸 확대의 개념은 범주론의 다른 모든 근본적인 개념을 포함한다.<br>{{lang|en|All concepts are Kan extensions. […] The notion of Kan extensions subsumes all the other fundamental concepts of category theory.}}|[[손더스 매클레인]]<ref>{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}</ref>}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Kan extension}}

{{전거 통제}}

[[분류:수반 함자]]