칸토어 집합 (집합론) 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서, '''칸토어 집합'''({{llang|en|Cantorian set}})은 모든 [[원소 (수학)|원소]]에 [[한원소 집합]]을 취하여 얻는 [[집합]]과 [[집합의 크기|크기]]가 같은 집합이다.

== 정의 ==
집합 <math>X</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''칸토어 집합'''이라고 한다.
:<math>|\{\{x\}\colon x\in X\}|=|X|</math>
집합 <math>X</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''강한 칸토어 집합'''({{llang|en|strongly Cantorian set}})이라고 한다.
* <math>\{(x,\{x\})\colon x\in X\}</math>는 집합이다.

== 성질 ==
[[새 기초]]에서, 다음 세 명제들이 서로 [[동치]]이며, 이는 새 기초에서 증명 불가능하다.<ref name="Forster">{{서적 인용|이름=Thomas Edward|성=Forster|제목=Set theory with a universal set. Exploring an untyped universe|판=2|언어=en|총서=Oxford Logic Guides|권=31|출판사=Clarendon Press|위치=Oxford|날짜=1995|isbn=0-19-851477-8|mr=1366833|zbl=0831.03027}}</ref>{{rp|31, Proposition 2.1.3}}
* 모든 [[유한 집합]]은 칸토어 집합이다.
* 모든 [[유한 집합]]은 강한 칸토어 집합이다.
* 강한 칸토어 집합인 [[무한 집합]]이 존재한다.

== 예 ==
[[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서, 모든 집합은 칸토어 집합이자 강한 칸토어 집합이다.

[[새 기초]]에서, 콰인-로서 자연수 집합 <math>\mathbb N</math>은 칸토어 집합이다. <math>\mathbb N</math>이 강한 칸토어 집합이라는 명제를 '''셈 공리'''({{llang|en|axiom of counting}})라고 한다. 이는 (새 기초가 무모순적이라면) [[새 기초]]와 독립적이다.

[[칸토어 역설]]에 따라, 새 기초에서 모든 집합의 집합 <math>V=\{x\colon x=x\}</math>는 칸토어 집합이 아니다. [[부랄리포르티 역설]]에 따라, 새 기초에서 모든 [[순서수]]의 집합 <math>\operatorname{Ord}</math>는 칸토어 집합이 아니다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:집합론]]